3.3 用公式法解一元二次方程学案

3.3 用公式法解一元二次方程
课堂思维碰撞
预习小测
1.一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0（a≠0，b2－4ac≥0）的求根公式为x=__________.
2.公式法：
(1)概念：解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入______________，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法，由此可知，一元二次方程最多有__________实数根。
(2)运用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①将一元二次方程化为___________形式;
②写出系数_________________的值；
③当， 将的值代入公式中求得方程的解。
3.一元二次方程根的判别式：
(1)定义：一般的，式子__________________叫做方程
根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=______________。
(2)方程根的情况与的关系
△= 方程根的情况
△＞0 有两个_________的实数根
有两个相等的实数根
△＜0
4. 用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．
A．x= B．x=
C．x= D．x=
5. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、只有一个实数根 D、没有实数根
师生同台
一、用公式法解一元二次方程
运用公式法解一元二次方程时，需将方程化为一般形式确定的值，再代入公式求解。
例1. 用公式法解下列方程:
(1)2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；
(3)5x2－4x+12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1－8x.
分析：方程（1）（3）是一元二次方程的一般形式，可以直接确定的值，并计算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程（2）（4）则需要先化成一般形式，再求解。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、一元二次方程根的情况的判别及相关问题
先求出b2－4ac的值，根据其结果与零的大小判断一元二次方程的解的情况。
例2. 不解方程，判别方程5-7x+5=0的根的情况是（ ）.
A．有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1．一元二次方程的求根公式是（ ）
2．方程x2+4x+6=0的根是（ ）．
A．x1=，x2= B．x1=6，x2=
C．x1=2，x2= D．x1=x2=－
3. （m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
4. 一元二次方程的根是 ．
5. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么a= .
6. 用公式法解下列各方程
（1）5x2+2x－1=0
（2）6y2+13y+6=0
（3）x2+6x+9=7
课后创新培养
综合拓展---努力使自己的计算比电脑还要准确
1.(2009成都)若关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
(A) (B) 且
(c) (D) 且
2. 一元二次方程的解是__________.
3. 某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
探究提高---数学的天空你是哪颗星？
4. 下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
5.（原创）正比例函数的图象经过第二、四象限，若同时满足方程，则此方程的根的情况是（　　）
Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个相等的实数根
Ｃ．没有实数根 Ｄ．不能确定
6.（2009年烟台）设是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
8. （2009年兰州）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝－，x1·x2＝.根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则+的值为 ．
9.(2009年福建厦门)解方程：x2－6x＋1＝0．
答案快递
课堂思维碰撞
预习小测
1.(＞0)
2. (1) 求根公式 两个
(2)①一般 ②a、b、c ③≥
3.(1)
(2)不相等 △=0 没有实数根
4.D 5. A
师生同台
一、二次根式的辨别
例1.老师讲解
解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝-6，
b2－4ac＝12－4×2×(-6) ＝1＋48＝49
∴x＝＝＝，
即原方程的解是 x1＝-2，x2＝.
(2)将方程化为一般式，得x2＋4x－2＝0.
∵ b2－4ac＝24，
∴x＝＝-2±.
原方程的解是x1＝-2＋，x2＝-2－.
(3)∵b2－4ac＝－224<0，
∴原方程没有实数根。
(4)整理，得4x2－12x＋9＝0.
∵b2－4ac＝0，
∴x1＝x2＝-.
创新火花：（1）用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定的值；
（2）必须满足条件b2－4ac≥0时，才能将及b2－4ac的值代入求根公式求根。若b2－4ac＜0，则直接得到原方程没有实数根。
（3）当b2－4ac的值等于零时，必须把原方程的根写成的形式，这样才能说明一元二次方程有两个实数根。
例2. 老师讲解
解析：方程5-7x+5=0中，
所以原方程没有实数根.
答案：D.
创新火花：要判断方程ax2 ＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况，可先求出b2－4ac的值，然后根据结果的符号判断：（1）当b2－4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程ax2+bx+c＝0没有实数根.
跟踪运用
1. D 2. D 3. C
4. 5. 4
6. （1）解：a=5,b=2,c=－1
∴b2－4ac=4+4×5×1=24＞0
∴x1·2=
∴x1=
（2）解：a=6,b=13,c=6
∴b2－4ac=169－4×6×6=25＞0
∴x1·2=
∴x1=－,x2=－
（3）解：整理，得：x2+6x+2=0
∴a=1,b=6,c=2
∴b2－4ac=36－4×1×2=28＞0
∴x1·2==－3±
∴x1=－3+,x2=－3－
课后创新培养
综合拓展
1. B
2.
3. 解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2
m2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x= HYPERLINK "http://"
x1=，x2=-
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-．
（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．
探究提高
4.D 5.Ａ 6.C 7. 8.10
9. 解法1：x2－6x＋1＝0
∵ b2－4ac＝(－6)2－4＝32
∴ x＝ eq \f(－b±,2a)
＝ eq \f(6±,2)
＝3±2.
即x1＝3＋2，x2＝3－2.
解法2：x2－6x＋1＝0
(x－3)2－8＝0
(x－3)2 ＝8
x－3＝±2
即x1＝3＋2，x2＝3－2.