19.3正方形课后同步培优-2020-2021学年八年级数学华东师大版下册（Word版含答案）

19.3《正方形》课后培优
一、单选题
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等
2．设表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，则它们之间的关系用图形来表示正确的是（　　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（
）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形-菱形→矩形
D．正方形→菱形→平行四边形→矩形
4．如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接．将绕点A顺时针旋转得到．则下列结论一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案．现用图1所示的一副七巧板拼成如图2所示的六边形，若图1中七巧板的总面积为16，则图2中六边形的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
6．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图1，测得，当时，如图2，则的值为（
）
A．
B．2
C．
D．
7．如图．已知正方形的边长为．，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下个结论；①；②；③的周长是．其中正确的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（
）
A．3
B．4
C．4.5
D．5
9．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形的边长是（　　）
A．
B．+1
C．
D．
10．如图，正方形的边长为2，为边的中点，点在边上，点关于直线的对称点记为，连接，，．当点在边上移动使得四边形成为正方形时，的长为（
）
A．
B．
C．
D．3
二、填空题
11．在边长为2的正方形中，点E是的中点，于点F，则的长度________．
12．如图1，直角三角形纸片两直角边长之比为1：2，剪四块这样的直角三角形纸片，拼成如图2所示的正方形，已知图2中空白小正方形的面积为16，则图2中大正方形的边长为__________．
13．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED的度数为_________．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为，则点E的坐标为______________．
15．如图，正方形ABCD中，AD＝4+2，已知点E是边AB上的一动点（不与A、B重合）将ADE沿DE对折，点A的对应点为P，当PA＝PB时，则线段AE＝________．
16．如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为_____________．
三、解答题
17．如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，且DF＝BE，求证：AF⊥AE．
18．如图，已知四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形．求证：．
19．如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作∥，作BM⊥于M，DN⊥于N，直线MB、ND分别交于Q、P．求证：四边形PQMN是正方形．
20．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数．
21．如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上的一点，且，连接、、．
（1）求证：；
（2）已知，若点是的中点，连接、，求的度数．
22．如图，在正方形中，为射线上的动点，连接，交于．
（1）证明：；
（2）若交于，当时，求之长；
（3）是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出之长；若不存在，请说明理由．
23．如图，在正方形的对角线上取一点．连接并延长到点，使与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，判断之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．A
解：A、对角线互相平分，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有此性质，故此选项符合题意；
B、对角线互相垂直，只有菱形、正方形具有此性质，故此选项不符合题意；
C、对角线相等，只有矩形、正方形具有此性质，故此选项不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等，只有正方形具有此性质，故此选项不符合题意；
2．B
解：∵四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，
∴正方形应是N的一部分，也是P的一部分，
∵矩形、正方形、菱形都属于平行四边形，
∴它们之间的关系
3．B
解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
4．C
A、B不一定正确；
C.由旋转的性质可得，
△ADF≌△ABG，
∴DF=BG，∠DAF=∠BAG，
∵∠DAB=90°，∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠BAG+∠EAB=45°，
∴∠EAF=∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴，
故C正确；
D.
∵AF>AD，AB=AD，
∴AF>AB，
故D错误；
5．D
解：∵图1的总面积为16，
∴正方形的边长为4，
∴①、②的直角边长为，斜边长为4，
④的短边长为，长边长为2，
③的直角边长为，长边长为2，
⑤为正方形，边长为，
⑥的斜边长为2，直角边长为，
⑦的直角边长为，
∴．
6．A
解：如图1，
∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2=AC2，
∴，
如图2，∠B=60°，连接AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴，
7．D
解：正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，
∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，
∵DA=DF，DG=DG，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，
,故结论①正确；
∴∠GDE=∠FDG+∠FDE
=（∠ADF+∠CDF）
=45°，故结论②正确
∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，
∴△BGE的周长=BG+BE+
EC+AG
=AB+BC，
正方形ABCD的边长为
的周长为24，故结论③正确；
8．D
解：△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，
△AEM
△ADM
连接，如图，
△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
△ABF
△ADM
在正方形ABCD中，
在中，
，
9．D
解：由题知：△AEF是边长为2的等边三角形，
∴∠EAF＝60°，AE＝AF，∴∠BAE+∠DAF＝30°，
又AB＝AD，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF＝15°，
如图，作∠AEH＝∠BAE＝15°，交AB于H，
∴∠BHE＝30°，AH＝HE，∴HE＝2BE＝AH，BH＝BE，∴AB＝（2+）BE，
∵AE2＝BE2+AB2，
∴4＝BE2+（2+）2×BE2，
∴BE＝(﹣1）＝，
∴AB＝（2+）BE＝，
10．A
解：如图，连接，连接，
四边形是正方形，
，平分，
为边的中点，
，
四边形是正方形，
，平分，
点，点，点三点共线，
，
11．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，点E是的中点，
∴，
∵，，
∴，EF=BF，
∴，
∴
12．
解：设直角三角形纸片较短直角边长为x，则较长直角边长为2x，
∵空白小正方形的面积为16，
∴空白小正方形的边长为4，
由图2得2x-
x=4
解得
x=4，
∴直角三角形纸片较短直角边长为4，则较长直角边长为8，
∴大正方形的边长为．
13．15°
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°＋60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°?∠ADE）＝15°，
14．
解：∵四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，
．
，
．
在和中，
，
．
∵E是OA的中点，
，
．
∵点C的坐标为，
，
，
∴点E的坐标为，
15．2
解：如图，过点P作MN⊥AB于N，交CD于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD=4+2，CD∥AB，
∵MN⊥AB，
∴MN⊥CD，
∴四边形ADMN是矩形，
∴MN=AD=4+2，
由折叠可知：AD=DP=4+2，AE=PE，
∵PA=PB，
∴MN是AB的垂直平分线，
∴DM=CM=2+，AN=NB=2+，
∴MP=，
∴PN=1，
∵PE2=PN2+EN2，
∴AE2=1+（2+-AE）2，
∴AE=2，
16．6
解：连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，
∵正方形的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵点在上且，
∴AE=3，
∴DE=，
∴的周长=5+1=6，
17．见解析
证明：由正方形ABCD，得
AB＝AD，∠B＝∠ADF＝∠BAD＝90°．
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）．
∴∠BAE＝∠FAD，AE＝AF．
∴∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝∠FAD+∠EAD＝90°．
即∠EAF＝90°．
∴AF⊥AE．
18．见解析．
证明：四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形,
∴CB=CD，CF=CG，∠BCD=∠FCG=90°，
∴
∴∠BCF=∠DCG,
在△BCF和△DCG中,
∴△BCF
≌△DCG(SAS)，
∴∠CBF=∠CDG．
19．证明见解析
证明：∵∥，BM⊥，DN⊥，
∴∠QMN＝∠P＝∠N＝90°，
∴四边形PQMN为矩形，
∵AB＝AD，∠M＝∠N＝90°
∠ADN+∠NAD＝90°，∠NAD+∠BAM＝90°，
∴∠ADN＝∠BAM，
又∵AD＝BA，
∴Rt△ABM≌Rt△DAN（AAS），
∴AM＝DN
同理AN＝DP，
∴AM+AN＝DN+DP，
即MN＝PN．
∴四边形PQMN是正方形．
20．（1）见解析；（2）
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABE=∠CBE=∠ADB=×90°=45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
又∵∠AEC=140°，
∴∠CEB=70°，
∵∠DEC+∠CEB=180°，
∴∠DEC=180°-∠CEB=110°，
∵∠DFE+∠ADB=∠DEC，
∴∠DFE=∠DEC-∠ADB=110°-45°=65°．
21．（1）见解析；（2）105°
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，AB=AD，
在和中，
，
∴（SAS），
∴．
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴∠EAF=∠DAF+∠DAE=∠BAE+∠DAE=90°，
∴，
在和，
∵是的中点，
∴，
又∵，，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵PE=PC，
∴△PEC为等边三角形，
∴∠PCE=60°，
∴，
在和中，
，
∴（SSS），
∴∠ADP=∠CDP，
∵∠ADP+∠CDP=90°，
∴，
∴．
22．（1）见解析；（2）；（3）存在，CG或
解：（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
；
（2）如图1，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）当时，
，
，即，
点与点重合，
；
当时，
，
，
是的一个锐角，
，
不存在；
当时，
，
，
如图2，在上截取，连接，
，，
，
，
，
，
，
综上所述：或．
23．（1）见详解；（2）EF＝CE＋ED，理由见详解
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°．
∵在△ABE和△ADE中，
∵，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE；
（2）在EF上取一点G，使EG=EC，连接CG，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
∴∠CBE＝∠CDE，
∵BC＝CF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠CBE＝∠CDE＝∠F．
∵∠CDE＝15°，
∴∠CBE＝15°，
∴∠CEG＝60°．
∵CE＝GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE＝60°，CE＝GC，
∴∠GCF＝60°-15°=45°，
∴∠ECD＝∠GCF．
∵在△DEC和△FGC中，
，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE＝GF．
∵EF＝EG＋GF，
∴EF＝CE＋ED．