黑龙江省哈尔滨市依兰县高中2020-2021学年高二下学期5月第二次月考数学（理）试卷 Word版含解析

依兰县高中2019级高二下学期第二次月考
数 学 试 卷（理）
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共60分）
1．设在可导，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是(　　)
A． B．
C． D．
3．已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞，-3] B．(-3，1)
C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
5．已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．1
6．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．有极大值 B．有极小值
C．有极大值 D．有极小值
7．已知函数，若，且，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则在上的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．8
9．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤藕，成本增加1元.销售额(单位：万元)与莲藕种植量(单位：万斤)满足(为常数)，若种植3万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A．6万斤 B．8万斤 C．7万斤 D．9万斤
10．定义方程的实数根为函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题（每题5分，共20分）
13．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线是l，则f（2）＋＝________．
14．如图，在长方形内任取一点，则点落在阴影部分内的概率为________.
15．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，又知的导函数的图象如下图所示：

0 4 5
1 2 2 1
则下列关于的命题：
①函数的极大值点为2；
②函数在上是减函数；
③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④当，函数有4个零点.
其中正确命题的序号是__________．
16．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________．
三、解答题（共70分）
17．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求函数的极值；(要列表).
18．已知函数，其中，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
19．已知，.
（1）若在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）若是的极值点，求在上的最大值．
20．曲线在处取得极值，且曲线在点处切线垂直于直线.
求曲线与直线所围成图形的面积；
21．已知函数．
（1）判断的单调性，并比较与的大小；
（2）若函数，其中，判断的零点的个数，并说明理由．
22．已知函数，.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，证明：.
参考答案
1．D
【分析】
根据导数的定义，可直接计算出结果.
【详解】
因为在处可导，
由导数的定义可得：.
故选：D.
10．D
【解析】
将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：，，，，
以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值
S＝×＋×＋×＋13×＝.
故选D
3．D
【分析】
由条件可得在上恒成立，然后可得，然后求出右边的最大值即可.
【详解】
因为函数在上是单调递增函数
所以在上恒成立
所以，因为
所以
故选：D
4．B
【分析】
利用导数求出函数在区间[-1，2]上单调时的范围，再根据补集思想可得答案.
【详解】
，
如果函数在区间[-1，2]上单调，
那么a-1≥0或，即，解得a≥1或a≤-3，
所以当函数在区间[-1，2]上不单调时，.
故选：B
5．A
【分析】
求得导函数，由，，解得，则即可判断极大值点，进而求得极大值.
【详解】
因为，所以，
又因为函数在图象在处的切线方程为，
所以，，解得，.
由，，，，，知在处取得极大值，.
故选：A.
6．B
【分析】
由函数的图象，可得时，；时，；时，，由此可得函数的单调性，则答案可求.
【详解】
解：函数的图象如图所示，
∴时，；时，；时，.
∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
∴有极小值.
故选：B.
7．C
【分析】
判断函数为增函数，设， 可得，从而可得，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】
函数，每段函数均为增函数，
当时，，
当时，，
所以函数在整个定义域内为增函数，
若，且，
则与一个大于，一个小于，
不妨设，则，
可得，即，
所以，
设，
，
当时，为减函数；
当时，为增函数；
故.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了利用导数求出函数的最值，解题的关键是将等式转化为，构造函数，考查了运算求解能力.
8．B
【分析】
依题意可得即可求出参数的值，再求出函数的导函数，求出函数的单调区间，列出表格即可求出函数在给定的区间上的最小值；
【详解】
解:由题意可得．由，解得，经检验得时，有极大值，所以，．令，得，，，的值随的变化情况如下表：






2


0
0


单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
函数值 3
8


8
由表可知在上的最小值为．
故选：B
9．B
【分析】
建立销售利润与种植量的函数关系，通过求导判断单调性，进而可求出答案.
【详解】
设销售利润为，则.
因为，所以，
则，求导得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，则时，取得最大值.
所以要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万斤.
故选：B.
【点睛】
本题考查导数在实际问题中的应用，注意利用已知条件建立函数关系式，进而通过导数研究函数的单调性，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
10．C
【分析】
根据题干中的新定义分别求出函数的导函数，分别解方程求出a，b，c，或者根据零点存在性定理求出a，b，c的范围即可求解.
【详解】
由可得，
令，解得，即．
由可得，
设，
当时，，
当时，，
故．
由可得，
令，得，
则，
又，所以，得，即．
综上可知，．
故选：C．
11．B
【分析】
根据微积分基本定理化简函数为关于的二次函数的形式，由二次函数最值可求得结果.
【详解】
，
当时，.
故选：B.
12．B
【分析】
由得，进而令，易知为偶函数，再结合当时，得函数在上单调递增，由于不等式转化为，进而根据偶函数的性质解即可.
【详解】
∵，∴，
令，则，即为偶函数，
当时，
∴，即函数在上单调递增.
根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故选：B.
【点睛】
本题考查抽象函数的奇偶性，单调性，解题的关键在于根据已知构造函数，进而将问题转化为，利用的性质求解，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.
13．
【分析】
由已知结合导数的计算及几何意义即可求解．
【详解】
由题图可知，直线l的方程为：9x＋8y－36＝0．
当x＝2时，y＝，即f（2）＝．
又切线斜率为－，即f′（2）＝－，
∴f（2）＋＝．
故答案为：
14．
【分析】
利用微积分基本定理先计算出阴影部分的面积，根据几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形面积比等于对应的概率，即可计算出概率值.
【详解】
由几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形的面积之比等于所求概率，
记阴影部分面积为，长方形面积为，
所以，，
所以所求概率为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查几何概型中的面积模型以及利用微积分基本定理求解定积分的值，属于综合型问题，难度一般.几何概型中的面积模型的计算公式：.
15．②
【解析】
由导函数的图象可知：当x∈(?1,0),(2,4)时,f′(x)>0，
函数f(x)增区间为(?1,0),(2,4)；
当x∈(0,2),(4,5)时,f′(x)<0，
函数f(x)减区间为(0,2),(4,5).
由此可知函数f(x)的极大值点为0，4，命题①错误；
∵函数在x=0,2处有意义,∴函数f(x)在[0,2]上是减函数，命题②正确；
当x∈[?1,t]时,f(x)的最大值是2，那么t的最大值为5，命题③不正确；
2是函数的极小值点,若f(2)>1,则函数y=f(x)?a不一定有4个零点，命题④不正确．
∴正确命题的序号是②．
故答案为②．
16．
【分析】
令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.
【详解】
令得，设函数，
则直线与函数在区间上的图象有两个交点，
，令，可得，列表如下：







极大值
，，如下图所示：
由上图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数的新定义，本质上考查利用函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
17．（1）增区间为，减区间为；（2）极大值为，极小值为.
【分析】
（1）求导数，根据导数的正负确定函数的单调区间；（2）根据导数的正负列表，从而判断极大极小值，代入求值即可.
【详解】
（1），，
设可得或.
①当时，或；
②当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为：.
（2）由（1）可得，当变化时，，的变化情况如下表：
当时，有极大值，并且极大值为
当时，有极小值，并且极小值为.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间和极值，属于基础题.
18．（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）当时，，求出函数的导函数，再求出，，再利用点斜式求出切线方程；
（2）首先求出函数的导函数，再对参数分类讨论，求出函数的单调区间；
【详解】
解：（1）当时，，
所以，所以，，
所以切线方程为：，即：
（2）函数定义域为，，
因为，
①当时，在上恒成立，
所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
②当时，由得，
由得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为
【点睛】
本题考查导数的几何意义，利用导数研究含参函数的单调区间，属于基础题.
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意可知对任意的恒成立，转化为，利用二次函数的基本性质求得函数在区间上的最小值，进而可得出实数的取值范围；
（2）由题意可得出，求得的值，然后利用导数分析函数在区间，求出极值，将极值与和比较大小，可得出函数在区间上的最大值.
【详解】
（1），，
由题意可知，对任意的恒成立，
由于二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
所以，函数在区间上单调递增，则，解得.
因此，实数的取值范围是；
（2），由于是函数的极值点，则，解得，，.
令，得或，列表如下：







极小值
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以，函数在处取得极小值，且极小值为.
又，，则，
因此，函数在区间上的最大值为.
【点睛】
本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数求函数在区间上的最值，考查计算能力，属于基础题.
20．（1）；（2）或.
【分析】
由且，故容易求得，以及：
（1）先求得与直线交点的横坐标，利用微积分基本定理即可求得结果；
（2）设出切点，利用导数的几何意义，即可容易求得结果.
【详解】
（1）联立抛物线方程和直线方程，
可得
=
（2）设切点为
所求切线方程为：
代入可得：，
解得或
所求切线方程为：或
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及用微积分基本定理求曲边梯形的面积，由极值点求参数值，属综合基础题.
21．（1）在单调递增，在单调递减；；（2）有且仅有1个零点，理由见解析．
【分析】
（1）求出，由和可得单调区间，由函数在 上单调递减，可得，即，从而可得答案.
（2）由题意可得，当当时可得出的单调性，根据零点存在原理可判断得出结论；当，先得出的单调性，从而得出的极小值为，的极大值为，先判断出的符号，再根据零点存在原理可判断得出结论；
【详解】
已知，，
由，解得 ，所以函数在 上单调递增.
由，解得 ，所以函数在 上单调递减.
由函数在 上单调递减，所以
即，所以，
即，所以
（2）据题可知：，（）
①当时，，则，，，
即 当时， 有且仅有1个零点；
② 当时，由
由，解得或，解得
所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
所以的极小值为，的极大值为，
设，其中，
，故在上是增函数，
，
又，
所以有且仅有1个，使．
即当时，有且仅有1个零点．
综上所述，有且仅有1个零点
【点睛】
关键点睛：本题考查求函数的单调区间和利用单调性比较大小以讨论函数零点的个数问题，解答本题的关键是当，得出的单调性，从而的极大值为，设，其中，讨论分析其符号，属于中档题.
22．（1）在上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】
（1）把代入，计算，根据构造新函数，计算利用的性质可得原函数单调性.
（2）依据，等价转化证明即可，构造函数，利用导数以及二阶导来判断原函数的单调性，最后经计算判断即可.
【详解】
解：（1）当时，，定义域为，
，
记()，，
当时，，当时，，
∴的极小值也就是最小值为.
∴，即，所以在上单调递增；
（2），，
∴，.
要证明，只要证明，
即证.
因而只要证明即可.
当时，，而，∴成立.
当时，设()，
，记()，
，因为，所以，在上单调递增.
，即，所以在上单调递增.
，
即
所以当时，成立.
综上可知若，.