华东师大版九年级数学下册 第26章 二次函数 单元测试题（word版含解析）

1211580012052300123190000第26章 二次函数 单元测试题
（满分100分；时间：90分钟）
一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ， ）
?1. 下列函数中是二次函数的是（ ）
A.y=ax2+bx+c B.y=3x2+1 C.y=2(x+1)2-2x2 D.y=1x+x2
?
2. 已知二次函数的图象如右图，则下列结论中，正确的结论有（ ）
①a+b+c>0? ②a-b+c<0? ?③abc<0???④b=2a? ?⑤b>0．
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
?
3. 若正方形的边长为6，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（ ）
A.y=(x+6)2 B.y=x2+62 C.y=x2+6x D.y=x2+12x
?
4. 已知二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值1，则a，b的大小关系为（ ）
A.a>b B.a?
5. 二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0,?1)和(-1,?0)．下列结论：①ab<0；②b2>4ac；③0 A.1 B.2 C.3 D.4
?
6. 设函数y＝a(x-h)2+k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）
A.若h＝4，则a<0 B.若h＝5，则a>0
C.若h＝6，则a<0 D.若h＝7，则a>0
?7. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0；②b2-4ac<0；③4a-2b+c<0；④b=-2a．则其中结论正确的是（ ）
A.①③ B.③④ C.②③ D.①④
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） ?
8. 抛物线y=x2+x+2上三点(-2,?a)、(-1,?b)，(3,?c)，则a、b、c的大小关系是________．
?
9. 将函数y=-12(x-1)2+5图象向________平移________个单位可得函数y=-12(x+1)2+5的图象．
?
10. 抛物线y=-3x2+8向右平移5个单位的抛物线的函数关系式是________．
?
11. 已知二次函数?y=x2，在?-1≤x≤3?内，函数的最小值为________.
?
12. 不等式x2+px>4x+p-3对于一切0≤p≤4均成立，则实数x的取值范围是________．
?
13. 已知抛物线y=x2-kx-8经过点P(2,?-8)，则k=________，这条抛物线的顶点坐标是________．
?
14. 用配方法将抛物线y=x2+23x+1化成y=(x+h)2+k的形式是________．
?15. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．

?16. 在二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法中：①b2-4ac<0；②-b2a>0；③abc>0；④a-b-c>0，说法正确的是________（填序号）． ?
17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-4x+1与y轴交于点A，过点A平行于x轴的直线交抛物线y=x2于点B、C两点，点P在抛物线y=-x2-4x+1上且在x轴的上方，连接PB、PC，则△PBC面积的最大值是________．

三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计60分 ， ） ?
18. 已知抛物线y=x2-2x-3．
（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，与y轴的一个交点为C，画草图，求△ABC的面积．
?
19. 利用二次函数y=12x2+x+2的图象和性质，求方程-12x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值．（结果精确到0.1）
?
20. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(1,?0)，与y轴的交点坐标为(0,?-3)．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
?
21. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=-112x2+23x+53．则他将铅球推出的距离是 10 m．

?
22. 抛物线y＝-x2+2x+3的顶点为D，它与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求顶点D的坐标；
（2）求直线BC的解析式；
（3）求△BCD的面积；
（4）当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并且写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
?
23. 已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4.
(1)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出使|PM-AM|最大时点M的坐标，并直接写出|PM-AM|的最大值．
参考答案
一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）
1.
【答案】
B
【考点】
二次函数的定义
【解答】
解：A、y=ax2+bx+c，其中a≠0，故本选项错误；
B、y=3x2+1，故本选项正确；
C、y=2(x+1)2-2x2，整理后不含二次项，故本选项错误；
D、y=1x+x2，不是整式，故本选项错误；
故选B．
2.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解答】
解：根据图象，当x=1时，y=a+b+c>0，当x=-1时，y=a-b+c<0，可知①②正确；
根据图象与y轴的交点位置可知c>0，根据对称轴x=-b2a>0，且抛物线开口向下，a<0，
可知b>0，abc<0，故③⑤正确；
根据对称轴x=-b2a=1得b=-2a，可知④错误．
正确的是①②③⑤4个，故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式
【解答】
解：原边长为6的正方形面积为：6×6=36，
边长增加x后边长变为：x+6，
则面积为：(x+6)2，
∴ y=(x+6)2-36=x2+12x．
故选：D．
4.
【答案】
A
【考点】
二次函数的最值
【解答】
解：∵ 二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值，
∴ 抛物线开口方向向上，即a>0；
又最小值为1，即-b=1，∴ b=-1，
∴ a>b．
故选A．
5.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象与系数的关系
抛物线与x轴的交点
【解答】
∵ 二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)过点(0,?1)和(-1,?0)，
∴ c＝1，a-b+c＝0．
①∵ 抛物线的对称轴在y轴右侧，∴ x=-b2a>0，
∴ a与b异号，∴ ab<0，正确；
②∵ 抛物线与x轴有两个不同的交点，∴ b2-4ac>0，
∴ b2>4ac，正确；
③∵ 抛物线开口向下，∴ a<0，
∵ ab<0，∴ b>0．
∵ a-b+c＝0，c＝1，∴ a＝b-1，
∵ a<0，∴ b-1<0，b<1，
∴ 0④由图可知，当x<-1时，y<0，正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
6.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
待定系数法求二次函数解析式
二次函数图象上点的坐标特征
【解答】
当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，
∴ a(8-h)2-a(1-h)2＝7，
整理得：a(9-2h)＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；
若h＝5，则a＝-1，故B错误；
若h＝6，则a＝-，故C正确；
若h＝7，则a＝-，故D错误；
7.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解答】
解：由抛物线的开口向下，得到a<0，
∵ -b2a>0，∴ b>0，
由抛物线与y轴交于正半轴，得到c>0，
∴ abc<0，选项①错误；
又抛物线与x轴有2个交点，∴ b2-4ac>0，选项②错误；
∵ x=-2时对应的函数值为负数，
∴ 4a-2b+c<0，选项③正确；
∵ 对称轴为直线x=1，∴ -b2a=1，即b=-2a，选项④正确，
则其中正确的选项有③④．
故选B
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
8.
【答案】
c>a>b
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解答】
解：∵ 二次函数的解析式为y=x2+x+2=(x+12)2+74，
∴ 抛物线的对称轴为直线x=-12，
∵ (-2,?a)、(-1,?b)，(3,?c)，
∴ 点(3,?c)离直线x=-12最远，(-1,?b)离真相x=-12最近，
而抛物线开口向上，
∴ c>a>b；
故答案为c>a>b．
9.
【答案】
左,2
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解答】
解：由“左加右减”的原则将函数y=-12(x-1)2+5的图象向左平移2个单位，所得二次函数的解析式为：y=-12(x+1)2+5；
故答案为：左，2．
10.
【答案】
y=-3(x-5)2+8
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解答】
解：∵ 抛物线y=-3x2+8顶点坐标为(0,?8)，
向右平移5个单位后，顶点坐标为(5,?8)，
由顶点式，得
平移后抛物线解析式为y=-3(x-5)2+8．
故本题答案为：y=-3(x-5)2+8．
11.
【答案】
0
【考点】
二次函数的最值
【解答】
解：y=x2的对称轴为x=0，且-1≤x≤3，
故x=0时，取最小值，最小值为0,
故答案为：0.
12.
【答案】
x<-1或x>3．
【考点】
二次函数与不等式（组）
【解答】
∵ x2+px>4x+p-3，
∴ x2-1>4x-px+p-4，
∴ x2-1>(4-p)x+p-4，
∴ x2-1>(4-p)(x-1)，
当p＝4时，x2-1>0，画出函数y＝x2-1的图象，找出x轴上方所对应的x的取值范围得到x>1或x<-1；
当p＝0时，x2-4x+3>0，画出函数y＝x2-4x+3的图象，找出x轴上方所对应的x的取值范围得到x<1或x>3；
当0①当x>1，不等式变形为x+1>4-p>0，解得x>-1，则x>1；
②当x<1，不等式变形为x+1<4-p，则x+1<0，解得x<-1，则x<-1；
∴ x>1或x<-1；
综上所述，实数x的取值范围为x<-1或x>3．
13.
【答案】
2,(1,?-9)
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
【解答】
解：∵ 抛物线y=x2-kx-8经过点P(2,?-8)，
∴ 4-2k-8=-8，解得k=2，
∴ 此抛物线的解析式为y=x2-2x-8，
配方得y=(x-1)2-9，
∴ 这条抛物线的顶点坐标是(1,?-9)．
14.
【答案】
y=(x+3)2-2
【考点】
二次函数的三种形式
【解答】
解：y=x2+23x+1=x2+23x+3-3+1=(x+3)2-2．
故化成y=(x+h)2+k的形式是y=(x+3)2-2．
15.
【答案】
0.5
【考点】
二次函数的应用
【解答】
解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，
由题意可得A(0,?2.5)，B(2,?2.5)，C(0.5,?1)，
设函数解析式为y=ax2+bx+c，
把A，B，C三点分别代入得出c=2.5，
同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1，
解之得a=2，b=-4，c=2.5．
∴ y=2x2-4x+2.5=2(x-1)2+0.5．
∵ 2>0，
∴ 当x=1时，y=0.5米．
故答案为：0.5．
16.
【答案】
②③④
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解答】
解：由图可知，抛物线与x轴有2个交点，所以b2-4ac>0，故①错误；
对称轴在y轴右侧，则x=-b2a>0，故②正确；
抛物线开口向上，则a>0，
而对称轴在y轴右侧，则a、b异号，所以b<0，
其与y轴的交点(0,?c)位于y轴的负半轴，则c<0，
所以abc>0，故③正确；
∵ a>0，b<0，c<0，∴ a-b-c>0，故④正确；
故答案为：②③④．
17.
【答案】
4
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
抛物线与x轴的交点
【解答】
当x=0时，y=-x2-4x+1=1，则A(0,?1)，
当y=1时，x2=1，解得x1=1，x2=-1，则B(-1,?1)，C(1,?1)，
∴ BC=2，
设P(x,?-x2-4x+1)，
P点在BC上方时，△PBC面积有最大值，
∵ S△PBC=12?2?(-x2-4x+1-1)=-x2-4x=-(x+2)2+4，
∴ 当x=-2时，△PBC面积的最大值为4．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）
18.
【答案】
解：（1）∵ y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴ 该抛物线开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,?-4)．
（2）按点A在点B的左侧画出草图，如图所示．
∵ y=x2-2x-3=(x+1)(x-3)，
∴ 点A(-1,?0)，点B(3,?0)，
当x=0时，y=-3，
∴ 点C(0,?-3)，
∴ S△ABC=12AB?OC=12×[3-(-1)]×|-3|=6．
【考点】
抛物线与x轴的交点
【解答】
解：（1）∵ y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴ 该抛物线开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,?-4)．
（2）按点A在点B的左侧画出草图，如图所示．
∵ y=x2-2x-3=(x+1)(x-3)，
∴ 点A(-1,?0)，点B(3,?0)，
当x=0时，y=-3，
∴ 点C(0,?-3)，
∴ S△ABC=12AB?OC=12×[3-(-1)]×|-3|=6．
19.
【答案】
解：方程-12x2+x+2=0根是函数y=12x2+x+2与x轴交点的横坐标．
如图所示：二次函数y=12x2+x+2的图象，
由图象可知方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在3和4之间．
当x=3.2时，y=0.08；当x=3.3时，y=-0.145；
因此，x=3.2是方程的一个近似根，
故方程-12x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值为x≈3.2．
【考点】
图象法求一元二次方程的近似根
【解答】
解：方程-12x2+x+2=0根是函数y=12x2+x+2与x轴交点的横坐标．
如图所示：二次函数y=12x2+x+2的图象，
由图象可知方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在3和4之间．
当x=3.2时，y=0.08；当x=3.3时，y=-0.145；
因此，x=3.2是方程的一个近似根，
故方程-12x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值为x≈3.2．
20.
【答案】
解：（1）由二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1,?0)和(0,?-3)两点，
得1+b+c=0c=-3，
解这个方程组，得b=2c=-3；
∴ 抛物线的解析式为y=x2+2x-3．
（2）当x<-3或x>1时，y>0．
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
二次函数与不等式（组）
【解答】
解：（1）由二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1,?0)和(0,?-3)两点，
得1+b+c=0c=-3，
解这个方程组，得b=2c=-3；
∴ 抛物线的解析式为y=x2+2x-3．
（2）当x<-3或x>1时，y>0．
21.
【答案】
当y＝0时，-112x2+23x+53=0，
解之得x1＝10，x2＝-2（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米．
【考点】
二次函数的应用
【解答】
当y＝0时，-112x2+23x+53=0，
解之得x1＝10，x2＝-2（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米．
22.
【答案】
函数的对称轴为：x＝1，
当x＝1时，y＝-1+2+3＝4，
故点D(1,?4)；
y＝-x2+2x+3的顶点为D，它与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
则点A、B、C的坐标分别为：(-1,?0)、(3,?0)、(0,?3)，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：0=3k+bb=3?，解得：k=-1b=3?，
故直线BC的表达式为：y＝-x+3；
过点D作DG?//?y轴交BC于点G，则点G(1,?2)，
△BCD的面积=12×DG×OB=12×(4-2)×3＝3；
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
设点P(x,?-x2+2x+3)，点H(x,?-x+3)，
则S△PBC=12×PH×OB=32(-x2+2x+3+x-3)=-32x(x-3)，
∵ -32<0，
∴ S△PBC有最大值，最大值为：278，
此时点P(32,?154)．
【考点】
二次函数综合题
【解答】
函数的对称轴为：x＝1，
当x＝1时，y＝-1+2+3＝4，
故点D(1,?4)；
y＝-x2+2x+3的顶点为D，它与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
则点A、B、C的坐标分别为：(-1,?0)、(3,?0)、(0,?3)，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：0=3k+bb=3?，解得：k=-1b=3?，
故直线BC的表达式为：y＝-x+3；
过点D作DG?//?y轴交BC于点G，则点G(1,?2)，
△BCD的面积=12×DG×OB=12×(4-2)×3＝3；
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
设点P(x,?-x2+2x+3)，点H(x,?-x+3)，
则S△PBC=12×PH×OB=32(-x2+2x+3+x-3)=-32x(x-3)，
∵ -32<0，
∴ S△PBC有最大值，最大值为：278，
此时点P(32,?154)．
23.
【答案】
解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.
由题意可知，A(1,?0)，B(0,?3)，C(-4,?0)，
∴ a+b+c=0,c=3,16a-4b+c=0,?
解得：a=-34，b=-94，c=3，
∴ 经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=-34x2-94x+3.
(2)在平面直角坐标系xOy中存在一点P，
使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形，理由如下：
如图，
∵ OB=3，OC=4，OA=1，
∴ BC=AC=5.
当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴ BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，
∴ 点P的坐标为(5,?3).
当点P在第二、三象限时，以点A，B，C，P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点P的坐标为(5,?3)时，以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形.
(3)设直线PA的解析式为y=kx+b(k≠0).
∵ A(1,?0)，P(5,?3)，
∴ 5k+b=3,k+b=0,?解得：k=34,b=-34,
∴ 直线PA的解析式为y=34x-34.
当点M与点P，A不在同一直线上时，
根据三角形的三边关系可得：|PM-AM|当点M与点P，A在同一直线上时，|PM-AM|=PA，
∴ 当点M与点P，A在同一直线上时，|PM-AM|的值最大，
即点M为直线PA与抛物线的交点，
解方程组y=34x-34,y=-34x2-94x+3,?得x1=1,y1=0?或x2=-5,y2=-92,?
∴ 当点M的坐标为(1,0)或(-5,?-92)时，|PM-AM|的值最大，
此时|PM-AM|的最大值为5．
【考点】
二次函数综合题
待定系数法求二次函数解析式
【解答】
解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.
由题意可知，A(1,?0)，B(0,?3)，C(-4,?0)，
∴ a+b+c=0,c=3,16a-4b+c=0,?
解得：a=-34，b=-94，c=3，
∴ 经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=-34x2-94x+3.
(2)在平面直角坐标系xOy中存在一点P，
使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形，理由如下：
如图，
∵ OB=3，OC=4，OA=1，
∴ BC=AC=5.
当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴ BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，
∴ 点P的坐标为(5,?3).
当点P在第二、三象限时，以点A，B，C，P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点P的坐标为(5,?3)时，以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形.
(3)设直线PA的解析式为y=kx+b(k≠0).
∵ A(1,?0)，P(5,?3)，
∴ 5k+b=3,k+b=0,?解得：k=34,b=-34,
∴ 直线PA的解析式为y=34x-34.
当点M与点P，A不在同一直线上时，
根据三角形的三边关系可得：|PM-AM|当点M与点P，A在同一直线上时，|PM-AM|=PA，
∴ 当点M与点P，A在同一直线上时，|PM-AM|的值最大，
即点M为直线PA与抛物线的交点，
解方程组y=34x-34,y=-34x2-94x+3,?得x1=1,y1=0?或x2=-5,y2=-92,?
∴ 当点M的坐标为(1,0)或(-5,?-92)时，|PM-AM|的值最大，
此时|PM-AM|的最大值为5．