3.4 用因式分解法一元二次方程学案

3.4 用因式分解法一元二次方程
课堂思维碰撞
预习小测
1.因式分解法的概念:
先因式分解使方程化为两个____________的乘积等于0的形式，再使这两个_____________分别等于0，从而实现____________，这种解法叫做因式分解法。
2.解一元二次方程的方法选择及基本思路
(1)解一元二次方程常见的方法有_________、________、
配方法；
(2)配方法、_______________适用于所有一元二次方程，而_______________用于某些一元二次方程；
(3)解一元二次方程的基本思路是将二次方程化为____________，即_______________。
3.方程的根是( )
A. B.
C.， D.，
4.用因式分解法解方程的根为( )
A. B.
C.， D.
5.下列方程中
① ②
③ ④
适合使用因式分解法解方程的是___________(填序号)。
师生同台
一、因式分解法解一元二次方程
因式分解法就是利用因式分解将方程的左边化为两个一次因式的积的形式，由两个因式的积等于0，得到这两个因式的值中至少一个等于0，从而把方程化为两个一次方程，实现降次的目的，这种解法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法在解题时注意根据方程的特点、灵活选择因式分解的方法。
例1. 用因式分解法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）
分析：（1）左边可以用提公因式法分解因式；（2）原方程可变形为，把与看成一个整体，利用平方差公式可把方程左边分解因式；（3）方程可变形为，左边可利用完全平方式分解因式。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、选择适当的方法解一元二次方程
用适当的方法解方程，就是看该方程适合于那种方法的特点来解比较简单。
例2. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）。
分析：方程（1）可用平方差公式分解，故可以用分解因式法；方程（2）不能直接开平方，用现有的提公因式法和公式法分解因式也是比较麻烦的，故选择公式法。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1.方程x2－x=0的根为（ ）
A.x=0 B.x=1 C.x1=0,x2=1 D.x1=0,x2=－1
2.下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，
∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，
∴x1= ，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x 两边同除以x，得x=1
3.方程2x(x+3)=5(x+3)的根是（ ）
A.x= B.x=－3或x=
C.x=－3 D.x=－或x=3
4.(2009年宁德市)方程的解是________．
5.方程2x(5x－)+(－5x)=0的解是x1=_________，x2=_________.
6.用因式分解法解下列方程．
（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0
（3）x2-12x-28=0 （4）x2-12x+35=0
7.已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．
课后创新培养
综合拓展---努力使自己的计算比电脑还要准确
1.(2009年云南) 一元二次方程的解是（ ）
A．x1 = 0 ，x2 = B． x1 = 0 ，x2 =
C．x1 = 0 ，x2 = D． x1= 0 ，x2 = ( http: / / www. / )
2.方程=0的解是（ ）
A、0，1 B、1，－1 C、0，－1 D、0，1，－1
3.（原创）若实数满足，
则的值为（ ）
A、－1或－2 B、－1或2
C、1或－2 D、1或2
4. (2009青海)方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定
5.（2008年莆田）方程的根是_________。
6.解方程：(1) (2008四川巴中)
(2) (2009新疆维吾尔自治区)．
探究提高---数学的天空你是哪颗星？
7.小张和小林一起解方程.
小张将方程左边分解因式，得，所以或，方程的两个解为
小林的解法是这样的：
移项，得，方程的两边都除以，得
小林说：“我的解法多简便！”可另一个解哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个迷吗？
8. 探究下表中的奥秘，并完成填空：
9.阅读材料:为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为---①解得。
当时，，∴，∴；
当时，，∴，∴；
∴原方程的解是，，，.
解答问题：(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了___________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想。
(2)解方程：
答案快递
课堂思维碰撞
预习小测
1.一次式 一次式 降次
2.(1)公式法 因式分解法
(2)公式法 因式分解法
(3)一次方程 降次
3.C 4.C 5.①②
师生同台
一、因式分解法解一元二次方程
例1.老师讲解
解：（1），
所以或，
所以原方程的解为
（2）原方程变形为：
，
∴
整理，得
∴或.
∴原方程的解为
（3）方程可变形为，
则，∴
∴
创新火花：方程两边若有一边为零，另一边可以运用公式法（或提公因式法）分解因式，便可直接用因式分解法求解，不必去括号、移项化为一般形式（如本例（2））。因此，解方程时，不要死套模式，应根据方程特点，灵活采用简便方法。
二、选择适当的方法解一元二次方程
例2. 老师讲解
解：（1）原方程可化为，
∴，
∴，
∴
（2）原方程可化为
，
∴，∴
创新火花：解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。配方法、公式法、因式分解法并不是孤立的。选择顺序一般为：直接开平方法----分解因式法-----公式法，一般情况下，用配方法解方程是比较麻烦的，所以在解一元二次方程时，若没有特殊情况，一般不采用配方法。
跟踪运用
1.C 2.B 3. B
4.解析：本题可用因式分解法，x(x-4)=0,所以x1=0, x2=4；
答案：x1=0, x2=4
5.,
6.解：（1）3y（y-2）=0，y1=0，y0=2
（2）（5y）2-42=0，（5y+4）（5y-4）=0，y1=-，y2=
（3）（x-14）（x+2）=0，x1=14，x2=-2
（4）（x-7）（x-5）=0，x1=7，x2=5
7. 解：x+y=0或x+y-1=0，即x+y=0或x+y=1
课后创新培养
综合拓展
1. A 2.D 3.D 4. C
5.
6. (1) 解：
或
，
(2)解法一：
或
解法二：
探究提高
7.解：小张的解法正确，小林的解法不正确.
因为小林将舍掉了，即出现方程丢解问题，这也是解一元二次方程时易错点之一，应警惕.
8. 解：本考题从一元二次方程根的角度来研究相对应的二次三项式的因式分解问题.
可直接利用求根公式，求出的根为
仔细观察图表中数字的变化规律，不难发现一般结论为：若一元二次方程的两个根为，则.
9. (1) 换元 转化
(2)设，则.
原方程可转化为,
∴,,∴,.
当时, ,∴;
当时, ,∴此方程没有实数根.
∴原方程的解为,.