21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
人教版
九年级数学上
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系.（重点）
2.灵活利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）
回顾旧知
1.
一元二次方程的求根公式是什么？
2.
方程的两根x1，x2与系数a，b，c之间的联系还有其他表现形式吗？
合作探究
1.填表、观察、猜想
启发：猜想二次项系数为1时，根x1和x2与系数a,b,c有什么关系？
一元二次方程
两
根
关
系
x1
x2
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
x2-3x-10=0
-4
1
2
3
-2
x1+x2=-3
x1·x2=-4
x1+x2=5
x1
·x2=6
5
x1+x2=3
x1
·x2=-10
合作探究
思考1：从因式分解可知，方程(x-x1)(x-x2)=0（x1、x2已知数）的两根为x1，x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
★归纳：
如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2,那么x1+x2=
-p，
x1
·x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
x1+x2=
-p
,
x1
·x2=q.
合作探究
思考2：一般的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)中，二次根式系数a未必是1，它的两个根x1和x2的和、积与系数a,b,c有又怎样的关系呢？
2.填表、观察、猜想
2
一元二次方程
两
根
关
系
x1
x2
2x2-3x-2=0
3x2-4x+1=0
5x2+6x+1=0
x1+x2=
x1·x2=-1
1
-1
x1+x2=
x1·x2=
x1+x2=
x1·x2=
合作探究
证一证：
合作探究
要点归纳
一元二次方程的根与系数的关系
（韦达定理）
如果
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、
x2，那么两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比；即：
温馨提示：满足上述关系的前提条件：
1.将方程化为一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0）2.b2=4ac≥0
典例精析
例
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2
–
6x
–
15
=
0；
解：a
=
1
,
b
=
–
6
,
c
=
–
15
.
x1
+
x2
=
–(
–
6
)
=6，
x1
x2
=
–
15
.
（2）3x2
+7x-9
=
0；
x1
+
x2
=-
，
x1
x2
=
解：
a
=
3
,
b
=
7,
c
=
-9.
典例精析
（3）
5x
–
1
=
4x2
.
解：方程可化为
4x2
–
5x
+1
=0，
a
=4，
b
=
–
5，c
=
1.
x1
+
x2
=
，
x1
x2
=
.
知识点拨：在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可
.
小试牛刀
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积：
（1）x2-3x=15；
（2）3x2+2=1-4x；
（3）5x2-1=4x2+x；
解：（1）方程化为
x2-3x-15=0
∴x1+x2=3，
x1x2=-15
（2）方程化为
3x2+4x+1
（3）方程化为
x2-x-1=0
∴x1+x2
=1，
x1x2
=-1
∴
x1
+
x2
=-
，
x1
x2
=
小试牛刀
2、已知方程4x2+ax-8=0的一个根是2，求它的另一个根及a的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2
.
∴
x1·x2=2
x2
=
即
x2=
∵x1+x2=2+
=
得：
a=-4.
答：方程的另一个根是
-1
，a=-4.
小试牛刀
3、不解方程，求方程2x2+3x-5=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
常见的求值式子：
综合演练
1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为4
和-6
，则p=
，
q=
.
-24
2
2.如果-1是方程3x2-2x+k=0的一个根，则另一个根是___，k
=____.
-5
3.已知关于x的方程x2-（m+1）x+2m-1=0。
（1）当m=_____时，此方程的两根互为相反数。
（2）当m=_____时，此方程的两根互为倒数。
-1
1
综合演练
4、设x1，x2是方程
x2
+2(k-1)x
+
k2
=0
的两个实数根，且x12
+x22
=14，
求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ=
4（k-1）2
-
4k2
≥
0
即
-8k
+
4
≥
0.
由根与系数的关系得
x1
+
x2
=
-2(k
-1)
,
x1
x2
=k
2.
∴
x12
+
x22
=
(x1
+
x2)2
-
2x1x2
=
4(k
-1)2
-2k2
=
2k2
-8k
+
4.
由
x12
+
x22
=
4，得
2k2
-
8k
+
4
=14，
解得
k1=
-1，
k2
=
5
.
经检验，
k2
=
5
不合题意，舍去.所以
k=-1.
综合演练
5.已知关于x的一元二次方程ax2-2ax+a
-2=0.
(1)若方程有实数根,求实数a的取值范围.
(2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|=
1，
求m的值.
解：(1)方程有实数根
∵a≠0，∴a＞0.
(2)∵方程有实数根x1，x2，
∵
(|x1-x2|)2
=
(x1-x2)2
=(x1+x2)2-4x1x2=1，
解得a=8.
经检验a=8是方程的解．
能力提升
6、已知关于m2+2m-2009=0，n2+2n-2009=0（m≠n），求（m-1)(n-1）.
解：由已知条件，得m，n是方程x2+2x-2009=0的两个不相等的
实数根；
由韦达定理：m+n=-2，mn=-2009
（m-1)(n-1）
=mn-（m+n）+1
=-2009-（-2）+1
=-2006
课堂小结
本节课你有哪些收获？
1、一元二次方程的根与系数的关系是什么？
2、常见的求值式子有哪些？
课后作业
教材17页习题21.2第7题．
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