3.5 一元二次方程的应用学案

3.5 一元二次方程的应用
第1课时 一元二次方程的应用(1)
课堂思维碰撞
预习小测
1.列方程解应用题的一般步骤
即：(1)审清题意，明确题目中的_________和_______；
(2)设未知数，可直接设也可___________设；
(3)列方程，找出___________关系列出方程；
(4)解方程；
(5)检验，注意看答案与_________是否相符。
(6)写出答案．
2.几何图形的面积计算
(1)三角形面积=×________×_________.
(2)矩形面积=________×_________.
(3)平行四边形面积=________×_________.
(4)梯形面积=(________+_________)×_________.
3.数字问题
(1)两个连续偶数,设较小的一个为n则另一个为_____.
(2)一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为_________________。
(3) 一个三位数，个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c,则这个三位数可表示为_________________
4.利用墙的一边，再用13m的铁丝，围成一个面积为20的长方形，求这个长方形的两边长，设墙的对边长为x，可得方程( )
A. B.
C. D.
5.一个两位数等于它个位上数字的，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数是( )
A.25 B.36 C.25或36 D.-25或-36
师生同台
一、面积类问题的解决
解决此类问题时特别要注意一些规则图形面积的求法和不规则图形如何转化为规则图形，进行求解.
例1. 为了培养孩子从小热爱动物的良好品德，在一边靠校园20米的院墙，另外三边用55米长的篱笆，围起一个面积为300的矩形场地．组织生物小组学生喂养小鸟、兔子等小动物．问这个场地的各边长为多少？
分析：设与院墙垂直的边长为x m，则与院墙平行的边长为(55-2x)m，根据矩形面积公式可列出方程式．
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、数字类问题的解决
数字类问题在解决时要注意两方面的问题：一是要熟练掌握用数字表示几位数的方法；二是要找准题目中的数量关系，列出方程求解。
例2.有一个两位数等于其两个数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数。
分析：数与数的关系是：两位数=十位数字×10+个位数字；三位数字=百位数字×100+十位数字×10+个位数字。本题可以设个位数字为x,则十位数字为(x-2)或设十位数字为x，则个位数字为(x-2)，再根据相等关系列出方程即可。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1．某中学准备建一个面积为375cm2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程（ ）．
A、x(x－10)＝375 B、x(x＋10)＝375
C、2x(2x－10)＝375 D、2x(2x＋10)＝375
2．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）．
A． B．5 C． D．7
3.以墙为一边，再用长为13m的铁丝为另外三边，围成面积为20m2的长方形．已知长大于宽，则长方形的长、宽分别是（ ）
A．5m、4m或9m、2m B．9m、2m
C．10m、1.5m D．8m、2.5m或5m、4m
4.如图3-5-1，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地． 根据图中数据，计算耕地的面积为（　　）
图3-5-1
A．600m2　　B．551m2 C．550 m 2　D．500m2
5.一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条，剩下的面积是，则原来这块钢板的面积是 __________．
6. 一个两位数、十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
7.（2008中山）如图3-5-2，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。
图3-5-2
课后创新培养
综合拓展---努力使自己的计算比电脑还要准确
1.(2009年青海)在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图3-5-3所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程是（ ）
图3-5-3
A． B．
C． D．
2.(2009年甘肃庆阳)如图3-5-4，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（　　）
图3-5-4
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
3.（2008白银）如图3-5-5①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边． 如图3-5-4②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方分米．求花边的宽．
图3-5-5
探究提高---数学的天空你是哪颗星？
4.（2008年庆阳）如图3-5-6，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
图3-5-6
5.（2008年十堰）如图3-5-7，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．
⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2
⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么
图3-5-7
答案快递
课堂思维碰撞
预习小测
1.(1)已知量 未知量 (2) 间接
(3) 等量(相等) (5) 实际问题
2.(1)底 高 (2)长 宽 (3)边长 高
(4)上底 下底 高
3.(1)n+2 (2)10b+a (3)100c+10b+a
4.B 5.C
师生同台
一、面积类问题的解决
例1.老师讲解
解：设与院墙垂直的边长为x m，则与院墙平行的边长为(55-2x)m，根据题意，得．
整理，得.
解方程，得
当x＝20，即与院墙垂直的边长为20米时，另一边长为20米，即与院墙平行的边长为15米．
当x＝15，即与院墙垂直的边长为15米时，另一边长为25米，即与院墙平行的边长为25米．由于校园的院墙长20米，20＜25，所以此解不合题意，应舍去．
答：与院墙垂直的边长为20米，与院墙平行的边长为15米．
创新火花：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答.
二、数字类问题的解决
例2. 老师讲解
解：设个位数字为x,则十位数字为(x-2)，这个两位数为10(x-2)+x，根据题意，得10(x-2)+x=3x(x-2)
整理，得.
解这个方程，得(舍去)
当x=4时，10(x-2)+x=24
答：这个两位数是24.
创新火花：解决此类问题的关键是表示出这个数的代数式，在求解之后，要注意对实际问题的检验。
跟踪运用
1.A 2.B 3.D 4.B 5. 81
6. 解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为5-x
得：
整理后得：
解方程得：
答：原来的两位数是32或23。
7.解：设小正方形的边长为. 由题意得，
.
解得，.
经检验，符合题意，不符合题意舍去.
∴ .
答：截去的小正方形的边长为.
课后创新培养
综合拓展
1.B 2.A
3.解：设花边的宽为x米， 根据题意，得
．
解得． x2=不合题意，舍去．
答: 花边的宽为1米．
探究提高
4.解：设这种箱子底部宽为米，则长为米，
依题意，得．
解得（舍），．
∴ 这种箱子底部长为米、宽为米．
由长方体展开图知，要购买矩形铁皮面积为（米）．
∴ 做一个这样的箱子要花元钱．
5. 解：⑴设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为米．依题意，得　
即，　　
解此方程，得　　
∵墙的长度不超过45m，∴不合题意，应舍去．　
当时，
所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m２．
⑵不能．因为由得
又∵＝(－80)2－4×1×1620=－80＜0，
∴上述方程没有实数根．
因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2
3.4 一元二次方程的应用
第2课时 一元二次方程的应用(2)
课堂思维碰撞
预习小测
1.增长(降低)率问题中的数量关系
第一年产量为a，年增长率或降低率为x﹪，则第二年产量为_____________，第三年产量为_______________。
2.某地2006年外贸收入为2.5亿元，2008年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为则可以列出方程为（ ）
A、 B、
C、 D、
3. 某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
4.若一件商品经两次涨价后，由原来的售价为20元涨到了30元，若设平均每次涨价的百分率为，根据题意可列方程_________.
师生同台
一、平均增长(降低)率问题的解决策略
增长率问题大多数指平均增长率，一般的，若某种量原来是a，每次以相同的增长率(或降低率)x增长(或降低)，则经过n次后的量便是(或)。
例1. 某种商品原价50元.因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售价为64.8元,则4、5月份两个月平均涨价率为 .
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、商品经营问题的解决策略
解决此问题的关键是理清单价在提高或降低时，销售量是增加还是减少。
例2.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
分析：商场一天可获利润为一天的销量×销售单价，当每件降价x元时，销量可增加10x件，即现在销量为（100+10x）件，然后根据一天获利2160元即可列出方程。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1.(2009年安徽)某市2008年国内生产总值（GDP）比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是( )
A．
B．
C．
D．
2．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．
A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元
C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元
3. 某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（ ）．
A．12% B．15% C．30% D．50%
4.某糖厂2008年食糖产量为a吨，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2007年的产量将是________．
5. (2008年新疆乌鲁木齐)乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是学校．2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8058.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为，则根据题意可列方程为 ．
6.一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．
7. 某厂1月份生产零件 2 万个，第一季度共生产零件 7.98 万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率。
8.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少
课后创新培养
综合拓展---努力使自己的计算比电脑还要准确
1. (2009年青海西宁)为执行“两免一补”政策，某地区2007年投入教育经费2500万元，预计2009年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，那么下面列出的方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.(2009年湖北襄樊)为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为提高到若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ）
A． 　　B．　　C． D．
3.(2009年湖南衡阳)某果农2006年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2008年年收入增加到7.2万元，则平均每年的增长率是____________．
4.(2009年山东临沂)某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元，．则这种药品的成本的年平均下降率为______________．
探究提高---数学的天空你是哪颗星？
5.（2008南通）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.2008年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元.
（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？
6. 某商场服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
7. (2009浙江宁波)2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009～2011）》，某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比例2008年增加了1250万元．投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高30%，投入“供方”的资金将比2008年提高20%．
（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？
（2）该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金是多少万元？
（3）该市政府预计2011年将有7260万元投入改善医疗卫生服务，若从2009～2011年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009～2011年的年增长率．
【快乐新天地】
数学家韦达
法国数学家韦达（FrancisVieta1540－1603）在数学研究方面有杰出的贡献和深远的影响，他常常在工作之余致力于数学研究．当韦达被奇异的数学吸引住时，就会一连数日闭门不出，进行思考与研究．当时，他和好几位数学家都研究并发现了方程的根与系数的关系．因为韦达的论文发表得较早，影响也大，因此后人习惯上把一元次（为正整数）方程的根与系数的关系定理称为韦达定理，教科书中，一元二次方程的根与系数的关系是韦达定理的特例．
　　韦达在数学研究中另一重大的贡献是第一个有意识地使用字母来表示已知数、未知数及乘方，改进了数学的符号．数学能够成为如今这样有力的工具，与它使用了像“”、“”及等符号语言是分不开的．这些符号，使数学具有简洁的表达，也使方程和代数恒等式有了简洁、清楚的形式．如方程就比书写“一个数的平方与这个数的3倍的差等于0”要简便得多．不难想象，如果不使用数学符号，数学发展将会多么缓慢．这些数学符号的使用使人便于思考．通过符号的演算和推导，我们能够十分容易地证明某些数学关系式、某些规律是成立的．例如，一元二次方程的实根的判别式定理、一元二次方程的根与系数的关系定理，都是通过数学表示式进行推导的．因此，人们称韦达是数学符号的改革家．
答案快递
课堂思维碰撞
预习小测
1. 2.A
3. 6（1+x），6（1+x）2，6+6（1+x）+6（1+x）2
4.
师生同台
一、平均增长(降低)率问题的解决策略
例1.老师讲解
解析：由题意，3月份的售价可以用50×（1—10%）表示，若设4、5月份两个月平均涨价率为，则4月份的售价是50×（1—10%）×（1+），5月份的售价是50×（1—10%）×（1+）（1+）即50×（1—10%）×（1+），由于5月份的售价已知，所以可列出一个方程，进而解决本题。
解：设4、5月份两个月平均涨价率为，由题意，得
50×（1—10%）×（1+）=64.8。
整理，得（1+）=1.44.
解得：（不合题意，舍去）。
所以4、5月份两个月平均涨价率为20%。
答案: 20%
创新火花：设这个涨价率为x，由原价就可列出用x表示的3月份的售价，然后根据3月份的售价表示出4、5月份的售价，又由5月份的售价为64.8元列出方程求解．
列方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意，所以必须要检验。
二、商品经营问题的解决策略
例2. 老师讲解
解：⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润
100×（100-80）＝2000（元）.
⑵依题意得：（100-80-x）（100+10x）＝2160,
即x2-10x+16=0, 解得：x1=2,x2=8.
经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.
答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.
创新火花：本题是一元二次方程知识在市场经济中的应用，应注意对求得的一元二次方程的根进行检验，看其根是否符合实际意义。
跟踪运用
1.D 2.B 3.B 4.a（1+x）2吨
5. 6. 2
7.解：设每月的平均增长率为x，依题意，得
2+2（1+x）+2（1+x）2=7.98
经整理，得100x2+300x-99=0，解得x1=0.3=30%，x2=-3.3不合题意，舍去。
答：每月的增长率为30%。
8.分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．
（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]
（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．
解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元
（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000
（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000
解得：x1=80，x2=60
当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．
当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．
课后创新培养
综合拓展
1.C 2.B 3.20% 4.10%
探究提高
5.解：（1）设A市投资“改水工程”年平均增长率是x，则
解之得x＝0.4或x＝－2.4（不合题意，舍去）
所以，A市三年共投资“改水工程”2616万元.
6.分析：每天售出的童装件数×每件童装的利润=每天这种童装的总利润。
解：设每件童装应降价元，根据题意，得
化简，得，解得。
因为要尽快减少库存，所以应取20。
答：每件童装应降价20元。
创新火花：求出方程的解后，必须根据要求，对方程的解进行合理取舍。
7. 解：（1）该市政府2008年投入改善医疗服务的资金是：（万元）
（2）设市政府2008年投入“需方”万元，投入“供方”万元，
由题意得
解得
2009年投入“需方”资金为
（万元），
2009年投入“供方”资金为
（万元）．
答：该市政府2009年投入“需方”3900万元，投入“供方”2100万元．
（3）设年增长率为，由题意得
，
解得，（不合实际，舍去）
答：从2009~2011年的年增长率是10%．