黑龙江省鹤岗市一高2020-2021学年高二下学期6月月考数学（理）试题 Word版含答案

鹤岗市一高2020-2021学年高二下学期6月月考
数学试卷（理科）
一、单选题（共12个小题，每题5分，共60分）
1．已知则（ ）
A． B． C．2 D．1
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域（ ）
A． B． C． D．
4．宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的分别为，，则输出的（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．下列选项错误的是（ ）
A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”
B．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件
C．“若，则”的逆命题为真.
D．若“命题p：?x∈R，x2＋x＋1≠0”，则“p：?x0∈R，＋x0＋1＝0”
6．已知，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．已知函数，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的导函数为偶函数，则的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数为偶函数，且，当时，，则（ ）．
A． 4 B． C．6 D．8
11．已知变量，满足则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
12．已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4道小题，每题5分，共20分）
13．______.
14．已知函数，若对，使得，则实数的取值范围为___________.
15.已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围为___________.
16．定义在上的函数，记，，，则的大小关系为______.
三、解答题（共6道题，共70分.每道题要写出必要的演算步骤和计算过程）
17．（10分）求下列各式的值：
（1）；
（2）．
18．（12分）定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
(1)求f（0）的值；
(2)求证f（x）为奇函数；
(3)若f（k?2x）+f（4x+1-8x-2x）＞0对任意x∈[-1，2]恒成立，求实数k的取值范围．
19．（12分）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）已知在定义域上为减函数，若对任意的，不等式为常数）恒成立,求的取值范围.
20．（12分）已知函数f (x)＝(k为常数)，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与x轴平行．
(1)求实数k的值； (2)求函数f (x)的单调区间．
21．（12分）已知二次函数，且满足，.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）当时，求函数的最小值（用表示）.
.
22．（12分）已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若存在极小值，求实数的取值范围；
（3）设是的极小值点，且，证明：．
2021年6月月考数学理科试卷
一、单选题
1．已知则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
因为， 所以．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，，
.
3．函数的定义域（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
对于函数，有，即，解得.
因此，函数的定义域为.
4．宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的分别为，，则输出的（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
输入的分别为，时，依次执行程序框图可得：
不成立
不成立
不成立
成立 输出
5．下列选项错误的是（ ）
A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”
B．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件
C．“若，则”的逆命题为真.
D．若“命题p：?x∈R，x2＋x＋1≠0”，则“p：?x0∈R，＋x0＋1＝0”
【答案】C
解：对于A，命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”，所以A正确；
对于B，当x>2时，x2－3x＋2>0成立，而当x2－3x＋2>0时，x>2或，所以“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，所以B正确；
对于D，由命题p：?x∈R，x2＋x＋1≠0，可得p：?x0∈R，＋x0＋1＝0，所以C正确；
对于C，“若，则”的逆命题为：“若，则”，当时不成立，C不正确；
6．已知，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
因为， 所以.
7．已知函数，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意得：，
所以，整理得，
令，，
在同一坐标系中画出的图象，如图所示：
根据图象，的解集为.
8．已知函数的导函数为偶函数，则的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题得，， 由为偶函数，得， 所以，
所以的图象在点处的切线的斜率为，
所求的切线方程为，即.
9．“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为“不等式在上恒成立”，所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，所以，所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得.
A选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确；
C选项是充要条件，不成立；
B选项中，不可推导出，B不成立；
D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D不正确.
10．已知函数为偶函数，且，当时，，则（ ）．
A． 4 B． C．6 D．8
【答案】D
由，可得， 又为偶函数，所以，
所以是周期函数，且周期，
所以．
11．已知变量，满足则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
由题意作出可行域，如图，
目标函数，即可行域内的点与点连线的斜率，
直线的斜率为，由可得点，则，
数形结合可得，或.
12．已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由可得，
即，所以（其中为常数），
因此，，由可得，故.
显然，是上的偶函数.
当时，，
所以，在上是增函数. 故
二、填空题
13．______.
【答案】
由定积分的几何意义可知表示圆的部分，
即，
由微积分基本定理可知，
所以.
14．已知函数，若对，使得，则实数的取值范围为___________.
【答案】
因为对，使得，所以，
因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以，
又因为在上单调递增，所以，
所以，所以，即
15.已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
解：指数函数单调递减，则，
二次函数在上单调递减，则：，解得：，
且当时：，解得：，
综上可得，实数a的取值范围是.
16．定义在上的函数，记，，，则的大小关系为______.
【答案】
由得，
所以在上单调递增，
因为，，
，即，
因为在上单调递增，所以，
即
三、解答题
17．求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
（1）原式
（2）原式
18．定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
(1)求f（0）的值；
(2)求证f（x）为奇函数；
(3)若f（k?2x）+f（4x+1-8x-2x）＞0对任意x∈[-1，2]恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）f（0）=0（2）见证明；（3）k＞1
(1)根据题意得，（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0）∴f（0）=0
（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0∴f（-x）=-f（x）∴f（x）为奇函数；
（3）由题知：f（k?2x+4x+1-8x-2x）＞0=f（0）
又y=f（x）是定义在R上的增函数，∴k?2x+4x+1-8x-2x＞0对任意x∈[-1，2]恒成立，
∴k?2x＞2x+8x-4x+1 ∴k＞1+22x-2x+2
令2x=t，t∈[，4]，则g（t）=1+t2-4t ∴k＞g（t）max
当t=2时，g（t）max=g（4）=1 ∴k＞1
19．已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）已知在定义域上为减函数，若对任意的，不等式为常数）恒成立,求的取值范围.
（1）是奇函数，，即

（2）因为为奇函数，从而不等式，
等价于
为减函数 即对一切都有
20.已知函数f (x)＝(k为常数)，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与x轴平行．
(1)求实数k的值； (2)求函数f (x)的单调区间．
解　(1)f′(x)＝(x>0)． 又由题意知f′(1)＝＝0，所以k＝1.
(2)f′(x)＝(x>0)．设h(x)＝－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．由h(1)＝0知，当00，所以f′(x)>0；
当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.
综上，f (x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
21．已知二次函数，且满足，.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）当时，求函数的最小值（用表示）.
【答案】（1）；（2）；（3）
（1）因为二次函数满足，，
所以，即，
所以，解得，因此；
（2）由（1）知，是对称轴为开口向上的二次函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，因此，
又，，所以，
即当时，，
为使关于的方程在上有解，只需；
（3）因为是对称轴为开口向上的二次函数，
当时，在上单调递增，则；
当，即时，在上单调递减，则；
当，即时，；
综上.
22．已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若存在极小值，求实数的取值范围；
（3）设是的极小值点，且，证明：．
【答案】（1）单调减区间（0，1），单调增区间为（1，+∞）；（2）（0，+∞）．（3）见解析
（1）a＝1时，f（x）＝xex﹣1﹣x﹣lnx，f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）（xex﹣1﹣1），令g（x）＝xex﹣1﹣1，g′（x）＝（x+1）ex﹣1＞0，
g（x）在（0，+∞）递增，而g（1）＝0，即f′（x）＝0，
故x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）单调减区间（0，1），单调增区间为（1，+∞）；
（2）∵函数f（x）＝xex﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．∴f′（x）（xex﹣1﹣a），（x＞0）．
令g（x）＝xex﹣1﹣a，则g′（x）＝（x+1）ex﹣1＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．
又∵当x→0时，g（x）→﹣a，当x→+∞时，g（x）→+∞．
∴当a≤0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，不存在极值点；
当a＞0时，g（x）的值域为（﹣a，+∞），必存在x0＞0，使g（x0）＝0．
∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴f（x）存在极小值点．综上可知实数a的取值范围是（0，+∞）．
（3）由（2）知x0a＝0，即a＝x0．∴lna＝lnx0+x0﹣1，f（x0）＝x0（1﹣x0﹣lnx0）．
由f（x0）≥0，得1﹣x0﹣lnx0≥0．令h（x）＝1﹣x﹣lnx，由题意h（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
又h（1）＝0，∴由f（x0）≥0，得0＜x0≤1，
令H（x）＝x﹣lnx﹣1，（x＞0），则H′（x）＝1，
当x＞1时，H′（x）＞0，函数H（x）单调递增；
当0＜x＜1时，H′（x）＜0，函数H（x）单调递减；
∴当x＝1时，函数H（x）取最小值H（1）＝0，
∴H（x）＝x﹣lnx﹣1≥0，即x﹣1≥lnx，即ex﹣1≥x，
∴x0＞0，1﹣x0﹣lnx0≥1﹣x0﹣（x0﹣1）＝2（1﹣x0）≥0，
∴f（x0）＝x0（1﹣x0﹣lnx0）≥x02?2（1﹣x0）＝2（x02﹣x03），∴f（x0）≥2（x02﹣x03）．
试卷第5 55页，总15 1515页