（人教五四版）2020-2021学年八年级数学下学期期末常考题（解答题30题）(Word版，附答案解析）

2020-2021学年初中数学八年级下学期期末常考题（解答题30题）
一．填空题（共1小题）
1．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；系数和为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…，
则（a+b）n的展开式共有　 　项，系数和为　 　．
二．解答题（共29小题）
2．计算：（1）；
（2）．
3．计算：（﹣2）2×．
4．先化简，再求值：（a+2b）2﹣2a（a﹣2b），其中a＝1，b＝﹣1．
5．（1）；
（2）．
6．（1）计算﹣22+（π﹣3.14）0++（﹣）﹣1．
（2）计算（x+4）2﹣（x+2）（x﹣5）．
7．（1）先化简，再求值：，其中x＝2；
（2）解不等式1+≥2﹣，并求出其最小整数解．
8．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
9．计算：+（3.14﹣π）0﹣（）﹣1+．
10．计算：（x+1）（x﹣2）+（x2﹣3x）÷x．
11．先化简，再求值：﹣，其中a＝﹣2．
12．计算：（+）（﹣）+（﹣2）2．
13．计算：（）2+4（﹣1）﹣．
14．先化简代数式，再从﹣2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
15．解不等式组．，把不等式组的解集在数轴上表示出来．
16．疫情期间，各年级陆续开学，五十五中教育集团计划购进红外线测温仪，需购进A，B两种测温仪．已知购买1台A种测温仪和2台B种测温仪需要3.5万元；购买2台A种测温仪和1台B种测温仪需要2.5万元．
（1）求每台A种、B种测温仪的价格；
（2）根据教育集团实际需求，需购进A种和B种测温仪共30台，总费用不超过30万元，请你通过计算，求至少购买A种测温仪多少台．
17．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
18．某商场进行商品促销活动，打折前购买A商品40件与购买B商品30件所花的钱一样多，打折促销活动中，A商品打八折，B商品打九折，此时购买A商品40件比购买B商品30件少花600元，求打折前A商品和B商品每件的价格分别为多少？
19．合肥某单位计划组织员工外出旅游，人数估计在10～25人之间．甲、乙两旅行社的服务质量都较好，且旅游的价格都是每人200元．该单位联系时，甲旅行社表示可以给予每位旅客7.5折优惠，乙旅行社表示可免去一带队领导的旅游费用，其他游客8折优惠．问该单位怎样选择，可使其支付的旅游总费用较少？
20．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝5，＜﹣1.5＞＝﹣1．解决下列问题：
（1）[﹣4.5]＝　 　，＜3.5＞＝　 　．
（2）若[x]＝2，则x的取值范围是　 　；若＜y＞＝﹣1，则y的取值范围是　 　．
（3）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围．
21．解方程组：．
22．解不等式组，并求出它的所有非负整数解之和．
23．为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买了多少瓶？
24．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
25．在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a﹣（a+b），如1⊕5＝2×1﹣（1+5）＝﹣7．
（1）若x⊕4＝0，则x＝　 　．
（2）求不等式x⊕2＞（﹣2）⊕（x+4）的负整数解．
26．如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E、F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．
（1）直线AD与BC有何位置关系？请说明理由．
（2）求∠DBE的度数．
27．如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0），将线段OA平移至CB，点D在x轴正半轴上，C（a，b），且+|b﹣3|＝0．连接OC，AB，CD，BD．
（1）写出点C的坐标为　 　；点B的坐标为　 　；
（2）当△ODC的面积是△ABD的面积的3倍时，求点D的坐标；
（3）设∠OCD＝α，∠DBA＝β，∠BDC＝θ，判断α、β、θ之间的数量关系，并说明理由．
29．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．
30．（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠M＝90°且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当直角顶点M移动时，问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外）∠CGH+∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．
2020-2021学年初中数学八年级下学期期末常考题（解答题30题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共1小题）
1．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；系数和为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…，
则（a+b）n的展开式共有　n+1　项，系数和为　2n　．
【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n﹣1相邻两项的系数和．
【解答】解：展开式共有n+1项，系数和为2n．
故答案为：n+1，2n．
【点评】本题考查了完全平方公式，关键在于观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．
二．解答题（共29小题）
2．计算：（1）；
（2）．
【分析】（1）首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
（2）首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）
＝3﹣3﹣3﹣5
＝﹣8．
（2）
＝﹣4++1
＝﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
3．计算：（﹣2）2×．
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、乘方运算以及开平方和开立方运算等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝4×+（﹣2）×﹣1，
＝2﹣1﹣1，
＝0．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算法则．
4．先化简，再求值：（a+2b）2﹣2a（a﹣2b），其中a＝1，b＝﹣1．
【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（a+2b）2﹣2a（a﹣2b）
＝a2+4ab+4b2﹣2a2+4ab
＝﹣a2+8ab+4b2，
当a＝1，b＝﹣1时，原式＝﹣1+8×1×（﹣1）+4×（﹣1）2＝﹣1﹣8+4＝﹣5．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（1）；
（2）．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，平方根、立方根的性质计算即可求出值；
（2）原式利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣8×4﹣4
＝﹣1﹣32﹣4
＝﹣37；
（2）原式＝3﹣2﹣5
＝﹣2﹣2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
6．（1）计算﹣22+（π﹣3.14）0++（﹣）﹣1．
（2）计算（x+4）2﹣（x+2）（x﹣5）．
【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用完全平方公式以及多项式乘多项式计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣4+1+3﹣3
＝﹣3；
（2）原式＝x2+8x+16﹣x2+5x﹣2x+10
＝11x+26．
【点评】此题主要考查了实数运算以及完全平方公式、多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（1）先化简，再求值：，其中x＝2；
（2）解不等式1+≥2﹣，并求出其最小整数解．
【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案．
（2）根据一元一次不等式的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝
＝?
＝﹣
＝，
当x＝2时，
原式═．
（2）∵1+≥2﹣，
∴6+3（x+1）≥12﹣2（x+7），
∴6+3x+3≥12﹣2x﹣14，
∴5x≥﹣11，
∴x≥，
故不等式的最小整数解为﹣2．
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及不等式的解法，本题属于基础题型．
8．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，
方案三：a2+＝＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
9．计算：+（3.14﹣π）0﹣（）﹣1+．
【分析】利用绝对值的性质、二次根式的性质、立方根的性质、零次幂的性质，然后再计算计算加减即可．
【解答】解：原式＝﹣2+1﹣2+3＝0．
【点评】此题主要考查了实数运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
10．计算：（x+1）（x﹣2）+（x2﹣3x）÷x．
【分析】直接利用多项式乘多项式以及整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+x﹣2+x﹣3
＝x2﹣5．
【点评】此题主要考查了整式的除法以及多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
11．先化简，再求值：﹣，其中a＝﹣2．
【分析】先化简分式，然后将a的值代入计算．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝．
当a＝﹣2时，
原式＝＝3．
【点评】本题看次了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
12．计算：（+）（﹣）+（﹣2）2．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：原式＝7﹣5+5﹣4+4
＝11﹣4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
13．计算：（）2+4（﹣1）﹣．
【分析】先利用二次根式的性质化简，然后合并即可．
【解答】解：原式＝5+4﹣4﹣4
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
14．先化简代数式，再从﹣2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将a＝0代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝?
＝，
当a＝0时，原式＝＝2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
15．解不等式组．，把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+5≤3（x+2），得：x≥﹣1，
解不等式2x﹣＜1，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．疫情期间，各年级陆续开学，五十五中教育集团计划购进红外线测温仪，需购进A，B两种测温仪．已知购买1台A种测温仪和2台B种测温仪需要3.5万元；购买2台A种测温仪和1台B种测温仪需要2.5万元．
（1）求每台A种、B种测温仪的价格；
（2）根据教育集团实际需求，需购进A种和B种测温仪共30台，总费用不超过30万元，请你通过计算，求至少购买A种测温仪多少台．
【分析】（1）设每台A种、B种设备各x万元、y万元，根据题意结合“购买1台A种设备和2台B种设备需要3.5万元；购买2台A种设备和1台B种设备需要2.5万元”，得出等量关系求出即可；
（2）利用（1）中所求得出不等关系求出即可．
【解答】解：（1）设每台A种、B种设备各x万元、y万元，根据题意得出：
，
解得：，
答：每台A种、B种设备各0.5万元、1.5万元；
（2）设购买A种设备z台，根据题意得出：
0.5z+1.5（30﹣z）≤30，
解得：z≥15，
答：至少购买A种设备15台．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的关键语句，列出方程和不等式．
17．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式①，可得
x＜3，
解不等式②，可得
x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
在数轴上表示为：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．某商场进行商品促销活动，打折前购买A商品40件与购买B商品30件所花的钱一样多，打折促销活动中，A商品打八折，B商品打九折，此时购买A商品40件比购买B商品30件少花600元，求打折前A商品和B商品每件的价格分别为多少？
【分析】设打折前A商品价格为x元，B商品为y元，根据题意列出关于x与y的方程组，求出方程组的解即可得到结果．
【解答】解：设打折前A商品价格为x元，B商品为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：打折前A商品价格是150元，B商品是200元．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
19．合肥某单位计划组织员工外出旅游，人数估计在10～25人之间．甲、乙两旅行社的服务质量都较好，且旅游的价格都是每人200元．该单位联系时，甲旅行社表示可以给予每位旅客7.5折优惠，乙旅行社表示可免去一带队领导的旅游费用，其他游客8折优惠．问该单位怎样选择，可使其支付的旅游总费用较少？
【分析】设人数为x，则可得10≤x≤25，从而可得甲旅行社需要花费：200x×0.75，乙旅行社：200（x﹣1）×0.8，让两式相等可求出人数x为何值时两家相等，从而据此讨论x取其他值的情况．
【解答】解：设该单位有x人外出旅游，则选择甲旅行社的总费用为0.75×200x＝150x（元），选择乙旅行社的总费用为0.8×200（x﹣1）＝（160x﹣160）（元）．
①当150x＜160x﹣160时，解得x＞16，即当人数在17～25人时，选择甲旅行社总费用较少；
②当150x＝160x﹣160时，解得x＝16，即当人数为16人时，选择甲、乙旅行社总费用相同；
③当150x＞160x﹣160时，解得x＜16，即当人数为10～15人时，选择乙旅行社总费用较少．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，与实际结合得比较紧密，解答本题需要先了解两家花费一样的人数的值，这是关键．
20．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝5，＜﹣1.5＞＝﹣1．解决下列问题：
（1）[﹣4.5]＝　﹣5　，＜3.5＞＝　4　．
（2）若[x]＝2，则x的取值范围是　2≤x＜3　；若＜y＞＝﹣1，则y的取值范围是　﹣2≤y＜﹣1　．
（3）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围．
【分析】（1）根据题目所给信息求解；
（2）根据[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，可得[x]＝2中的2≤x＜3，根据＜a＞表示大于a的最小整数，可得＜y＞＝﹣1中，﹣2≤y＜﹣1；
（3）先求出[x]和＜y＞的值，然后求出x和y的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，[﹣4.5]＝﹣5，＜3.5＞＝4；
故答案为：﹣5，4．
（2）∵[x]＝2，
∴x的取值范围是2≤x＜3；
∵＜y＞＝﹣1，
∴y的取值范围是﹣2≤y＜﹣1；
故答案为：2≤x＜3，﹣2≤y＜﹣1．
（3）解方程组得：，
∴x，y的取值范围分别为﹣1≤x＜0，2≤y＜3．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题目所给的信息进行解答．
21．解方程组：．
【分析】先把方程组中各方程去掉分母，再用加减消元法或代入消元法求解即可．
【解答】解：原方程组可变化成，
①×3+②×2，得
17m＝306，
m＝18，
把m＝18代入①，得
n＝12，
所以方程组的解是．
【点评】解题关键是掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法．
22．解不等式组，并求出它的所有非负整数解之和．
【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＜，
所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜，
所以不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3，
0+1+2+3＝6，
即所有非负整数解之和为6．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
23．为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买了多少瓶？
【分析】等量关系为：甲消毒液的瓶数+乙消毒液的瓶数＝100瓶，甲消毒液总价钱+乙消毒液总价钱＝780元．
【解答】解：设甲种消毒液购买x瓶，则乙种消毒液购买y瓶，
依题意得：，
解得：．
答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶．
【点评】本题考查对方程组的应用能力，要注意由题中提炼出的两个等量关系，本题中等量关系为：甲、乙两种消毒液共100瓶，两种消毒液共用780元，即可列方程组解应用题．
24．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≥2，
解不等式②得：x＜4，
∴不等式组的解集为：2≤x＜4，
在数轴上表示为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
25．在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a﹣（a+b），如1⊕5＝2×1﹣（1+5）＝﹣7．
（1）若x⊕4＝0，则x＝　12　．
（2）求不等式x⊕2＞（﹣2）⊕（x+4）的负整数解．
【分析】（1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可．
（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵a⊕b＝2a﹣（a+b），
∴x⊕4＝2x﹣（x+4）＝﹣6，
∵x⊕4＝0，
∴＝0，
解得x＝12，
故答案为：12；
（2）∵a⊕b＝2a﹣（a+b），
∴x⊕2＝2x﹣（x+2）＝﹣3，﹣2⊕（x+4）＝2×（﹣2）﹣（﹣2+x+4）＝﹣4+3﹣x﹣6＝﹣x﹣7
∵x⊕2＞（﹣2）⊕（x+4），
∴＞﹣x﹣7，
解得x＞﹣2，
∴不等式的负整数解为﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键．
26．如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E、F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．
（1）直线AD与BC有何位置关系？请说明理由．
（2）求∠DBE的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明∠ADC+∠C＝180°，即可证得AD∥BC；
（2）由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ABC的度数，又由∠DBE＝∠ABC，即可求得∠DBE的度数．
【解答】解：（1）直线AD∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
又∵∠A＝∠C
∴∠ADC+∠C＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°，
∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，
∴∠DBE＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝40°．
【点评】此题主要考查了平行线的判定性质、角平分线定义．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
27．如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．
【分析】先判定AB∥CD，则∠ABC＝∠BCD，再由∠P＝∠Q，则∠PBC＝∠QCB，从而得出∠1＝∠2．
【解答】证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°，
∴AB∥DE，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠P＝∠Q，
∴PB∥CQ，
∴∠PBC＝∠BCQ，
∵∠1＝∠ABC﹣∠PBC，∠2＝∠BCD﹣∠BCQ，
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0），将线段OA平移至CB，点D在x轴正半轴上，C（a，b），且+|b﹣3|＝0．连接OC，AB，CD，BD．
（1）写出点C的坐标为　（2，3）　；点B的坐标为　（6，3）　；
（2）当△ODC的面积是△ABD的面积的3倍时，求点D的坐标；
（3）设∠OCD＝α，∠DBA＝β，∠BDC＝θ，判断α、β、θ之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b，得到点C的坐标，根据平移的性质求出点B的坐标；
（2）分点D在线段OA上、点D在线段OA的延长线上两种情况，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
（3）分点D在线段OA上、点D在线段OA的延长线上两种情况，根据平行线的性质解答．
【解答】解：（1）∵+|b﹣3|＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
解得，a＝2，b＝3，
∴点C的坐标为（2，3），
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，即CB＝4，
∴点B的坐标为（6，3），
故答案为：（2，3）；（6，3）；
（2）设点D的坐标为（x，0），
∵△ODC的面积是△ABD的面积的3倍，即S△OCD＝3S△ABD，
∴OD＝3AD，
如图1，当点D在线段OA上时，
∵OD＝3AD，
∴AD＝x，
则x+x＝4，
解得，x＝3，
∴点D的坐标为（3，0）；
如图2，当点D在OA的延长线上时，
∵OD＝3AD，
∴AD＝x，
则x﹣x＝4，
解得，x＝6，
∴点D的坐标为（6，0）；
综上所述，点D的坐标为（3，0）或（6，0）；
（3）①如图1，当点D在线段OA上时，过点D作DE∥AB，与CB交于点E，
由平移可知，OC∥AB，
∴DE∥OC，
∴α＝∠CDE，β＝∠BDE，
∵θ＝∠BDC＝∠CDE+∠BDE，
∴θ＝α+β；
②如图2，当点D在OA的延长线上时，过点D作DE∥AB，与CB得延长线交于点E，
由平移可知，OC∥AB，
∴DE∥OC，
∴α＝∠CDE，β＝∠BDE，
∵θ＝∠BDC＝∠CDE﹣∠BDE，
∴θ＝α﹣β，
综上所述，α，β，θ之间的数量关系θ＝α+β，或θ＝α﹣β．
【点评】本题考查的是平移变换的性质、非负数的性质、平行线的性质，掌握算术平方根和绝对值的非负性、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
29．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．
【分析】（1）求出AE∥GF，求出∠2＝∠A＝∠1，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3＝180°，求出∠3，根据平行线的性质求出∠C即可．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠A，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，
∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，
∴∠3＝25°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝25°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中．
30．（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠M＝90°且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当直角顶点M移动时，问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外）∠CGH+∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可得出答案；
（2）过M作MF∥AB，根据平行线的性质得出∠BAM＝∠AMF，∠FMC＝∠DCM，再根据∠M＝90°，即可得出∠BAM+∠MCD＝90°；
（3）过点G作GP∥AB，根据平行线的性质得出∠BAC＝∠PGC，∠CHG＝∠PGH，从而得出∠BAC＝∠CHG+∠CGH．
【解答】解：（1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠ACD＝2∠ACM，
∵∠MAC+∠ACM＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∠BAM+∠MCD＝90°；
理由：如图2，过M作MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD，
∴∠BAM＝∠AMF，∠FMC＝∠DCM，
∵∠M＝90°，
∴∠BAM+∠MCD＝90°；
（3）过点G作GP∥AB，
∵AB∥CD
∴GP∥CD，
∴∠BAC＝∠PGC，∠CHG＝∠PGH，
∴∠PGC＝∠CHG+∠CGH，
∴∠BAC＝∠CHG+∠CGH．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，用到的知识点是三角形内角和定理以及平行线的判定与性质，关键是根据题意做出辅助线．