1.2.1 命题与量词（习题）-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

命题与量词
1.下列命题是真命题的是(　　)
A．?x∈R，x>0
B．?x∈R，x2＋2x＋3＝0
C．有的三角形是正三角形
D．每一个四边形都有外接圆
2．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是(　　)
A．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
B．?a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C．?a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
D．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
3．下列命题：①偶数都可以被2整除；②任何一个实数乘以0都等于0；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.
是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填上所有满足要求的序号).
4．已知命题p：“?x∈R，(a－3)x＋1＝0”是真命题，则实数a的取值集合是__________．
5．(2021·青岛高一检测)判断下列命题的真假：
(1)?x，y∈Z，3x－2y＝10；
(2)?a，b∈R，(a－b)2＝a2－b2；
(3)?a，b∈R，a3－b3＝(a－b).
能力过关
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．下列命题中的真命题是(　　)
A．?x∈R，x2>0
B．?x∈R，x2＋2x>0
C．?x∈R，<0
D．?x∈R，x＝6
2．(多选题)(2021·南京高一检测)已知下列命题中，真命题的是(　　)
A．?x∈R，x2＋1>0　　 B．?x∈N，x2≥1
C．?x∈Z，x3<1 D．?x∈Q，x2＝3
3．(2021·南昌高一检测)已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是(　　)
A．a≥－3 B．a>－3
C．a≤－3 D．a<－3
4．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是(　　)
A．至少有一个x∈Z，使得x2<3成立
B．对任意a，b∈R，都有a2＋b2≥2
C．?x∈R，＝x
D．菱形的两条对角线长度相等
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·中山高一检测)命题p：?x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)
6．若命题“?x∈(0，＋∞)，x2＋mx＋1＝0”是真命题，则实数m的取值范围是________．
三、解答题
7．(10分)命题“?x∈[1，＋∞)，x2＋x＋m≥0”是假命题，求实数m的取值范围．
1.下列命题是真命题的是(　　)
A．?x∈R，x>0
B．?x∈R，x2＋2x＋3＝0
C．有的三角形是正三角形
D．每一个四边形都有外接圆
分析选C.对A，?x∈R，x>0显然不正确；
对B，?x∈R，x2＋2x＋3＝0，因为Δ<0，所以方程无解，命题不正确；
对C，有的三角形是正三角形，显然正确；
对D，每一个四边形都有外接圆，显然不正确．
2．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是(　　)
A．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
B．?a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C．?a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
D．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
分析选D.A、B不是全称量词命题，故排除；
等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对全体实数都成立．
3．下列命题：①偶数都可以被2整除；②任何一个实数乘以0都等于0；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.
是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填上所有满足要求的序号).
分析①是全称量词命题；②是全称量词命题；③含存在量词“有的”，是存在量词命题；④是存在量词命题；⑤是存在量词命题．
答案：①②　③④⑤
4．已知命题p：“?x∈R，(a－3)x＋1＝0”是真命题，则实数a的取值集合是__________．
分析因为“?x∈R，(a－3)x＋1＝0”是真命题，所以关于x的方程(a－3)x＋1＝0有实数解，
所以a－3≠0，即a≠3，
所以实数a的取值集合是{a∈R|a≠3}．
答案：{a∈R|a≠3}
5．(2021·青岛高一检测)判断下列命题的真假：
(1)?x，y∈Z，3x－2y＝10；
分析当x＝4，y＝1时满足3x－2y＝10，故(1)为真命题；
(2)?a，b∈R，(a－b)2＝a2－b2；
分析当a＝1，b＝0时满足(a－b)2＝a2－b2，故(2)为真命题；
(3)?a，b∈R，a3－b3＝(a－b).
分析根据立方差公式可知?a，b∈R，a3－b3＝(a－b)成立．故(3)为真命题．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．下列命题中的真命题是(　　)
A．?x∈R，x2>0
B．?x∈R，x2＋2x>0
C．?x∈R，<0
D．?x∈R，x＝6
分析选D.?x∈R，x2≥0，故排除A.
取x＝0，则x2＋2x＝0，故排除B.
因为≥0，故排除C；取x＝－2，
则x＝6，故D正确．
2．(多选题)(2021·南京高一检测)已知下列命题中，真命题的是(　　)
A．?x∈R，x2＋1>0　　 B．?x∈N，x2≥1
C．?x∈Z，x3<1 D．?x∈Q，x2＝3
分析选AC.对于A，因为x2≥0，
所以x2＋1≥1>0，故A是真命题；
对于B，取x＝0，则0<1，不满足x2≥1，故B是假命题；
对于C，取x＝0，满足0<1，故C是真命题；
对于D，令x2＝3，
解得x＝±，而±?Q，故D是假命题．
3．(2021·南昌高一检测)已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是(　　)
A．a≥－3 B．a>－3
C．a≤－3 D．a<－3
分析选D.因为x＋3≥0，所以A＝{x|x≥－3}，又因为a∈A是假命题，
即a?A，所以a<－3.
4．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是(　　)
A．至少有一个x∈Z，使得x2<3成立
B．对任意a，b∈R，都有a2＋b2≥2
C．?x∈R，＝x
D．菱形的两条对角线长度相等
分析选B.A.因为02<3，0∈Z，所以至少有一个x∈Z，使得x2<3成立，是真命题，但不是所有的x∈Z，都有x2<3成立，不是全称量词命题；
B．因为a2＋b2－2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以B是真命题，又因为a，b∈R都使命题成立，故本命题符合题意；C.当x≥0，＝x成立，是真命题，但不是对所有的实数都成立，故不是全称量词命题；
D．并不是所有的菱形对角线长度都相等，是假命题，是全称量词命题．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·中山高一检测)命题p：?x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)
分析命题p，含有存在量词?，是存在量词命题，为假命题．
x2＋2x＋5＝0，
所以Δ＝22－4×1×5＝－16<0，方程无实数解，命题为假命题．
答案：存在量词命题　假
6．若命题“?x∈(0，＋∞)，x2＋mx＋1＝0”是真命题，则实数m的取值范围是________．
分析该命题为真命题，等价于方程x2＋mx＋1＝0有正根，又因为x1·x2＝1＞0，
所以
即m≤－2，
所以m的取值范围是(－∞，－2].
答案：(－∞，－2]
三、解答题
7．(10分)命题“?x∈[1，＋∞)，x2＋x＋m≥0”是假命题，求实数m的取值范围．
分析由已知可得m≥－x2－x
＝－2＋，
设函数y＝－2＋，
由二次函数的性质知，当x∈[1，＋∞)时，y随x的增大而减小，所以y∈(－∞，－2]，
当命题“?x∈[1，＋∞)，x2＋x＋m≥0”是真命题时，m≥y最大值＝－2，当命题是假命题时，得m<－2，即实数m的取值范围是(－∞，－2).