3.1 一元二次方程精品学案

第三章 一元二次方程
3.1 一元二次方程
课堂思维碰撞
预习小测
1.含有____个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是____的______方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式为_______________
(a、b、c是已知数，a____0),其中_______是二次项，________是一次项，________是常数项，
____、____分别称为二次项系数和一次项系数。
3.能使一元二次方程(a≠0)左右两边_______的未知数的值叫做一元二次方程的解。
4. 在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0
③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5. 方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
师生同台
一、一元二次方程的概念
根据一元二次方程的定义进行判断。
例1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
例2：若关于x的方程是一元二次方程，求m的值。
分析：充分根据一元二次方程的定义，同时满足未知数的最高次数为2及二次项系数不能为0两个条件得到。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、一元二次方程的一般形式
（1）利用等式的性质可将任何一个一元二次方程化成一般形式，其步骤是①去括号、去分母；②移项、合并同类项。
（2）求二次项系数、一次项系数和常数项时，须先把一元二次方程化成一般形式，然后再求。这是因为方程的二次项系数、一次项系数和常数项都是在方程的一般形式下定义的.
例3. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）
（2）
（3）
分析：首先要对三个方程进行整理，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形，化为一般形式，再指出二次项系数、一次项系数和常数项。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
三、一元二次方程的解
一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。
例4、已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．0或-1
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
例5、要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？
设长为xcm，则宽为（x-5）cm
列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0
请根据列方程回答以下问题：
（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
（2）完成下表：
x 11 12 13 14 15 16 …
x2-5x-150
（3）你知道铁片的长x是多少吗？
分析：（1）判断是否可能，就是要看所给出的数是否符合题意，符合实际意义；（2）代入计算即可；（3）可采用“夹逼”方法求出该方程的根．
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1.下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A.2x2+7=0 B.2x2+2x+1=0
C.5x2++4=0 D.3x2+(1+x) +1=0
2.方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是（ ）
A.x2－5x+5=0 B.x2+5x+5=0
C.x2+5x－5=0 D.x2+5=0
3. 方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.
4.（2009年江苏）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为，则可列方程 ．
5.一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项之和为________。
6.把方程化成一般形式并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。
7.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1、关于x的方程(m－4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.
2.a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）= HYPERLINK "http://" x-（x+1）是一元二次方程？
3.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，
求（a-b）2+4ab的值．
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
4. 若是关于的一元二次方程，则（ ）
A、 B、 C、 D、
5. (2009山东日照)若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
6. (2009湖北鄂州)某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A、 B．
C、50(1+2x)＝182 D．
7.（原创）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．
8. 一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：
设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：
第一步：
x 1 2 3 4
x2-3x-1 -3 -3
所以，________第二步：
x 3.1 3.2 3.3 3.4
x2-3x-1 -0.96 -0.36
所以，________（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；
（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．
9.某大学为了改善校园环境，计划在一块长80m，宽60m的长方形场地的中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为，四周为宽度相等的人行走道，如图22.1-4所示，若设人行走道的宽为m.
图22.1-4
（1）你能列出相应的方程吗？
（2）可能小于0吗？说说你的理由.
（3）可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由.
（4）你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程.
【快乐新天地】
一元二次方程的历史
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。
在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
答案快递
课堂思维碰撞
预习小测
1. 一 2 整式
2.
a b
3. 相等 4.A 5. 3，，
师生同台
一、一元二次方程的概念
例1.老师讲解
解析：根据一元二次方程的定义解题。
A项方程中最高项为，因无法判定是否为零，从而不能确定该方程是否为一元二次方程；
B项方程中关于未知数的最高项是，时，的最高次数为1，所以该方程不是一元二次方程；
C项方程中关于未知数的最高项是，的最高次数为2，符合一元二次方程的特征；
D项中分母中含未知数，不是整式，所以不是一元二次方程。
答案：C
创新火花：本题考查一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程应紧扣本质特征—只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2且方程两边的代数式都是整式。
例2. 老师讲解
解：由一元二次方程的定义可知-①，-②，由①得m=±1,由②得m≠-1，所以m=1.
创新火花：一元二次方程的定义的应用主要有两种题型：（1）判断某些方程是否是一元二次方程.解决此类题要抓好以下五点:①化简后；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2；④二次项系数不等于0；⑤整式方程。
（2）应用定义求有关字母的取值范围。
例3. 老师讲解
解：方程（1）去括号，得移项、合并同类项，得二次项系数为，一次项系数为1，常数项为0.
方程（2）去括号，得
移项、合并同类项，得二次项系数为3，一次项系数为，常数项为.
方程（3）去分母，得去括号、移项、合并同类项，得二次项系数为2，一次项系数为，常数项为.
创新火花：把本例（3）得到的方程的两边同除以2，得，它也是原方程的一般形式，可见一元二次方程的一般形式不是惟一的，因此，其二次项系数、一次项系数和常数项也不是惟一的，因此通常的一般形式指最简单、实用最方便的一种。
例4.老师讲解
解析：本题考查了方程解的概念，已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，把x=1代人，可得，解得
答案：A.
创新火花：紧扣方程解的概念“方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值”，知道方程的解，可把未知数代人，即可求出原方程中未知系数的值。
例5.老师讲解
解：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．
x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．
（2）
x 11 12 13 14 15 16 ……
x2-5x-150 -84 -66 -46 -24 0 26 ……
（3）铁片长x=15cm.
创新火花：对于实际问题估计值的问题，应先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体计算进行两边“夹逼”，逐步获得其估计值。由此可见，“夹逼”的思想方法是估计值计算的重要思想。
跟踪运用
1.C 2.A
3.5x2－2x+3=0，5x2，－2x，3
4.
5. 5
6.解：去括号，得
.
移项、合并同类项得方程的一般形式：.即：.
二次项系数为1，一次项系数为，常数项为2.
7.解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
课后创新培养
综合拓展
1.≠4，=4
2.化为：ax2+（a-+1）x+1=0，所以，当a≠0时是一元二次方程．
3.由已知，得a+b=-3，原式=（a+b）2=（-3）2=9．
探究提高
4. B解析：本题考查一元二次方程的条件a≠0,即，所以，故选B。
5.D解析：将n代入方程得，提出公因式n得，则，所以m+n=-2，故选D。
6.B
7.
8.解：（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，6.4 （2）3，3
9.