华东师大版九年级下册数学 27.4正多边形和圆 同步练习（word版含解析）

27.4正多边形和圆 同步练习
一．选择题
1．若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
2．如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM：S四边形MCDN的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是（　　）
A．18° B．30° C．36° D．40°
4．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（　　）
A．18° B．36° C．54° D．72°
5．如图，矩形HGML四个顶点在正六边形ABCDEF的边上，且GM∥EF．若图中4块阴影的面积相等，则该矩形的长与宽之比（　　）
A．3：5 B．2： C．4：3 D．5：4
6．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连结AC，AE，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在面积为135cm2的正六边形ABCDEF中有两个等边三角形组成的菱形AMDN．则剪掉这个菱形后剩余部分的面积为（　　）
A．75cm2 B．70cm2 C．65cm2 D．60cm2
8．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线段GH的长为（　　）
A．厘米 B．5厘米 C．3厘米 D．10厘米
9．如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，正五边形ABCDE与正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，若连接BM，则∠MBC的度数是（　　）
A．12° B．15° C．30° D．48°
二．填空题
11．如图，将边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK的AB边重合叠放在一起，则∠GBC的度数是　 　．
12．如图，五边形ABCDE为⊙O的内接正五边形，则∠CAD＝　 　．
13．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝　 　．
14．如图，点O为正五边形的中心，⊙O与正五边形的每条边都相交，则∠1＝　 　．
15．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，OG⊥CD于G，H为OG的中点，连结HA，HB，HC，则S△HCB：S△HBA等于　 　．
三．解答题
16．如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．
（1）求证：AE＝FB；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有与△ABM全等的三角形．
17．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？
18．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB＝2，求四边形PQMN的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：由题意，＝72°，
∴n＝5，
故选：D．
2．解：设正六边形的边长为a．则S△PCD＝2×a2＝a2，S四边形BCDE＝3×a2＝a2，
由题意MN是△PCD的中位线，
∴S△PMN＝S△PCD＝a2，
∴S四边形MNDC＝a2﹣a2＝a2，
∴S△BMC＝S△DNE＝（a2﹣a2）＝a2，
∵PM＝CM，
∴S△PBM＝S△BMC＝a2，
∴S△PBM：S四边形MCDN＝a2：a2＝1：2，
故选：A．
3．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AED＝∠EAB＝∠ABC＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
∴∠EAC＝72°，
∴∠AED+∠EAC＝180°，
∴DE∥AF，
∵AE＝AF＝DE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴∠EDF＝∠EAF＝72°，
∵∠EDC＝108°，
∴∠FDC＝36°，
故选：C．
4．解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴，，∠BAE＝108°，
∴，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故选：C．
5．解：连接BF，AD交于Q，BF交GM于P，
则BF⊥AD，
∵正六边形ABCDEF中，∠BAF＝120°，AB＝AF，
∴∠AGH＝∠AFQ＝30°，
设正六边形ABCDEF的边长为2a，FP＝x，
∴PG＝x，AQ＝a，
∴GM＝2a+，HG＝2a﹣2x，
∵若图中4块阴影的面积相等，
∴×（2a﹣2x）×（a﹣x）＝（2a++2a）x，
解得：x＝a，
GH＝2a﹣a＝a，GM＝2a+a＝a，
∴该矩形的长与宽之比为＝3：5，
故选：A．
6．解：连接AG、GE、EC，如图所示：
在正八边形ABCDEFGH中，AB＝BC＝AH＝HG，∠B＝∠H＝135°，
∴△ABC≌△AHG（SAS），
∴AC＝AG，同法可得AC＝CE＝EG，
∴AC＝CE＝EG＝AG，
∴四边形ACEG是菱形，
∵∠BAC＝∠GAH＝22.5°，∠BAH＝135°，
∴∠CAG＝135°﹣22.5°﹣22.5°＝90°，
∴四边形ACEG为正方形，
∴∠CAE＝45°，
∴＝sin45°＝，
故选：A．
7．解：连接AD，
设AD＝2h，则正六边形ABCDEF是有六个边长为h的等边三角形组成，
∴边长为h的正△BOC的面积为h2，
∴S正六边形＝6×h2＝135，
∴h2＝30，
设菱形的边长AM＝a，
则h＝a，
∴a2＝h2，
∴菱形AMDN的面积＝2×a2＝×h2＝××30＝60（cm2），
∴剪掉这个菱形后剩余部分的面积为135﹣60＝75（cm2）．
故选：A．
8．解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB交AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．
9．解：AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，
据此可以确定共有2个点C，位置如图，
故选：B．
10．解：连接OA、OC．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝＝72°，
∴∠AOC＝72°×2＝144°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM＝＝120°，
∴∠COM＝∠AOC﹣∠AOM＝144°﹣120°＝24°，
∴∠MBC＝∠COM＝×24°＝12°．
故选：A．
二．填空题
11．解：∵在正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK中，∠ABG＝＝108°，∠ABC＝＝120°，
∴∠GBC＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°，
故答案为：12°．
12．解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BAE＝＝108°，
∴∠ACB＝∠BAC＝36°，
同理∠EAD＝36°，
∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°，
故答案为：36°．
13．解：∵六边形ABCDEF，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝，
∵五边形GHCDL是正五边形，
∴∠CDL＝∠L＝，
∵∠A+∠B+∠BCD+∠CDL+∠L+∠APG＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠APG＝720°﹣120°×3﹣108°×2＝144°，
故答案为：144°．
14．解：设AB与CD交于点P，连接OA、OB、OC、OD、OE、BC，如图所示：
∵正五边形的中心与⊙O的圆心重合，
∴图形是轴对称图形，
∴∠AOC＝∠COB＝∠BOE＝∠EOD＝∠AOD＝＝72°，
∵∠ABC＝∠AOC＝×72°＝36°，∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝72°+72°＝144°，∠BCD＝∠BOD＝×144°＝72°，
∴∠APC＝∠PBC+∠BCP＝36°+72°＝108°，即∠1＝108°，
故答案为：108°．
15．解：如图，连接CF、HD、HE，过H作直线PQ⊥AB，
由于正六边形的对角线必过圆心，所以C、O、F共线，
由于AB∥DE∥CF，则PQ⊥DE，PQ⊥CF，P、K、Q都是垂足，
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，OG⊥CD，
∴点C和点D，点E和点B关于直线OG对称，
∴DH＝CH，BH＝EH，
∵DE＝BC，
∴△BCH≌△EDH（SSS），
∴PK＝KQ＝OG＝2OH，
又因为∠HOK＝∠COG＝30°，KH＝OH，
令KH＝1，
∴OH＝2，OG＝4，
∴PK＝4，
∴PH＝PK+KH＝5，HQ＝KQ﹣KH＝3，
∴S△HCB：S△HBA＝PH：HQ＝3：5．
故答案为：3：5．
三．解答题
16．证明：（1）∵正六边形ABCDEF，
∴AF＝EF＝AB，∠AFE＝∠FAB，
在△AFE与△BAF中，
，
∴△AFE≌△BAF（SAS），
∴AE＝FB；
（2）与△ABM全等的三角形有△DEN，△FEM，△CBN；
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝DE，∠BAF＝120°，
∴∠ABM＝30°，
∴∠BAM＝90°，
同理∠DEN＝30°，∠EDN＝90°，
∴∠ABM＝∠DEN，∠BAM＝∠EDN，
在△ABM和△DEN中，
，
∴△ABM≌△DEN（ASA）．
同理利用ASA证明△FEM≌△ABM，△CBN≌△ABM．
17．解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长，
∵BC＝CD，∠BCD＝∠ABC＝∠CDE＝120°，
∴∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴BD∥HK，且BD＝HK，
∵CG⊥BD，
∴BD＝2BG＝2×BC×cos∠CBD＝2×2×＝6，
∴点P到各边距离之和＝3BD＝3×6＝18．
18．解：（1）连接BF，则有BF∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴它的内角都为135°．
又∵HA＝HG，
∴∠1＝22.5°，
从而∠2＝135°﹣∠1＝112.5°．
由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，
∴
即∠2+∠3＝180°，故BF∥AG．
（2）根据题设可知∠PHA＝∠PAH＝45°，
∴∠P＝90°，同理可得∠Q＝∠M＝90°，
∴四边形PQMN是矩形．
又∵∠PHA＝∠PAH＝∠QBC＝∠QCB＝∠MDE＝∠MED＝45°，AH＝BC＝DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
∴PA＝QB＝QC＝MD．即PQ＝QM，
故四边形PQMN是正方形．
在Rt△PAB中，∵∠PAH＝45°，AB＝2，
∴，
∴．
故．