2020-2021学年下学期华东师大版九年级数学下册 26.3 实践与探索（培优卷）（word版含答案）

26.3实践与探索（培优卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是(
)
A．k<4
B．k≤4
C．k<4且k≠3
D．k≤4且k≠3
2．将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系大致满足二次函数，则小明此次成绩为（
）
A．8米
B．10米
C．12米
D．14米
4．抛物线y=x2+2bx与x轴的两个不同交点是O和A，顶点B在直线y=kx上，若△OAB是等边三角形，则b=（　　）
A．±
B．±3
C．±
D．±
5．某公园一喷水池喷水时水流的路线呈抛物线（如图）．若喷水时水流的高度与水平距离之间的函数关系式是，则水池在喷水过程中水流的最大高度为（
）
A．1.25米
B．2.25米
C．2.5米
D．3米
6．如图，两条抛物线y1＝－x2＋1，y2＝－x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(　
　)
A．8
B．6
C．10
D．4
7．有一拱桥呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度是16
m，跨度为40
m，现把它的示意图(如图所示)放在坐标系中，则抛物线对应的函数表达式为(　　)
A．y＝
B．y＝
C．y＝-
D．y＝-＋16
8．羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－x2+x+1的一部分，如图所示（单位：m），则下列说法不正确的是（
）
A．出球点A离地面点O的距离是1m
B．该羽毛球横向飞出的最远距离是3m
C．此次羽毛球最高可达到m
D．当羽毛球横向飞出m时，可达到最高点
9．某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（
）
A．2m
B．3m
C．4m
D．5m
10．一位运动员在距篮筐正下方水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是(　　　)
A．
B．
C．
D．
11．如图，抛物线与x轴一个交点为，对称轴为直线，则时x的范围是　　
A．或
B．
C．
D．
12．如图，是二次函数图象的一部分，下列结论中：①；②；③有两个相等的实数根；④.其中正确结论的序号为（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①④
二、填空题
13．用一根长为的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值是__________．
14．二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下表：
…
…
…
…
则的解为________．
15．如图，正方形的顶点在边长为的正方形的边上，若设，正方形的面积为，则与的函数关系为________________________（写出自变量的取值范围）．
16．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为________?m2
．
17．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为______________．
18．如图，在△ABC中，BC=8，高AD=6，矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点G、H分别在边AC、AB上，则矩形EFGH的面积最大值为_____．
三、解答题
19．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
20．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
(3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
21．已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D，
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4)，抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积；
（3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD=S△BCD，求点P的坐标.
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
(2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
(3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
B
A
B
A
C
B
B
A
B
D
二、填空题
13
14
15
16
17
18
X=-2或1
y=2x2-4x+4（0＜x＜2）
75
x＜1或x＞3
12
三、解答题
19.
(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.
把(22，36)与(24，32)代入，得
解得
∴y＝－2x＋80（20≤x≤28）
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得
(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.
解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的销售单价是25元．
(3)由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.
∵售价不低于20元且不高于28元，
当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．
答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
20.
解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣3x），
即所求的函数解析式为：S＝﹣3x2+24x，
又∵0＜24﹣3x≤10，
∴；
（2）根据题意，设花圃宽AB为xm，则长为（24-3x），
∴﹣3x2+24x＝45．
整理，得x2﹣8x+15＝0，
解得x＝3或5，
当x＝3时，长＝24﹣9＝15＞10不成立，
当x＝5时，长＝24﹣15＝9＜10成立，
∴AB长为5m；
（3）S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48
∵墙的最大可用长度为10m，0≤24﹣3x≤10，
∴，
∵对称轴x＝4，开口向下，
∴当x＝m，有最大面积的花圃．
21.
（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴将A（﹣1，0）、C（0，3），代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
如图，连接DC、BC、DB，由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），∴CD==，BC==3，BD==2，
∵CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，
∴CD2+BC2=BD2，
∴△BCD是直角三角形；
y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1．假设存在这样的点P,
①
以CD为底边，则P1D=P1C，设P1点坐标为（x，y），
∵
根据勾股定理可得：P1C2=x2+（3﹣y）2，P1D2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，
∴
x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y=4﹣x．
又∵
P1点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，
解得x1=，x2=＜1，(不满足在对称轴右侧应舍去），
∴x=，∴y=4﹣x=，即点P1坐标为（，）．
②
以CD为一腰，∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x=1对称，此时点P2坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．
22.
解：(1)、∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得，a+4=3，
解得a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；
(2)由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；
令y=0，则0=﹣（x﹣1）2+4，
∴x=﹣1或x=3，
∴C（﹣1，0），D（3，0）；
∴CD=4，
∴S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；
(3)由(2)知，S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；CD=4，
∵S△PCD=S△BCD，
∴S△PCD=CD×|yP|=×4×|yP|=3，
∴|yP|=
，
∵点P在x轴上方的抛物线上，
∴yP＞0，
∴yP=
，
∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；
∴=﹣（x﹣1）2+4，
∴x=1±，
∴P（1+
，
），或P（1﹣，）．
23.
解：(1)把A（3，0）B（0，-3）代入，得
解得
所以抛物线的解析式是.
设直线AB的解析式是,把A（3，0）B（0，）代入,得
解得
所以直线AB的解析式是.
(2)设点P的坐标是（）,则M（,）,因为在第四象限，所以PM=，当PM最长时，此时
==.
（3）若存在，则可能是：
①P在第四象限：平行四边形OBMP
,PM=OB=3，
PM最长时，所以不可能.
②P在第一象限平行四边形OBPM：
PM=OB=3，，解得，（舍去），所以P点的横坐标是.
③P在第三象限平行四边形OBPM：PM=OB=3，，解得（舍去），
①，所以P点的横坐标是.
所以P点的横坐标是或.
24.
解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝3，
故点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c并解得：b＝﹣4，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，
令y＝0，则x＝1或3，故点A（1，0），点P（2，﹣1）；
（2）过点E作EH∥y轴交BC于点H，
设点E（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3）
S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），
∵﹣＜0，当x＝时，S△CBE有最大值，
点E（，﹣）；
（3）点C（0，3）、点P（2，﹣1），设点M（2，m），
CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，
①当CM＝CP时，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（舍去m＝﹣1）；
②当CP＝PM时，同理可得：m＝﹣1±2；
③当CM＝PM时，同理可得：m＝；
故点M坐标为：（2，7）或（2，﹣1+2
＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．
25.
（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，
∴C（0，3）．
把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，
∴B（3，0），A（﹣1，0）.
将C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得：
，解得b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3）．
∵O′与O关于BC对称，
∴PO=PO′．
∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．
∴OP+AP的最小值=O′A==5．
O′A的方程为y=
P点满足解得：
所以P
(
,)
（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
又∵C（0，3，B（3，0），
∴CD=，BC=3，DB=2．
∴CD2+CB2=BD2，
∴∠DCB=90°．
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴OA=1，CO=3．
∴．
又∵∠AOC=DCB=90°，
∴△AOC∽△DCB．
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．
如图所示：连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．
∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽△DCB．
∴，即，解得：AQ=10．
∴Q（9，0）．
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．