新疆克拉玛依一高2020-2021学年高二下学期6月月考数学试题 Word版含答案

1173480011099800克拉玛依市第一中学高二年级2020-2021学年下学期六月考试题
考试范围：高考范围；考试时间：120分钟；
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共60分）
1．已知集合false，若false，则实数a的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．欧拉公式false(false为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的，它将指数函数定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将false表示的复数记为false，则false的值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3967480546103．下面是某手机false的图标，其设计灵感来源于传统照相机快门的机械结构，该图形是一个正六边形和六个全等的“曲边三角形”拼成的一个圆，且false.若在圆内随机取一点，则该点取自正六边形内部的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．数列false是公差不为零的等差数列，false，false，false为等比数列，false，则false（ ）
A．5 B．9 C．25 D．50
5．已知圆false及直线false，设直线false与圆false相交所得的最长弦长为false，最短弦为false，则四边形false的面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．在下列命题中，
①从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是false；
②false的展开式中的常数项为2；
③设随机变量false，若false，则false.
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
7．已知函数false为false上的增函数．则false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知定义域为false的函数false满足：①图象关于原点对称；②false；③当false时，false.若false，则false（ ）
A．false B．1 C．false D．2
9．函数false(其中false，false，false)相邻两条对称轴之间的距离为false，最大值为false，将false的图象向左平移false个单位长度后得到false的图象，若false为偶函数，则false=（ ）
468312570485A．false B．false C．false D．false
10．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.false年false月false日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠的表面上有四个点false、false、false、false，满足false为正三棱锥，false是false的中点，且false，侧棱false，则该蹴鞠的表面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．设双曲线false：false的左、右焦点分别为false，false，过点false的直线false与false的两支分别交于点false，false，若false，false，则双曲线false的离心率为（ ）
A．2 B．false C．false D．false
12．已知函数false，若不等式false恒成立，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知(x＋1)6(ax－1)2的展开式中，x3的系数为56，则实数a的值为_____.
14．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：false.则△ABM与△ABC的面积之比为________.
15．已知数列false的前false项和为false，false，且对任意的false，都有
false，则false______.
418274575819016．《扫雷》是一款大众类的益智小游戏，某玩家在点击一次后得到的结果如图所示，小方格中的数字代表其周围false区域中的地雷数(一般为8个格子，粗线外面没有地雷)，则该图中地雷的个数为___________.
三、解答题（17—21为必做题，每题12分；22和23为选做题，在二者中任选一道做在答题纸上）
430466571755017．已知函数false的部分图像如图所示.
（1）求函数false的解析式；
（2）在false中，角false?false?false的对边分别为false?false?false，若false，false，求false周长的取值范围.
18．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据false盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行?每一列?每一个粗线宫(false)内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.
（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度false(秒)与训练天数false(天)有关，经统计得到如表的数据：
false(天)
1
2
3
4
5
6
7
false(秒)
990
990
450
320
300
240
210
现用false作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度false约为多少秒？
参考数据(其中false)
false
false
false
1845
0.37
0.55
参考公式：对于一组数据false，false，…，false，其回归直线false的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：false，false.
（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为false，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.
385191034671019．如图，已知长方体false中，false，false，false，false，false分别为false，false的中点.
（1）求过false，false，false三点的截面的面积；
（2）一只小虫从false点经false上一点false到达false点，求小虫所经过路程最短时，直线false与平面false所成的角的正弦值.
20．某城市决定在夹角为false的两条道路false?false之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，false千米，false为false的中点，false为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域false，其中false，false在椭圆上，且false的倾斜角为false，交false于false.
（1）若false千米，为了不破坏道路false，求椭圆长半轴长的最大值；
41376601905（2）若椭圆的离心率为false，当线段false长为何值时，游乐区域false的面积最大？
21．已知定义在false上的函数false．
（1）若false为定义域上的增函数，求实数false的取值范围；
（2）若false，false，false，false为false的极小值，求证：false．
第22和23题为选做题，每题都是10分。请任选其中一道做在答题纸上。若两大题都做，只按先做的一道题给分.
22．在平面直角坐标系false中，曲线false的方程为false.以坐标原点false为极点，false轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设false是false上的动点，先将点false绕点false顺时针旋转得false得到点false，再保持极角不变，极径变为原来的false倍得到点false，设点false的轨迹为曲线false.
（1）求曲线false、false的极坐标方程；
（2）设false是曲线false、false的公共点，false、false分别是射线false与曲线false、false的公共点，且false、false、false都异于点false，求false的面积.
23．已知函数false．
（1）求不等式false的解集；
（2）记false的最小值为false，已知false，false，false均为正实数，且false，求false的最小值．
参考答案
1．C
【分析】
求出集合A，由题可得false，即可列出不等式求出a的取值范围.
【详解】
由题意知false，由false知false，
故false，解得false．
故选：C．
2．A
【分析】
根据欧拉公式求出false，再由复数乘法运算即可求出.
【详解】
根据欧拉公式可得false，
则false.
故选：A.
3．B
【分析】
求出正六边形的面积以及圆的面积，利用几何概型-面积型即可求解.
【详解】
解析如图，设false为圆心，则false是正六边的中心，设正六边形的边长为1，
则false，圆的半径是false，所以圆的面积为false，
正六边形的面积为false，所求的概率为false.
故选：B
4．C
【分析】
设数列false的公差为false，由已知得false，解得false，再由等差数列求和公式可得选项.
【详解】
设数列false的公差为false，因为false，false，false成等比数列，且false，
所以false，解得false或false（舍），
所以false．
故选：C.
5．A
【分析】
由圆的方程可确定圆心和半径，由直线方程可确定直线所过定点；由过圆内一点最长弦为直径、最短弦为与最长弦垂直的弦，结合垂径定理可求得最长弦和最短弦，由对角线垂直的四边形面积公式可求得结果.
【详解】
将圆false方程整理为：false，则圆心false，半径false；
将直线false方程整理为：false，则直线false恒过定点false，且false在圆false内；
最长弦false为过false的圆的直径，则false；
最短弦false为过false，且与最长弦false垂直的弦，
false，false，false直线false方程为false，即false，
false圆心false到直线false的距离为false，false；
false四边形false的面积false.
故选：A.
【点睛】
结论点睛：过圆内一点false的最长弦为圆的直径；最短弦为过false且与最长弦垂直的弦.
6．C
【解析】
【分析】
根据二项式定理，古典概型，以及正态分布的概率计算，对选项进行逐一判断，即可判断.
【详解】
对①：从9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有false种可能；
满足2张卡片上的数奇偶性不同，共有false种可能；
根据古典概型的概率计算公式可得，其概率为false，故①错误；
对②：对false写出通项公式可得false，
令false，解得false，即可得常数项为false，故②正确；
对③：由正态分布的特点可知false，故③正确.
综上所述，正确的有②③.
故选：C.
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算，二项式定理求常数项，以及正态分布的概率计算，属综合性基础题.
7．C
【分析】
由分段函数的解析式及在false上为增函数，结合二次函数、对数函数的性质可得false，求出m、n的范围，利用不等式的性质求false的范围即可.
【详解】
由false关于false对称且开口向下，又false在false上的增函数．
∴由false解析式知：false，可得false，即false，
∴由不等式的性质可得：false.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：利用二次函数、对数函数的性质，结合已知求参数的范围，再根据不等式性质求目标式的范围.
8．B
【分析】
由①可知函数false为奇函数，由②可知图象关于false对称，则函数false为周期函数，周期为false，然后利用周期性可知false解出false的值.
【详解】
由①可知函数false为奇函数，又false，故false，即函数false的周期为3，
∴false，解得false.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数的性质的综合，常见的与函数的对称性、周期性有关的结论有：
①若false，则函数false图象关于false对称；
②若函数false，则函数false图象关于点false中心对称；
③若函数false的图象关于点false中心对称，且关于直线false对称，则函数false为周期函数，周期false.
9．C
【分析】
由false最大值可得false，由false最小正周期为false可得false，由三角函数图象平移变换可得false解析式，由false为偶函数可得false，由false的范围可得结果.
【详解】
false最大值为false，false；
falsefalse相邻两条对称轴之间的距离为false，false，解得：false；
false，
false为偶函数，false，解得：false，
又false，false.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：由正弦型函数奇偶性求解参数值的基本方法如下：
若false为奇函数，则false；
若false为偶函数，则false.
10．B
【分析】
推导出false、false、false两两垂直，然后将正三棱锥false补成正方体false，计算出正方体false的体对角线长，即为三棱锥false的外接球直径，利用球体的表面积公式可得结果.
【详解】
取false中点false，连接false、false，
false为false中点，false，false，同理false，
false，false平面false，
false平面false，false，
false且false，false平面false，
false、false平面false，false，false，
false三棱锥false是正三棱锥，false、false、false三条侧棱两两互相垂直.
将正三棱锥false补成正方体false，如下图所示：
因为false，所以正方体false的体对角线长为false，
所以，正三棱锥false的外接球的直径false，
所以，正三棱锥false的外接球的表面积是false，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
11．B
【分析】
根据双曲线的定义及false可得出false，知三角形为等腰直角三角形，由余弦定理得出a，c关系即可求解.
【详解】
不妨设点false在点false的右侧，如图所示，
根据双曲线的定义得false.则false.
∵false，
∴false，则false.
∵false，
∴false，
则false，false，则false，则false.在false中，false，
则false，即false，
整理可得false，
∴双曲线false的离心率false，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：利用双曲线的定义，考查焦点三角形，结合其他条件，应用余弦定理求解，是解决离心率的常用方法，属于中档题.
12．C
【分析】
首先分析函数false，当false恒成立，
从而只需false成立即可，进而false，求导判断函数的单调性得到最小值，最后求得实数false的取值范围.
【详解】
由题意函数false，
当false恒成立，
所以要使不等式false在实数集R上恒成立，
只需false成立即可，
当false时，设false，则false，且false，
故false不可能恒成立；
所以false，
当false时，false成立；
当false时，false，
当false时，false，函数false在false上单调递减，
当false时，false，函数false在false上单调递增，
false，所以false；
综上：实数false的取值范围是false.
故选：C.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
13．6或－1
【分析】
求出false展开式中false的系数，结合多项式乘法法则可得false的系数，从而求得false．
【详解】
因为(x＋1)6(ax－1)2＝(x＋1)6(a2x2－2ax＋1)，所以(x＋1)6(ax－1)2的展开式中x3的系数是false，
∴6a2－30a＋20＝56，解得a＝6或－1.
故答案为：6或－1
14．1∶4
【分析】
由已知得出M，B，C三点共线，令false，利用平面向量的加法法则可得false值，进而可得△ABM与△ABC面积之比．
【详解】
如图，由false可知M，B，C三点共线，
令false，则false
所以false，即△ABM与△ABC面积之比为1∶4.
故答案为：1∶4
15．5
【分析】
根据已知的递推公式，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】
∵false，∴false，∴falsefalsefalse.
故答案为：5
16．4
【分析】
先从右下角的“2”和“1”逐一推导，选择有地雷的情况，再推导左下角的“1”和“3”，最后根据第一行的“2”得到最后结果.
【详解】
第一步，根据右下角的“2”和“1”可得到下图两种情况，其中“”代表地雷，“”代表没有地雷.
第二步，根据第一列的两个“1”和第二列的“3”可知第二个图不正确，于是得到下图，
第三步，根据第一行的“2”可得到最后结果，如图.
所以该图中地雷的个数为4.
故答案为：4.
【点睛】
思路点睛：解题的关键是按照一定的顺序逐一推导，一般先从限制条件多的地方往限制条件少的地方推导.
17．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）根据题意得false，进而得false，再根据图像过点false待定系数法得false，最后根据点false在函数图像上得false，即可得答案；
（2）结合（1）得false，进而根据正弦定理得false，false，false，再结合三角恒等变换得false周长false，最后求函数值域即可得答案.
【详解】
解：（1）由图像可知，
周期false，∴false.
因为点false在函数图像上，所以false，即false.
又∵false，∴false，从而false，即false.
又点false在函数图像上，所以false，false.
故函数false的解析式为false.
（2）由false，false，false.
由正弦定理false，false
同理false，false
false周长false
false
false
false，false，false
所以false
【点睛】
本题考查根据三角函数图像求函数解析式，三角形的周长最值问题，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于利用正弦定理将问题转化为三角恒等变换求函数值域问题.
18．（1）回归方程为false，经过100天训练后，每天解题的平均速度false约为140秒；（2）false.
【分析】
（1）（1）令false，设false关于false的线性回归方程为false，结合所给数据求出对应的系数即可得结果，将false代入到所求回归方程即可；
（2）由题意求出小明获胜所需局数false可能取值，分别计算概率，求和即可.
【详解】
（1）由题意，false，
令false，设false关于false的线性回归方程为false，则
false，
则false.
∴false，
又false，∴false关于false的回归方程为false，
故false时，false.
∴经过100天训练后，每天解题的平均速度false约为140秒；
（2）设比赛再继续进行false局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，
由题意知，最多再进行4局就有胜负.
当false时，小明false胜，∴false；
当false时，小明false胜，∴false；
当false时，小明false胜，∴false.
∴小明最终赢得比赛的概率为false.
【点睛】
关键点点睛：求false型的回归方程，关键在于令false换元后，转化为设false关于false的线性回归方程为false，属于中档题.
19．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）连接false，false，false，则四边形false为平行四边形，false，false分别为false，false的中点，利用平行的传递性，得到所求截面为梯形false，进而利用勾股定理和梯形的面积公式求解即可；
（2）以false为坐标原点，以false，false，false分别为false，false，false轴建立空间直角坐标系.若所经过路程最短，则false与false相似，所以false，进而求出false点坐标，进而求出平面false的法向量，最后利用线面角正弦值的向量公式求解即可
【详解】
解：（1）连接false，false，false，则四边形false为平行四边形，
又因为false，false分别为false，false的中点，所以false，false，
所以所求截面为梯形false.
false，false，false，
梯形的高false，
所以所求截面面积false.
（2）以false为坐标原点，以false，false，false分别为false，false，false轴建立空间直角坐标系.
则false，false，false，false，
若所经过路程最短，则false与false相似，所以false，所以false.
false，false，
设平面false的法向量false，则false，
令false，则false，false，
所以false，false.
false，
所以直线false与平面false所成的角的正弦值是false.
【点睛】
关键点睛：（1）解题的关键在于利用平行的传递性，找出所求的截面，进而求解；（2）解题的关键在于根据题意所指的经过路程最短，得到false与false相似，进而求出false点坐标，最后利用空间向量的相关公式进行求解
20．（1）false；（2）当线段false长为false千米，游乐区域false的面积最大.
【分析】
（1）由题可设椭圆方程为false，可得出直线false的方程为false，根据题意可得直线false与椭圆至多只有一个交点，联立方程利用false可求出false的范围；
（2）由题可得椭圆方程为false，设false，将直线false的方程false代入椭圆，利用韦达定理表示出三角形面积可求出最值.
【详解】
（1）以点false为坐标原点，false所在直线为false轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设椭圆方程为false，因为false，则false，
又false?false夹角为false，所以直线false的方程为false.
又因为false，则false，
则椭圆方程为false，
为了不破坏道路false，则直线false与椭圆至多只有一个交点，
联立方程组false，
得false，
由于直线false与半椭圆至多只有一个交点，
则false，又false，得false.
当false时半椭圆形主题公园与道路直线false相切，所以false.
（2）设椭圆焦距为false，
由椭圆的离心率false，false，false，解得false，
所以，椭圆的方程为false.
设false，又false倾斜角为false，且交false于false，
所以直线false的方程为false，
由false得false，
设false，false，则false，false，
false，
则false，
当且仅当false时，false的面积最大.
所以当线段false长为false千米，游乐区域false的面积最大.
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为false，false；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于false（或false）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为false形式；
（5）代入韦达定理求解.
21．（1）false；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由单调性可知false在false上恒成立，分离变量可得false；利用导数可求得false的最大值，由此可得false的范围；
（2）利用导数，结合零点存在定理可确定false，false在false上单调递减，在false上单调递增；构造函数false，利用导数可求得false单调性，得到false，从而得到false，根据自变量的范围，结合false在false上的单调性可证得结论.
【详解】
（1）由false得：false．
false为false上的增函数，false在false上恒成立，
即false，
令false，则false，
false在false上单调递减，false，即false，
false，即实数false的取值范围为false.
（2）当false时，false，则false，
false，false在false上单调递增，
又false，false，
false，使得false，且当false时，false；当false时，false；
falsefalse在false上单调递减，在false上单调递增，则false为false的极小值.
设false，false，false，false，
设false，
false，false．
false，false，又false，false，
false在false上单调递增，
false，
false，false在false上单调递增，
false，
false
false，false，false，
又false在false上单调递减，false，即false.
【点睛】
方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于false（false为false的两根）的问题的基本步骤如下：
①求导确定false的单调性，得到false的范围；
②构造函数false，求导后可得false恒正或恒负；
③得到false与false的大小关系后，将false置换为false；
④根据false与false所处的范围，结合false的单调性，可得到false与false的大小关系，由此证得结论.
22．（1）false，false；（2）false.
【分析】
（1）利用极坐标与普通方程之间的转换关系可得出曲线false的极坐标方程，设点false的极坐标为false，可得出点false的极坐标，代入曲线false的极坐标方程，化简后可得出曲线false的极坐标方程；
（2）求出点false、false、false的极坐标，再利用三角形的面积公式可求得false，即可得解.
【详解】
（1）将false代入false，化简得false.
设点false的极坐标为false，依题意可知false、false.
因为点false在曲线false上，代入曲线false的极坐标方程可得false，即false.
故曲线false、false的极坐标方程分别为false、false；
（2）联立false，即false，则false，
false，由false，可得false，则false，此时，false，则点false.
将false代入false中，得false.
将false代入false中，得false.
显然，false.
故false.
【点睛】
思路点睛：求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：
（1）建立适当的极坐标系；
（2）在曲线上任取一点false；
（3）根据曲线上的点所满足的条件列出等式；
（4）用极坐标false表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；
（5）证明所得的方程是曲线的极坐标方程（一般只对特殊点加以检验即可）.
23．（1）false；（2）6．
【分析】
（1）利用零点分段法解不等式组即可；
（2）利用绝对值不等式得到最小值为false，利用柯西不等式得到最小值.
【详解】
解：（1）依题意，false，
当false时，原式化为false，解得false，故false；
当false时，原式化为false，解得false，故无解；
当false时，原式化为false，解得false，故false；
综上所述，不等式false的解集为false；
（2）因为false
当且仅当false时，等号成立，即false，
于是false，
false
false
false
false
当且仅当false且false，即false，false，false时等号成立，
即false的最小值为false．
【点睛】
方法点睛：零点分区间法的一般步骤
①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；
②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；
③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；
④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．