3.2 用配方法解一元二次方程（第1课时）学案

3.2 用配方法解一元二次方程
第一课时 配方法(1)
课堂思维碰撞
预习小测
1.通过__________，把一元二次方程转化为两个一元________方程了。
2.当一元二次方程的一边是一个含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个________时，可以根据平方根的意义，通过开平方求出这个方程的解。
3.方程的解是( )
A. B.
C. D.
4.方程 的解是______________。
师生同台
一、利用平方根的定义解一元二次方程
利用平方根的定义，把方程的两边直接开平方即可。
例1. 解方程
分析：原方程可变形为，则是2的平方根，从而可以运用直接开平方法求解。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、对完全平方式的考查
形如的式子称为完全平方式，构造完全平方式是用配方法解方程的前提条件。一般而言，再接一元二次方程时，配方法是使方程左边配成一个完全平方式。
例2.若是完全平方式，求a 的值。
分析：
→
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1.方程－9＝0的解是（　　）
A．=3 B． = -2
C．=4．5 D．
2.方程3x2+9=0的根为（ ）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
3. 方程=0的解是（ ）
A.x= B.x=±
C.x=± D.x=±
4. （2008年浙江丽水）一元二次方程可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是
，则另一个一次方程是 ．
5. 我们学过完全平方公式，你能利用这个公式完成下面的填空吗？
（1）x2-8x+_____=（x-_____）2；
（2）9x2+12x+____=（3x+____）2；
（3）x2+px+____=（x+_____）2．
6.用直接开平方法解下列方程．
课后创新培养
综合拓展---努力使自己的计算比电脑还要准确
1. 下列方程中能用直接开平方法解的是（ ）
2.(2008年陕西）方程的解是 （ ）
A． B．
C． D．
3.(原创）对形如的方程，下列叙述错误的是( )
A.b≥0时，可用平方根的定义来解得
B.b=0时，
C.无论b取何值，方程都可用平方根的定义解
D.b＜0时，方程无解
4.若方程可用直接开平方法求解，则的取值范围是__________.
探究提高---数学的天空你是哪颗星？
5.方程5x2+75=0的根是（ ）
A.5 B.－5 C.±5 D.无实根
6.（2008年宁德）如果x＝4是一元二次方程的一个根，则常数a的值是（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．±4
7.(2009年重庆綦江)一元二次方程的解是___________.
8. 解方程
9.解方程：
答案快递
课堂思维碰撞
预习提问
1.开平方 一次 2.非负实数
预习小测
3.C 4.
师生同台
一、二次根式的辨别
例1.老师讲解
解：移项，得.
两边直接开平方，得
所以或
因此，原方程的解是
创新火花：如果一个一元二次方程的左边可以化为含有未知数的完全平方式，而右边是一个非负常数的形式，根据平方根的定义，直接把方程的两边开平方即可求解。
本题中是把看作一个整体，这是数学上的一种解题策略。
例2. 老师讲解
解：将写成完全平方式的形式为
，则a应等于=9.
创新火花：将一个二次三项式写成一个完全平方式时关键是要分清二次三项式中的二次项与完全平方式中的对照，再加上或减去a、b的2倍即可。
跟踪运用
1.D 2.D 3.C 4.
5. （1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ．
6.
课后创新培养
综合拓展
1.A
2.A解析：本题可用直接开平方法来解：
，x－2=±3，所以x=5或x=-1，选A；
3.C 4.
探究提高
5.D解析：由方程5x2+75=0变形得,没有一个数的为负数,所以该方程没有实数根,故选D.
6.C 7. ，
8.解：
即：
解得
9.解：∵
∴原方程可转化为，，即，
∴或，
∴，或(不存在)
∴，即，。
3.2 用配方法解一元二次方程
第二课时 配方法(2)
课堂思维碰撞
预习小测
1. 配方法
通过配成_____________形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。
2.配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将__________项系数化为1.
(2)移项：将常数项移到方程的一边。
(3)配方：方程两边同时加上_____________系数一半的平方，使方程左边成为一个________________。
(4)解方程：利用_________的定义直接解方程。
3.用配方法解方程，应把方程的两边同时( )
A.加上2 B.减去2 C.加上4 D.减去4
4.用配方法解方程，正确的是( )
A.，
B.，原方程无实数解
C. ，，
D. ， ，
5.用配方法解方程2x2－4x－1=0
①方程两边同时除以2得__________
②移项得__________________
③配方得__________________
④方程两边开方得__________________
⑤x1=__________,x2=__________
师生同台
一、用配方法解方程
配方的方法就是在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方。
例1. 用配方法解下列方程：
（1）
（2）4x2－12x－1＝0.
分析：（1）二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方，变成(x+m)2=n（n≥0）的形式再用直接开平方法求解。（2）对于二次项系数不是1的方程，必须先把二次项系数化成1后，再运用配方法求解。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、配方法的其他应用
除可以利用配方法解方程外，还可以通过配方构造完全平方式，利用完全平方式的非负性来确定代数式的值的取值范围。
例2.用配方法说明代数式的值不小于.
分析：
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1．将方程2x2+4x+1=0配方后，得新方程为（ ）
A．(2x+2)2–3=0 B.(x+2)2–=0
C.(x+1)2–=0 D.(2x+2)2+3=0
2.一元二次方程的两个根是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3
C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
4.将一元二次方程用配方法化成的形式为______，所以方程的解为___________。
5.对下列各式进行配方：
（1）；
（2）;
（3） ；
（4）;
6.用配方法解下列方程
(1)x2+5x－1=0
(2)2x2－4x－1=0
(3)x2－6x+3=0
课后创新培养
综合拓展---努力使自己的计算比电脑还要准确
1.如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）．
A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
2.如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
3.用配方法解下列一元二次方程：
(1)(2008山东青岛) ．
(2)(2009甘肃兰州)
(3)（2008年山东泰安）．
探究提高---数学的天空你是哪颗星？
4. (2009山西太原)用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
5.用配方法解方程：
6. 阅读下面材料，完成填空。
我们知道x2+6x+9可以分解因式，结果为(x+3)2,其实x2+6x+8也可以通过配方法分解因式，其过程如下：
x2+6x+8=x2+6x+9–9+8=(x+3)2–1
=(x+3+1)(x+3–1)=(x+4)(x+2)
（1）请仿照上述过程，完成以下练习：
x2+4x–5=[x+(_____ )][x+(_____ )]
x2–5x+6=[x+(_____ )][x+(_____ )]
x2–8x–9=[x+(_____ )][x+(_____ )]
（2）请观察横线上所填的数，这两个数与一次项系数、常数项有什么关系？
7.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．
答案快递
课堂思维碰撞
预习小测
1.完全平方 2.(1)二次 (2)右边 (3)一次项 完全平方式 (4)平方根 3.C 4.B
5. ①x2－2x－=0 ②x2－2x= ③x2－2x+1= ④(x－1)2= ⑤+1,－+1
师生同台
一、二次根式的辨别
例1.老师讲解
解：（1）移项，得
配方，得
即
解这个方程，得
∴
（2）二次项系数化1，得
移项，得
配方，得
所以
∴
创新火花：在用配方法解一元二次方程时，化二次项系数为1为前提条件，进行配方时，方程左右两边要同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数的符号决定了左边的完全平方式中是两数差的平方还是两数和的平方。配方法解方程也体现了转化思想在数学中的应用，配方法是通过配方把一元二次方程转化为可直接用直接开平方法或用因式分解法求解的形式求解的。
例2. 老师讲解
解：将代数式配方得,
=
=
由此我们可以看出大于等于0，
大于等于，即不小于。
创新火花：判断一个二次三项式的值的取值范围，可以通过把该二次三项式进行配方，从而进行判断和确定。
跟踪运用
1.C 2.A 3.B
4. ，
5.（1）+16，4；（2）+25，－5；（3）；（4）
6. (1)解：x2+5x=1 x2+5x+
(x+)2= ∴x+=±
∴x1=
(2)解：x2－2x－=0
x2－2x= x2－2x+1=
(x－1)2= x－1=±
∴x1=,x2=
(3)解：x2－24x+12=0
x2－24x=－12 x2－24x+144=132
(x－12)2=132 x－12=±2
∴x1=2+12, x2=－2+12
课后创新培养
综合拓展
1、C 2、-8
3.(1) 解： ，
，
，
，
∴， .
(2) 解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
即
由此可得 ∴，
(3) 解：原式两边都除以6，移项得
配方，得，
，
即或
所以，
探究提高
4.B
5.分析：本题可以把方程先整理成一般形式，然后用配方法求解；但观察方程的特点，也可以把视为一个整体，直接用配方法求解。
解：
∴
6.（1）－1，5； －2，－3； 1，－9.
（2）这两个数的和等于一次项系数，积等于常数项.
7.解：（1）设每件衬衫应降价x元，则
（40-x）（20+2x）=1200，
x2-30x+200=0，x1=10，x2=20
（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，
则y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800
=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250
∵-2（x-15）2≤0，
∴x=15时，赢利最多，y=1250元．