1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（习题）-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

全称量词命题与存在量词命题的否定
1.(2021·广州高一检测)设命题p：?x∈[0，1]，都有x2－1≤0.则p为(　　)
A．?x∈[0，1]，使x2－1≤0
B．?x∈[0，1]，使x2－1≥0
C．?x∈[0，1]，使x2－1>0
D．?x∈[0，1]，使x2－1>0
2．设命题p：?k∈N，k2>2k＋3，则p为(　　)
A．?k∈N，k2>2k＋3
B．?k∈N，k2<2k＋3
C．?k∈N，k2≤2k＋3
D．?k∈N，k2≤2k＋3
3．设命题p：?x∈Q，x2∈Q，则(　　)
A．p为真命题
B．p：?x∈Q，x2?Q
C．p：?x?Q，x2∈Q
D．p：?x∈Q，x2?Q
4．(2021·惠州高一检测)命题“存在一个正整数，既不是合数，也不是素数”的否定是________．
5．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”，用符号表示为__________，此命题的否定是____________，是________命题(填“真”或“假”).
6．命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是________．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是(　　)
A．p：所有四边形的内角和都是360°
B．q：?x∈R，x2＋2x＋2≤0
C．r：?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D．s：对所有实数a，都有|a|＞0
2．?m，n∈Z，使得m2＝n2＋1 998的否定是(　　)
A．?m，n∈Z，使得m2＝n2＋1 998
B．?m，n∈Z，使得m2≠n2＋1 998
C．?m，n∈Z，使得m2≠n2＋1 998
D．以上都不对
3．(2021·郑州高一检测)已知命题p：?x∈R，2x2＋5x＋4>0，则命题p的真假以及否定分别为(　　)
A．真，p：?x∈R，2x2＋5x＋4≤0
B．假，p：?x∈R，2x2＋5x＋4≤0
C．真，p：?x∈R，2x2＋5x＋4≤0
D．假，p：?x∈R，2x2＋5x＋4≤0
4．(2021·巢湖高一检测)若命题“?x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．　　B．∪
C． D．∪
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·大名高一检测)若命题p：?x∈R，x2－4x＋a＝0为假命题，则实数a的取值范围是________，p的否定是________．
6．已知命题p：?x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是________．
三、解答题
7．(10分)命题p是“对任意实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定．
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
8.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：
(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立．
(2)p：?x∈R，x2＋2x＋5＞0.
1.(2021·广州高一检测)设命题p：?x∈[0，1]，都有x2－1≤0.则p为(　　)
A．?x∈[0，1]，使x2－1≤0
B．?x∈[0，1]，使x2－1≥0
C．?x∈[0，1]，使x2－1>0
D．?x∈[0，1]，使x2－1>0
分析选C.根据全称量词命题的否定为存在量词命题，命题p：?x∈[0，1]，都有x2－1≤0的否定为：?x∈[0，1]，使x2－1>0.
2．设命题p：?k∈N，k2>2k＋3，则p为(　　)
A．?k∈N，k2>2k＋3
B．?k∈N，k2<2k＋3
C．?k∈N，k2≤2k＋3
D．?k∈N，k2≤2k＋3
分析选C.因为命题p：?k∈N，k2>2k＋3，所以p：?k∈N，k2≤2k＋3.
3．设命题p：?x∈Q，x2∈Q，则(　　)
A．p为真命题
B．p：?x∈Q，x2?Q
C．p：?x?Q，x2∈Q
D．p：?x∈Q，x2?Q
分析选D.因为命题p为真命题，所以命题p的否定为假命题，p：?x∈Q，x2?Q.
4．(2021·惠州高一检测)命题“存在一个正整数，既不是合数，也不是素数”的否定是________．
分析因为原命题为：“存在一个正整数，既不是合数，也不是素数”，为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，否定为：“任取一个正整数，则这个数是合数或者是素数”．
答案：任取一个正整数，则这个数是合数或者是素数
5．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”，用符号表示为__________，此命题的否定是____________，是________命题(填“真”或“假”).
分析此命题用符号表示为?x，y∈R，x＋y＞1，此命题的否定是?x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题．
答案：?x，y∈R，x＋y＞1　?x，y∈R，x＋y≤1　假
6．命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是________．
分析命题的否定是?x∈[0，＋∞)，x3＋x<0.
答案：?x∈[0，＋∞)，x3＋x<0
能力过关
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是(　　)
A．p：所有四边形的内角和都是360°
B．q：?x∈R，x2＋2x＋2≤0
C．r：?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D．s：对所有实数a，都有|a|＞0
分析选BD.A.p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题．B.q：?x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题，这是由于?x∈R，x2＋2x＋2＝(x ＋1)2＋1≥1＞0恒成立．C.r：?x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，假命题．D.s：存在实数a，使|a|≤0，真命题．
2．?m，n∈Z，使得m2＝n2＋1 998的否定是(　　)
A．?m，n∈Z，使得m2＝n2＋1 998
B．?m，n∈Z，使得m2≠n2＋1 998
C．?m，n∈Z，使得m2≠n2＋1 998
D．以上都不对
分析选C.这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，形式是：?m，n∈Z，有m2≠n2＋1 998.
3．(2021·郑州高一检测)已知命题p：?x∈R，2x2＋5x＋4>0，则命题p的真假以及否定分别为(　　)
A．真，p：?x∈R，2x2＋5x＋4≤0
B．假，p：?x∈R，2x2＋5x＋4≤0
C．真，p：?x∈R，2x2＋5x＋4≤0
D．假，p：?x∈R，2x2＋5x＋4≤0
分析选C.对于函数y＝2x2＋5x＋4，Δ＝25－32<0，故命题p为真．
又p：?x∈R，2x2＋5x＋4≤0.
4．(2021·巢湖高一检测)若命题“?x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．　　B．∪
C． D．∪
分析选C.若命题“?x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命题，
则其否定“?x∈R，使得3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，
所以Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·大名高一检测)若命题p：?x∈R，x2－4x＋a＝0为假命题，则实数a的取值范围是________，p的否定是________．
分析若命题p为假命题，则p：?x∈R，x2－4x＋a≠0为真命题，
则Δ＝2－4a<0，解得a>4.
答案：　?x∈R，x2－4x＋a≠0
6．已知命题p：?x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是________．
分析因为p为假命题，所以命题p的否定：?x＞0，x＋a－1≠0是真命题，所以x≠1－a，
所以1－a≤0，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
三、解答题
7．(10分)命题p是“对任意实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定．
分析(1)命题p的否定：存在实数x，有x－a≤0且x－b＞0.
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
分析要使命题p的否定为真，则需要使不等式组的解集不为空集．
通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b＜a.
8.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：
(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立．
分析(1)全称量词命题．￢p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“?x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．
(2)p：?x∈R，x2＋2x＋5＞0.
分析存在量词命题．￢p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“?x∈R，x2＋2x＋5≤0”．