(共20张PPT)
人教A版必修4
3.1.1 两角差的余弦公式
如图所示，一个斜坡的高度为6m，斜坡的水平
长度为8m，已知作用在物体上的力F与水平方向
的夹角为 ，且大小为10N，在力F的作用下物
体沿斜坡运动了3m，求力F作用在物体上的功W
走进生活
合作探究
合作探究( 一)
猜想：
理论证明
方法一：利用三角函数线证明:
O
β
α
P
P1
x
理论证明
方法一：利用三角函数线证明
M
O
β
α
P
P1
x
sinβ
cosβ
理论证明
O
β
α
P
P1
M
A
sinαsinβ
cosαcosβ
理论证明
O
β
α
P
P1
M
A
B
C
α
sinαsinβ
cosαcosβ
理论证明
O
β
α
P
P1
M
A
B
C
α
理论证明
方法二：利用向量的方法证明
理论证明
O
θ
A
B
α终边
β终边
x
y
方法二：利用向量的方法证明
O
θ
A
B
α终边
β终边
x
y
理论证明
O
θ
A
B
α终边
β终边
x
y
O
θ
A
B
α终边
β终边
x
y
理论证明
理论证明
知识运用
知识运用
巩固练习
回顾总结
1.公式探究的一般步骤：特殊——猜想——证明
2.在运用两角差的余弦公式时应注意：
(1)根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负.
(2)适当逆用公式可以达到化简的目的
(3)灵活选取两角的形式，活用公式
3.数形结合的思想以及“算两次”原理的运用
课后作业
1. ( 必做) P137 2,3课题：“两角差的余弦公式”的教学设计
（人教A版必修4第三章第一节）
一、三维目标：
知识目标：通过让学生猜想、探索、发现并推导“两角差的余弦公式” ，了解单角与复角的三角函数之间的内在联系；通过正用和逆用公式，加深对两角差的余弦公式的理解；培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质。
能力目标：运用两角差的余弦公式，会进行简单的求值、化简、证明；体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用，使学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点，提高学生分析问题、解决问题的能力。
情感目标：本节课通过实际问题创设情景，使学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣，激励科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良好的团队合作意识。
二、教学重点与难点：
教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式。这是因为在探究的过程中，体现了转化与化归、数形结合、分类讨论、观察与联想、割补思想等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性。同时使用向量作为证明的工具，使学生体会到各个知识点之间的联系，感受向量的工具作用，增强学生的应用意识。
教学难点：探索过程的组织和适当引导。
三、教学内容分析：
本节课是三角恒等变换的第一节课，也是本章所有公式的基础，是前面所学三角函数与向量的继续与发展，是培养学生推理能力、运算能力和运用能力的重要素材。根据学生的实际情况，设计了从生活中的实际问题导入，提高了学习者的兴趣，然后趁热提出问题，从特殊到一般，由学生提出猜想、证明猜想、应用结论解决问题，给学生成功的感觉，从而提高学生的兴趣，特别是证明过程中，设置了许多小问题，层层递进，使每一位学生都能从中学到知识，这是本节课设计的一大亮点。至于为什么选择差角作为推理的基础，这是因为和与差具有统一性，它们可以互相转化，这样我们就可以用随机、自然地的方式选择其中的一个作为突破口；其次是两角差的余弦公式证明过程较简洁，容易让学生理解和掌握，同时也有利于提高学生分析问题和解决问题的能力。
四、教学方法：
讲授法与问题辅导法相结合，使用多媒体技术，使课堂容量变大，问题层次变清楚，特别是几何作图规范，很容易发现其中的几何关系，这是文本与信息技术结合的好处。通过适当的变式教学，加深了学生对知识的理解。
五、教学过程：
（一）、走入生活引入：同学们，在第一章我们学习了同角三角函数式的变换，今天我们将一起探究一种包含两个角的三角函数式的变换：两角差的余弦公式。先让我们走入生活，看一个例子：例：如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力F作用在物体上的功W．解： W = = 30． （二）、合作探讨1.从特殊情况去猜测公式的结构形式． 分析：可见，我们的公式的形式应该与均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？会不会是“＋”、“－”、“”、“÷”？2.用具体值检验猜想的合理性．请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想．学生再举特例进行验证．（各抒己见）（三）、提出猜想：要让猜想更有说服力，我们还要进行理论证明．（四）、理论证明：引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的余弦值可用余弦线来表示．我们先来讨论最简单的情况：为锐角，且方法一：（利用三角函数线）方法二：（利用向量）启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？ （引导学生发现，提出证明方法）（学生：向量的数量积！） 方法小结：（五）、知识运用1、解决引例中的问题．2、利用差角余弦公式求的值。思考：完成本题后，你会求的值吗？3、学以致用：已知是第三象限角，求．（运用公式时应根据角的范围，正确确定两角正、余弦值的范围）（六）、回顾总结师：我们一起来回顾总结一下今天这节课的收获．1、公式探究的一般步骤：特殊→猜想→证明2、在运用两角差的余弦公式时应注意：（1）根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负．（2）适当逆用公式，可达到化简计算的目的．（3）灵活选取两角的形式，活用公式．3、数形结合的数学思想与 “算两次原理” 的运用（七）、课堂练习（八）、 课后思考适当变换两角差的余弦公式中两角的形式，例如取，你能得到哪些结论？（九）、作业：必做：P104 2、3、4 选做： 生活实例引入，体现数学与实际生活的联系，增强学生的应用意识，激发学生的学习热情，同时也让学生体会数学知识的产生、发展过程．鼓励学生发挥想象力，大胆猜测，然后再去验证其合理性，增强学生探索问题、挑战困难的勇气．依据特殊情况进行猜想往往是人们探索问题的第一步． 鼓励学生对各种可能的情况进行探索，培养他们的交流合作意识，在探索的过程中获得成就感．引导学生运用数形结合的思想给出证明．使学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识．采用分层设问的形式，使难点得到突破，降低了思维的要求。让学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法的作用．运用分类讨论思想．要求学生对公式的形式加以分析，体会数学中的对称美．1、学生运用所学解决实际问题． 2、利用变式突破学生在运用公式过程中的易错点． 3、活用公式，加深学生对公式中两角形式变化的认识，强化整体思想．课后思考为下节课做铺垫
六、教学反思：
尽管在教学设计上充分考虑不同基础的同学的要求，但从教学过程来看，有部分同学依然无法跟上上课的进度，无法理解公式推导的某些步骤，对公式的结构特征仍然无法把握，在应用的时候不能灵活处理，特别是对角度的任意性和整体代换方面以及化归的思想的理解上，存在较大问题。因此，在以后的教学中，应多给学生思考的时间，多从思想方法的角度进行突破。
F
6m
S
1
y
P1
x
A
C
P
1
O
B
M
