2.2
圆的对称性
课标要求
1.理解圆的有关概念:圆的半径、直径、劣弧、优弧、弦、圆心角、圆周角等;了解弧、弦、圆心角的关系.探索并了解点与圆的位置关系.理解圆的对称性及有关性质.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
2.理解以下定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的弧.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半.
直径(或半圆)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
学习重点1.垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的弧.
2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
学习难点
在应用性质解决问题时所涉及到的分类讨论和转化的数学思想.
学习过程:
一、课前准备:
1.你能利用尺规将下面残缺的圆补全吗?
2.
如图,
⊙O的半径为4,点O到AB的距离OM为2,则AB=
.
3.
在(2)条件下,∠AOB=
°.
4.
在(3)条件下,若点C为优弧AB上一点,则∠ACB=
°;
若点C为圆周上一点,则∠ACB=
°.
【问题要点】
1.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等(一等皆等).
3.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
4.同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半.
5.直径(或半圆)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
(
圆心
定义
半径
圆心角
弦
圆周角
定义
圆
圆弧
弧、弦、圆心角之间的关系
圆周角与圆心角的关系
垂径定理
确定圆的条件
圆的有关概念
圆的基本性质
圆的有关性质
对称性
轴对称
中心对称
)5.知识网络图
二、例题教学:
如图,AB是⊙O的直径,C,D在圆上,CE⊥AB于E,BD交CE于点F.
(1)若C是弧的中点,求证:CF﹦BF;(2)若CF﹦BF,那么点C是弧的中点?
为什么?
(3)在(1)条件下,若CD﹦6,AC﹦8,则⊙O的半径为多少?
CE的长是多少?
(来源课本57例3)
(
1
)
(
2
)
【规律】1.本题考察圆周角定理、勾股定理、垂径定理;
2.
考察圆心角、弧、弦的关系.
3.这些都是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据,同时也为圆中一些计算和作图问题提供了方法和依据.
三、巩固练习:
(一)基础题
1.
如图,矩形ABCD中,AB=9,BC=4,点P在AB上,且BP=2AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是(
)
A.点A在圆P外
B.点A在圆P上
C.点B在圆P外
D.点B在圆P上
2.如图,⊙O中,弦AB、CD相交于点P,
若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B等于(
)
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
(
第1题
第2题
第3题
)
3.如图,⊙O的半径OA=5
cm,弦AB=8
cm,点P为弦AB上一动点,则点P到圆心O的最短距离是
cm.
4.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,
∠ABC=50°,
动点P在弦BC上,则∠PAB可能为________度(写出一个符合条件的度数即可).
5.如图,O为原点,点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),⊙D过A、B、O三点,点C为上一点(不与O、A两点重合),则cosC的值为( )
(
第4题
第5题
)
A.
B.
C.
D.
(二)拓展与延伸:
如图,点A在线段DB上,在线段DB的同侧做边长分别为1和4的等边△ADE和等边△ABC,连接BE,CE,△ADE在绕点A顺时针旋转的过程中.
求△BCE面积的最小值为多少?
如图,边长为1的正方形AEFG的边AG在边长为4的正方形ABCD的边AD上,连接BG,DG,正方形AEFG在绕点A顺时针旋转过程中,△BDF的面积的最小值为多少?
(三)达标题
1.如图,A,B,C是⊙O上的三点,∠BAC=30°,则∠BOC=
度.
(
第3题
第1题
第2题
)
2.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,若AC=8,AB=10,OD⊥BC
于点D,则BD的长为(
)
A.1.5
B.3
C.5
D.6
3.如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是(
)
A.点P
B.点Q
C.点R
D.点M
4.如图,AB是半圆O的直径,点P从点O出发,沿的路径运动一周.设为,运动时间为,则下列图形能大致地刻画与之间关系的是(
)
(
P
A
O
B
s
t
O
s
O
t
O
s
t
O
s
t
A.
B.
C.
D.
)
(
第4题
)
5.如图,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(
第5题
)(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;
(2)若OC=3,AB=8,求⊙O直径的长.
作业:在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标为(-
4,0)、(2,0)若直线L过点E(4,0),M为直线L上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个,求直线L的表达式。