苏科版九年级上册数学教案 1.3 一元二次方程的根与系数的关系

1.3一元二次方程根与系数的关系
教学设想：
本课内容是在学生学习完解一元二次方程的基础上展开的。先由发现二次项系数为“1”的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，再引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数与系数的关系，然后归纳出一元二次方程根与系数的关系，最后运用这个关系解决实际问题。新授内容向学生渗透了认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊的过程，这也是我们数学学科上常用的数学思想，同时培养学生勇于探索、积极思维的精神。
在教学过程中，数学实验和数学游戏是课堂教学中常见的也是有效的教学手段。在对较低学段的学生进行教学时，适当穿插游戏环节可以帮助大多数学生更好的投入到课堂教学中从而掌握知识、突破难点。
在练习设计与作业布置中都体现了分层次教学的要求，让不同层次的学生都能主动的参与并都能得到充分的发展，同时也遵循了面向全体与因材施教相结合的教学原则。
在探究问题、分析问题、解决问题时，充分渗透对比、类比等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力。
本节课的教学设计力求在每一个环节上都能以学生为主体，让学生自己完成知识的探索，体会他们的工作是有意义、有科学性、有创造性的。他们在本课的学习活动中始终是主动的探索者、研究者。我们教学的目的，就是要培养具有创新思维的人才，培养学生灵活运用基本理论解决问题的能力，为此给予精心的设计，持之以恒，学生的创新精神，和创造能力都将有一个巨大的提高。
教
学
目
标
知识与
技能目标
?
掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
过程与
方法目标
经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透特殊到一般、转化等数学思想。
情感与
态度目标
通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
重
点
难
点
重点
探索一元二次方程根与系数的关系的推导、运用。
难点
正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。
学法指导
在教学中启发学生多动脑、，多思考、多练习、多探究；采用小组合作交流、个人独立思考与师生相互沟通相结合的教学方法，逐步培养学生的数学兴趣，让学生学有所得，学有所乐。
教学手段
采用ppt、电子白板等多媒体辅助教学，提高教学效果。
备课要点
教学过程
教学
环节
教学活动
教师活动
学生活动
设计意图
一、
挑战回忆
挑战回忆
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.解一元二次方程的方法有哪些?
3.一元二次方程的求根公式是什么？
过渡：根与方程的系数存在这样的关系，那么是否还有别的特殊关系呢？这就是我们这节课要来研究的主题。
（出示课题）
ax2+bx+c=0
(a≠0)
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
(b2-
4ac≥0)
在回忆旧知的基础很自然的引出今天的新授内容。
强调一元二次方程有根的前提是b2-
4ac≥0，为顺利转化本课的难点做铺垫。
让学生感受到数学学科有很多有价值的规律等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望，也自然过渡到本节课的主题。
二、
合作探究
合作探究
填一填，算一算
猜想：你觉得一元二次方程两根的和、积与它的系数有什么样的关系？
提问：给出的这些方程有什么共同点？
总结：若方程x2+px+q=0的两根为x1、x2
则x1+x2=-p
,x1.x2=q
提问：
x1、x2是2x2-5x-3=0的两个根，那么
x1+x2=
x1
x2
=
这个方程和刚才给出的方程有什么不同？我们可以作一个怎样的变换，把它变成刚才方程的形式？
得出结论后请学生通过计算出方程的两根来验证结论的正确性。
若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2
,则x1+x2=
x1
x2
=
请大家仿照刚才的变换得出结论。
刚才的结论是我们通过几个特殊的方程得出的结论，那么是否所以的一元二次方程都有上诉的结论呢？我们还是要用数学方法进行科学的验证。
总结一元二次方程根与系数的关系：
若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2
x1+x2=
x1
x2
=
这是法国数学家韦达第一个总结出来的，所以我们把这个关系也叫做“韦达定理”。
注意定理运用的前提条件：△=b2-4ac≥0
考考你的同桌
要求：各写出一个一元二次方程，让对方说出两根之和，两根之积。都完成任务请举手，比比哪一桌快。
学生独立完成后进行口答。
同桌讨论，大胆讲出你的发现。
二次项系数都为1。
师、生合作总结
这个方程的二次项系数不为1.
我们可以在方程两边都同时除以2就可以转换成上面的形式了。
师生合作
学生动脑思考。
师生互动完成，白板投影验证过程。
让学生完整的总结关系，用文字语言来叙述定理
让学生在书本上划出定理内容，并补充写出定理运用的前提条件。
同时用半分钟时间记忆定理内容。
同桌互动。完成后选有代表性的进行评讲。
通过表格的填写，更容易让学生探究一元二次方程根与系数存在的关系，培养学生观察、发现问题的能力。
先给出二次项系数为1的一元二次方程，探究根与系数关系，再转化到一般形式的一元二次方程根与系数的关系，把知识点分散解决，更能让学生直观、深刻的发现一元二次方程根与系数的关系，从而体验知识产生形成的过程。
渗透转化的数学思想。
通过类比上面解题过程让学生把ax2+bx+c=0转化为
x2+px+q=0形式，从而得出结论。培养学生解决问题的解力。
通过白板展示的验证结果正确，体现数学学科的严谨性。
培养学生的抽象概括能力、语言组织能力。
渗透数学课外小知识。
这个前提条件是以后题目中经常会制造陷阱的地方，要求学生引起重视。强调：要研究两根之和、积的关系前提一定是要保证有根。
用游戏、比赛的形式更能激发学生对于新知的掌握的热情。同时检查学生出题时是否会出无解的方程。再次重申注意点。
三、
信
息
反馈，及
时
评
价
你来诊断
1．生1：设x1，x2是一元二次方程x2+5x+6=0的两个根。
生2：x1+x2=5
(
)
2．生1：设x1，x2是一元二次方程x2-3x=1的两个根，
生2：
x1
x2=1
(
)
3．生1：设x1，x2是一元二次方程2x2-x+6=0的两个根，
生2：x1+x2=
(
)
强调：
运用韦达定理时
1．一定要化成一般式。
2．一定要保证b2-4ac≥0
（二）尝试交流
小明在一本课外读物中读到如下一段文字：一元二次方程x2－
x
＝0的两根分别是和
，你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？
（三）知识内化
1．已知关于x的方程2x2+mx+4=0的一个根是1，求它的另一个根和m的值。
2．已知x1、x2是方程2x2+4x+1=0的两个根，
分别求：
①
②（x1+1）(x2+1)
③
④x12+x22
(四)、拓展延伸
已知关于x的方程x2－2ax+a2－2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值(
)
A.-3,1
B.1
C.-3
D.无法确定
请学生思考后用手势来回复。
师生合作完成
先让学生用自己的方法解答，然后请同学把自己的解法和大家分享。
第①、②题师生互动后老师板演，后两题由学生板演。
学生独立完成
用手势的形式回复：1.避免学生人云亦云的情况。2.改变数学的课回答的固定模式，激发学生的学习兴趣。
第3小题再次出现b2-4ac≥0的陷阱题，让学生加强重视。
此题是韦达定理的直接运用，难度并不高，但学生容易出现只关注墨迹的答案，忽略了题目让我们求的是一次项的系数，所以还要把“-”号放进去。从而培养学生细致，严谨的学习态度。
通过展示不同的解题方法，让学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，感受数学解题上的互通性。同时也认识到根与系数关系的应用价值。
拿到此时后，学生可能会去解出方程的根，但发觉解出来的根带有根号，代入所求的代数式中会很繁琐，从而产生了疑问，这正是老师想要达到的效果，只有产生了疑问，有了矛盾的激发，课堂才会更精彩。此时，老师就带领学生进行分析，引导学生联系所学知识，分析所求与已知间的联系，很自然的让学生联想到运用根与系数的关系解决这个问题。
这是给学有余力的同学的一个提升，是韦达定理的又一陷阱题，今天是第一课时，所以我用选择型的形式出现，降低难度。
通过以上练习题及时反馈学生对韦达定理知识的掌握程度，及早发现问题解决问题。
四、
学会
小结总结
提高
畅所欲言
这节课你学到了什么？在知识应用的过程中需要注意什么？
1．从所学到的内容来讲
2．从所学到的数学思想来说。
（白板出示投影）
请学生主动站起来总结。
通过小结，使学生主动地把本课的知识内容纳入自己的认知结构。
五、
布
置
作业，
推
荐
创
新
（一）独立作业
必做题：同步一课时作业
选做题：
已知关于x的一元二次方程x2+（2m－3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β，是否存在满足=1，若存在，求m的值，若不存在，请说明原因。
预习作业：整理归纳本章内容
课后学生做在练习本上
学生课后独立完成作业，及时复习巩固所学知识，进行学习效果的自我评价。
在选题上有梯度，按照分层教学理念，使每个学生都得到最佳巩固发展。
培养学生整理、归纳、总结的能力。
六．
课
外
小
阅
读
韦达（1540－1603）是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。
他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”
学生阅读
增强学生对数学历史发展的了解、储备、积累，激发学生对数学学科的热爱。。
板书：
(
一元二次方程根与系数的关系
ax
2
+bx+c=0(a≠0)
例2
-
-
-
-
x
1
+x
2
=
-
-
-
-
-
x
1
x
2
=
练2
-------
注意：
b
2
-4ac≥0
------
△=b
2
-4ac≥0
)
(
多媒体
投影
)
教学反思
在整堂课中，师生之间配合比较默契，各个教学环节之间的联系过度都比较自然顺畅。在具体教学过程中始终坚持学生是教学的主体，让学生边探索边思考，边练边学，把更多时间留给学生，让学生做学习的主人。
这节课比较可取的地方我认为：
1.在定理的引入时，我先给出二次项系数为1的一元二次方程，探究根与系数关系，再转化到一般形式的一元二次方程根与系数的关系，把知识点分散解决，更能让学生直观、深刻的发现一元二次方程根与系数的关系。而且这一部分我用较多的时间，能让学生对这一关系理解、掌握的更透，更明。
2.在练习中，我设计了填空、判断、选择、问答等不同题型。在解决这时题目时，我也穿插了游戏、给同桌出题、自己做，板演、你当小老师等不同形式，学生就不会感觉做题时单调，兴趣自然上来了。
还存在的缺点：
1.这节课我是借班上课的，此班级的学生整体素质都特别好，所以本来我设计好需要学生爆露出来的问题，他们好多都没有出现。比如在“你来诊断”环节中的第3题，我本来以为他们都会觉得此题是对的，可大部分的同学都在上一环节“考考你的同桌”中注意到了这个陷阱，表现的非常好。但实际平时上课时，这一题大部分的学生都会跳进那个陷阱的。
2.在“知识内化”环节的第2题，本来我设想好先让学生自己思考解决此题的方法，但由于一紧张，我就直接引导学生向两根之和、积的方向上靠了。若是让学生产生了疑问，再老师去带领学生分析、引导，可能效果会更好。