2020-2021学年九年级数学华东师大版下册 26.2.3 求二次函数的表达式同步课时习题（word版含答案）

26.2.3
求二次函数的表达式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（　　）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3
B．y=x2﹣2x﹣3
C．y=x2﹣2x+3
D．y=﹣x2+2x﹣3
2．抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为
A．b=2，c=﹣6
B．b=2，c=0
C．b=﹣6，c=8
D．b=﹣6，c=2
3．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（??
）
A．y=x2﹣x﹣2?
B．y=﹣x2﹣x+2??
C．y=﹣x2﹣x+1????
D．y=﹣x2+x+2
4．一个二次函数的图象的顶点坐标为，与轴的交点，这个二次函数的解析式是（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，抛物线的表达式是（???
）
A．y＝x2－x＋2?????????????????B．y＝x2＋x＋2?????????????????C．y＝－x2－x＋2????????????D．y＝－x2＋x＋2
6．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（　　）
A．y=x2+6x+3
B．y=﹣3x2﹣2x+3
C．y=2x2+8x+3
D．y=﹣x2+2x+3
7．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点则此抛物线对此函数的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
8．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞-3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是-2
D．抛物线的对称轴是x=-
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是(　　)
A．y＝－2x2－x＋3
B．y＝－2x2＋4
C．y＝－2x2＋4x＋8
D．y＝－2x2＋4x＋6
10．已知抛物线过点，，与轴交于点，且．则这条抛物线的解析式为（
）
A．
B．
C．或
D．或
11．将抛物线先绕坐标原点旋转，再向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，抛物线交轴于点，交过点且平行于轴的直线于另一点，交轴于两点（点在点右边），对称轴为直线，连接．若点关于直线的对称点恰好落在线段上，给出下列结论：①点坐标为；②；③；④．
其中正确的结论有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
13．二次函数当时有最大值为，且它的图象形状与相同，则该二次函数的解析式为________．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+4
经过点A（﹣3，0），点
B
在抛物线上，CB∥x轴，且AB
平分∠CAO．则此抛物线的解析式是___________．
15．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是__．
16．已知边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点A、B、C在图中的抛物线上，则此抛物线的解析式为______________________．
17．如图所示，直线交轴于，两点，交轴于点，若的坐标为，且的面积为，则抛物线的解析式为________．
18．如图，在中，，，点的坐标为，过点作直线交于，交于，以为顶点的抛物线经过点，当和的面积相等时，则抛物线解析式为________．
三、解答题
19．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用配方法求抛物线的顶点坐标．
20．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，3）.
（1）求该函数的关系式；
（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
21．如图，抛物线y=
x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论．
22．如图所示，已知二次函数经过点B（3，0），C（0，3），D（4，-5）
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是抛物线上一点，且S△ABP=S△ABC，这样的点P有几个请直接写出它们的坐标．
23．如图，抛物线y=x2
+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．
24．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；
（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．
25．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．
参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
D
B
D
D
B
D
D
C
C
C
二、填空题
13
14
15
16
17
18
y=-x2+x+4
三、解答题
19.
解：（1）把A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点代入y＝﹣2x2+bx+c，得
解得
故该抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．
所以抛物线的顶点坐标是（，）．
20.
（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，?4)，
∴设抛物线的函数关系式为y=a(x?1)2?4，
又∵抛物线过点C(0，3)，
∴3=a(0?1)2?4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=(x?1)2?4，
即y=x2?2x?3；
（2）令y=0，得：x2，
解得，.
所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.
21.
（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-2上，
∴×（-1）2+b×（-1）-2=0，b=-
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2
（2）当x=0时y=-2，
∴C（0，-2），OC=2．
当y=0时，x2-x-2=0，
∴x1=-1，x2=4，
∴B（4，0）．
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形．?
22.
解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）
，
由题意可得函数经过B（3，0），C（0，3），D（4，-5）三点，将三点坐标代入得：，
解得
所以二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）由题意得，当y=0时，-x2+2x+3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴A点坐标为（-1，0），
∵B（3，0），C（0，3），
∴AB=4，OC=3,
S△ABC=
4×3÷2=6，即△ABC的面积是6；
（3）设P点的纵坐标为n，
∵S△ABP=S△ABC，
∴S△ABP=3，即AB?|n|=3，AB=4，
代入解得n=±，
∴=﹣x2+2x+3，
解得：x=或-=﹣x2+2x+3，解得：x=，
∴这样的点P有4个，
它们分别是（，），（，），（，﹣），（，﹣）
23.
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，
∴﹣1+3=﹣b，
﹣1×3=c，
∴b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB=8，
∴AB?|yP|=8，
∵AB=3+1=4，
∴|yP|=4，
∴yP=±4，
把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1±2，
把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．
24.
（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（﹣3，0），
∴点A的坐标为（1，0）．
将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
得：，解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，如图1所示．
∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，
∴AM＝BM．
∵点B，C，M三点共线，
∴此时AM+CM取最小值，最小值为BC．
设直线BC的函数表达式为y＝kx+d（k≠0），
将B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d，
得：，解得：，
∴直线BC的函数表达式为y＝x+3．
当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，
∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短．
（3）设点P的坐标为（﹣1，m），
∵点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3），
∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4，
PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10，
BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18．
分三种情况考虑（如图2）：
①当∠BCP＝90°时，BC2+PC2＝PB2，
∴18+m2﹣6m+10＝m2+4，解得：m＝4，
∴点P的坐标为（﹣1，4）；
②当∠CBP＝90°时，BC2+PB2＝PC2，
∴18+m2+4＝m2﹣6m+10，解得：m＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；
③当∠BPC＝90°时，PB2+PC2＝BC2，
∴m2+4+m2﹣6m+10＝18，整理得：m2﹣3m﹣2＝0，
解得：m1＝，m2＝，
∴点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）．
综上所述：使△BPC为直角三角形时点P的坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．
25.
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵A（1，0）B（0，3）C（﹣4，0），
∴，
解得：a=﹣，b=﹣，c=3，
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB=3，OC=4，OA=1，
∴BC=AC=5，
当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，
∴点P的坐标为（5，3），
当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；
设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（1，0），P（5，3），
∴，
解得：k=，b=﹣，
∴直线PA的解析式为y=x﹣，
当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，
当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，
∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，
解方程组，得或，
∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最大值为5．
试卷第1页，总3页
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