19.1.2矩形的判定课后培优- 2020-2021学年八年级数学华东师大版下册（Word版含答案）

19.1.2《矩形的判定》课后培优
一、单选题
1．平行四边形的对角线和交于点，添加一个条件不能使平行四边形变为矩形的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的有（
）
①测量对角线是否相互平分；②测量两组对边是否相等；
③测量对角线是否相等；④测量其中三个角是否为直角
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．如图，E是平行四边形边延长线上一点，且，连接、、．若，则四边形是（
）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
4．如图，在平行四边形中，M、N是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是（
）
A．
B．
C．
D．
5．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AD＝BC且AC＝BD
B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C
D．AB＝CD且∠A＝∠B
6．下列命题中，（
）
①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
②对角线相等的四边形是矩形
A．①正确②正确
B．①正确②错误
C．①错误②正确
D．①错误②错误
7．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（
）
A．12
B．10
C．8
D．6
8．如图，在矩形中，，M为的中点，连接，E为的中点，连接、，若为直角，则的值为（
）
A．3
B．
C．
D．
9．如图，四边形中，，，，，点是上一动点，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
二、填空题
11．已知矩形ABCD中有一点P，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，则PD＝_____．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别为AB、CD边上的点，且EF∥BC，G为EF上一点，且GF＝2，M、N分别为GD、EC的中点，则MN＝________．
13．如图，已知，，，，，，则的面积为________．
14．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABO＝60°，若矩形的对角线长为2，则线段AD的长是______．
15．如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE＝30°，DE＝4，则这个矩形的周长是_____．
16．如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是________．
三、解答题
17．如图，点、、、在同一直线上，且，点、分别在直线的两侧，，．
（1）求证：；
（2）连结交于点，若，请补全图形并证明：四边形是矩形．
18．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形．
19．如图，四边形是平行四边形，过点A作交的延长线于点E，点F在上，且，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，求的长．
20．如图，的对角线相交于点O，．
（1）求证：；
（2）若，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
21．已知：如图，在中，为边上一点，以为邻边作平行四边形，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当点在什么位置时，四边形是矩形，请说明理由．
22．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
23．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若OE⊥BD交BC于E，求证：BE＝2CE．
参考答案
1．D
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
A.
时，，
∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B.四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
C.∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
D.四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，故选项D符合题意；
2．A
解：①对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
②两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
③对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；
④其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
3．B
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴是矩形，
4．D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵2OM=AC，
∴MN=AC，
∴四边形AMCN是矩形．
5．C
解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，故选项C不符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，AB的长为AD、BC间的距离，
又∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴选项D不符合题意；
6．B
解：①当两个等腰三角形的顶角对应相等时，它们的底角也对应相等，
∴底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，说法正确；
②对角线相等的平行四边形是矩形，故本小题说法错误；
7．C
解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：
则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，
∴S△DEM=S△DQM，S△QCM=S△MFC，S△AEM=S△APM，S△MPB=S△MFB，S△ABC=S△ADC，
∴S△ABC-S△AMP-S△MCF=S△ADC-S△AEM-S△MQC，
∴S四边形DEMQ=S四边形MPBF，
∵DE=CF=2，
∴S△DEM=S△MFB=×2×4=4，
∴S阴=4+4=8，
8．D
解：连接AE，过点E作EF⊥AD，并延长，交BC于点H，如图所示：
∵四边形是矩形，，
∴，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
9．C
解：作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，P即为所求，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．
作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD．
∵CD=2AD，
∴DD'=CD，
∴∠DCD'=∠DD'C．
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴四边形ABED'是矩形，
∴DD'∥EC，D'E=AB=4，
∴∠D'CE=∠DD'C，
∴∠D'CE=∠DCD'．
∵∠DCB=60°，
∴∠D'CE=30°，
∴在Rt△D'CE中，D'C=2D'E=2×4=8，
∴PC+PD的最小值为8．
10．A
解：∵，，
∴AB∥CD，
∵，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∵，
∴四边形ABDC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴，AD=BC，AB=CD，AC=BD，
故正确结论有4个，
11．
解：过点P作GHBC交AB、CD于点G、H，过点P作EFAB交AD、BC于点E、F，
设AE=BF=c，AG=DH=a，GB=HC=b，ED=FC=d
，，，
PA＝1，PB＝2，PC＝3，
即
（负值已舍去）
12．3
解：如图，取DF的中点H，CF的中点Q，连接MH，NQ，过点M作MK⊥NQ于K，
∵EF∥BC，AB∥CD，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵∠BCD＝90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴EF＝BC＝AD＝8，
∵M、N分别为GD、EC的中点，H是DF的中点，Q是CF的中点，
∴NQ＝EF＝4，MH＝GF＝1，MH∥EF，NQ∥EF，HQ＝CD＝3，
∴MH∥NQ，
∵KM⊥NQ，∠NQD＝90°，
∴MK∥HQ，
∴四边形MHQK是平行四边形，
∴MK＝3，KQ＝MH＝1，
∴NK＝3，
∴MN＝MK＝3，
13．
解：过点D作DG⊥BC于G，过点E作EF⊥AD交AD的延长线于F，如图所示：
则四边形ABGD是矩形，
∴AD=BG，
∵∠EDF+∠FDC=90°，
∠GDC+∠FDC=90°，
∴∠EDF=∠GDC，
在△EDF和△CDG中，
，
∴△EDF≌△CDG（AAS），
∴EF=CG=BC-BG=BC-AD=4-3=1，
∴S△ADE=
AD?EF=×3×1=，
14．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD＝2，
∴AO＝OB＝1，
∵∠ABO＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝1＝OA，
∴AD＝，
15．16+4
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC．
在Rt△ADE中，
∵∠A＝90°，∠ADE＝30°，DE＝4，
∴AE＝DE＝2，AD＝．
∵DE⊥CE，∠A＝90°，
∴∠BEC＝∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°．
在Rt△BEC中，
∵∠B＝90°，∠BEC＝30°，BC＝AD＝2，
∴BE＝，
∴AB＝AE+BE＝2+6＝8，
∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2（8+2）＝16+4．
16．
解：如图：
当点与点重合时，点在处，，
当点与点重合时，点在处，，
且．
当点在上除点、的位置处时，有．
由中位线定理可知：且．
点的运动轨迹是线段，
当时，取得最小值．
矩形中，，，为的中点，
、、为等腰直角三角形，．
，．
．
．
，即，
的最小值为的长．
在等腰直角中，，
的最小值是．
17．（1）证明见解析；（2）图见解析，证明见解析．
证明：（1）∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴；
（2）由题意，补全图形如下：
∵，
∴，
又∵，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是矩形．
18．（1）见解析；（2）见解析
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF(AAS)；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形
19．（1）见详解；（2）
解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）由（1）可得：四边形是矩形，
∵，
∴，
∴在Rt△AEB中，，
设BF=x，则，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得，
在Rt△DFB中，由勾股定理可得，
∴，即，
解得：，
∴．
20．（1）见解析；（2）矩形，见解析
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）四边形是矩形．理由：由（1）知．
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴平行四边形是矩形．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠2，
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠B=∠1，
∴∠1=∠2；
（2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=ED，
∵AB=AC，
∴AC=ED，
在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（3）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下：
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AE∥BC，
∵D为边长BC的中点，
∴BD=CD，
∴AE=CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵△ADC≌△ECD，
∴AC=DE，
∴四边形ADCE是矩形．
22．（1）见解析；（2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由见解析．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=OB，DF=OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG//CF，
∴EG//CF，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵EG=AE，
∴EG=CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形EGCF是矩形．
23．（1）见解析；（2）见解析
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，BO=OD，
∵△ABO是等边三角形，
∴AO=BO=AB，
∴AO=OC=BO=OD，
∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．
（2）∵四边形ABCD是矩形；
∴OB=OC，∠ABC=90°，
∵△ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°，
∵OE⊥BD，
∴∠BOE=90°，∠EOC=30°，
∴∠EOC=∠ECO，
∴EO=EC，
∴BE=2EO=2CE．