黑龙江省哈尔滨市依兰县高中2020-2021学年高二下学期5月第二次月考数学（文）试卷 Word版含解析

依兰县高中2019级高二下学期第二次月考
数 学 试 卷（文）
第I卷（选择题）
一、单选题(共60分)
1．(本题5分)经过伸缩变换后，曲线方程变为（ ）
A． B．
C． D．
2．(本题5分)已知点，则它的极坐标是
A． B．
C． D．
3．(本题5分)将点的直角坐标化成极坐标为
A． B． C． D．
4．(本题5分)（为参数）的倾斜角为（ ）.
A． B． C． D．
5．(本题5分)设直线（t为参数），曲线（为参数），直线l与曲线C的交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
6．(本题5分)曲线 (θ为参数)中两焦点间的距离是（ ）
A． B． C．2 D．2
7．(本题5分)已知变量和的统计数据如下表：










根据上表可得回归直线方程，据此可以预报当时，（ ）
A． B． C． D．
8．(本题5分)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有块白色地面砖块.
A．4n-2 B．3n+3 C．4n+2 D．2n+4
9．(本题5分)为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机调查100名性别不同的居民是否做到“光盘”行动，得到如下列联表：
? 做不到“光盘”行动 做到“光盘”行动
男 45 10
女 30 15
经计算． 附表：






参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到光盘行动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到光盘行动与性别无关”
C．有以上的把握认为“该市居民能否做到光盘行动与性别有关”
D．有以上的把握认为“该市居民能否做到光盘行动与性别无关”
10．(本题5分)对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？
A．正三角形的顶点 B．正三角形的中心 C．正三角形各边的中点 D．无法确定
11．(本题5分)设a、b∈R，则“ab≠0”是“”成立的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分且必要 D．非充分非必要
12．(本题5分)古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”，类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式求体积（在正四面体中，D表示正四面体的棱长；在正方体中，D表示棱长），假设运用此体积公式求得球（直径为a）、正四面体（正四面体棱长为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为，，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题(共20分)
13．(本题5分)在极坐标系中，圆心在（）且过极点的圆的方程为__________．
14．(本题5分)写出下列命题中所有真命题的序号_______.
①两个随机变量线性相关性越强，相关系数越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中时，必有相应的；④回归分析中，相关指数的值越大说明残差平方和越小.
15．(本题5分)用反证法证明命题“，，可被整除，那么，中至少有一个能被整除”，那么反设的内容是________________．
16．(本题5分)已知曲线的参数方程为（为参数，），曲线上的两点，对应的参数分别为，，且，则________.
三、解答题(共70分)
17．(本题10分)求证：
18．(本题12分)设，且，，，用反证法证明：至少有一个大于．
19．(本题12分)为了解决消费者在网购退货过程中和商家由于运费问题产生的纠纷，某保险公司推出退货“运费险”.消费者在购买商品时可选择是否购买运费险.当购买运费险的消费者退货时，保险公司将按约定对消费者的退货运费进行赔付.该保险公司随机调查了100名消费者，统计数据如下：
不购买运费险 购买运费险 总计
农村消费者

40
城镇消费者 3

总计 10
100
（1）请将上面列联表补充完整，并求若在农村消费者和城镇消费者中按分层抽样抽取一个容量为15的样本时，农村消费者和城镇消费者各应抽取的人数；
（2）是否有95%的把握认为消费者购买运费险与城镇农村有关？
附：，其中.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．(本题12分)已知：；
；
.
通过观察上述三个等式的规律，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．
21．(本题12分)在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 (为参数)．
（I）分别求曲线的直角坐标方程和直线 的普通方程；
（II）设曲线和直线相交于两点，求弦长的值．
22．(本题12分)在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为，其中为参数.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.求椭圆上的点到直线距离的最大值和最小值.
参考答案
1．A
【分析】
由条件得，代入，整理即可．
【详解】
由，得，
又∵，
∴，即．
故选：A．
【点睛】
本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换，是基础题．
2．C
【分析】
由计算即可．
【详解】
在相应的极坐标系下，由于点位于第四象限，且极角满足，所以.
故选C.
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题．
3．B
【详解】
分析：求出，且在第三象限，由此能将点M的直角坐标化成极坐标.
详解：点M的直角坐标，
，
在第三象限，
.
将点M的直角坐标化成极坐标.
故选B.
点睛：极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(同除以)ρ等技巧．
4．B
【分析】
首先根据题意得到（为参数），消去参数得到，再根据直线方程的斜率即可得到直线的倾斜角.
【详解】
因为（为参数），所以（为参数），
即（为参数），，
，，倾斜角为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查直线的参数方程，属于简单题.
5．D
【分析】
利用可把曲线（为参数）化为普通方程，将直线（t为参数）化为普通方程，然后再将直线的普通方程代入曲线的普通方程，化简，再根据弦长公式即可求出结果．
【详解】
曲线（为参数）化为普通方程：，将直线（t为参数）化为普通方程，联立方程组，可得，解方程可得或，设，所以；
故选：D．
【点睛】
本题考查了参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用以及直线与椭圆的位置关系，考查了推理能力与运算能力，属于中档题．
6．C
【分析】
将曲线的参数方程化为普通方程，求解即可.
【详解】
曲线(θ为参数)化为普通方程为：，
则曲线表示焦点在轴的椭圆，，所以,即两焦点间的距离是.
故选：C
7．D
【分析】
计算出样本中心点的坐标，代入回归直线方程求得的值，然后在回归直线方程中，令可求得结果.
【详解】
由表格中的数据可得，，
由于回归直线过样本的中心点，，解得，
所以，回归直线方程为，
当时，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用回归直线方程对总体进行估计，同时也考查了利用回归直线过样本的中心点求参数，考查计算能力，属于基础题.
8．C
【详解】
依次为6，10，14，所以第n个图案中有4n+2块白色地面砖块.选C.
9．C
【分析】
根据计算所得值，结合临界值表即可判断选项.
【详解】
由题意可知，
结合临界值表可知，
因而在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到光盘行动与性别有关”，或表述为有以上的把握认为“该市居民能否做到光盘行动与性别有关”；
结合选项可知，C为正确选项，
故选：C.
【点睛】
本题考查了独立性检验思想的简单应用，对结果的判断，属于基础题.
10．B
【详解】
分析：由题意结合几何体的空间关系进行类比推理即可求得最终结果.
详解：绘制正三棱锥的内切球效果如图所示，很明显切点在面内而不在边上，则选项AC错误，由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的正三角形的中心.
本题选择B选项.
点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
11．A
【分析】
先等价转化，再比较条件关系确定充要关系
【详解】
所以ab≠0成立时成立，即成立，时成立ab≠0不成立， “ab≠0”是“”成立的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】
本题考查含绝对值不等式性质以及充要关系判断，考查基本分析化简判断能力，属中档题.
12．B
【分析】
分别求出球，正四面体，正方体的体积公式，类比推理即可得到.
【详解】
，
如图所示，设正四面体P-ABCD的棱长为a，PO为正四面体的高，

可知正四面体底面高，则
由勾股定理可得正四面体的高
所以正四面体的体积，
，
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查类比推理，解题的关键是要熟悉球，正四面体，正方体的体积公式的求法，再利用类比推理思想分别求出，，，再求出比值，考查学生的运算能力，属于一般题.
13．
【解析】
试题分析：将圆心极坐标化为直角坐标可得，又圆过极点，可知圆的半径为，故圆的直角坐标方程为，化为极坐标方程为.
考点：圆的极坐标方程.
14．②④
【解析】
逐一考查所给的说法：
①两个随机变量线性相关性越强，相关系数越接近1，原命题错误；
②回归直线一定经过样本点的中心，原命题正确；
③线性回归方程，则当样本数据中时，可以预测，但是会存在误差，原命题错误；
④回归分析中，相关指数的值越大说明残差平方和越小，原命题正确.
综上可得，正确命题的序号为②④.
15．，都不能被整除
【分析】
用反证法证明命题时，反设的内容应为所成证明问题的否定，即可到答案．
【详解】
用反证法证明命题“，，可被整除，那么，中至少有一个能被整除”，反设的内容应为：，都不能被整除．
【点睛】
本题主要考查了反证法的应用，其中用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程，其中反设中，假设应为原结论的反面为真，属于基础题．
16．
【解析】
【分析】
设，，先求出，再求得解.
【详解】
设，，因为，在曲线上，
所以，，
因为，所以，
又，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查参数方程的应用，考查曲线上两点间的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17．见解析
【分析】
利用分析法推出使结论成立的充分条件即可．
【详解】
证明：，
即证明：，
左右两边同时平方，左边，右边，
则左边>右边，
即：，
所以：.
【点睛】
本题考查分析法的应用，不等式的证明，考查计算能力以及逻辑推理能力．
18．见证明
【分析】
用反证法，先假设结论不成立，即，得到，再由题中条件求出的范围，推出矛盾，即可得结论成立.
【详解】
证明：（反证法） 假设结论不成立，即 ，
而
这与相矛盾
故至少有一个大于．
【点睛】
本题主要考查反证法，熟记反证的思想，即可求解，属于常考题型.
19．（1）答案见解析；农村消费者应抽取人，城镇消费者应抽取人；（2）有.
【分析】
（1）根据列联表上的数据，进行补充即可；
（2）将数据代入计算，在表中进行对比即可得解.
【详解】
解：（1）列联表如下：
不购买运费险 购买运费险 总计
农村消费者 7 33 40
城镇消费者 3 57 60
总计 10 90 100
农村消费者应抽取人；
城镇消费者应抽取人.
（2），
所以有95%的把握认为消费者购买运费险与城镇农村有关.
【点睛】
本题考查了列联表的补全以及独立性检验，考查了数据的计算，属于基础题.
20．
【解析】
【分析】
根据所给示例，发现三个角为公差是的等差数列，形式为平方和等于定值。
【详解】
已知；
；
.
发现三个角为公差是的等差数列，形式为平方和等于定值
所以
证明：
等式左边可化为
原式得证
【点睛】
本题考查了归纳推理的简单应用，三角函数式的简单证明，属于基础题。
21．（I）：； ：； （II）2.
【分析】
（I）由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程，消去参数，即求解直线的普通方程．
（II）将直线的参数方程代入圆，利用直线的参数的几何意义，即求解．
【详解】
（I）由题意，曲线的极坐标方程为，
由，则，即；
又由直线的参数方程为 (为参数)，消去参数可得，
所以曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为．
（II）将代入圆得：，解得：
由直线的参数的几何意义知：弦长.
【点睛】
本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理使用直线参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
22．最大值为，最小值为.
【分析】
将直线的极坐标方程转化为直角方程，利用参数以及点到直线的距离公式，求三角函数的最值，即可求得结果.
【详解】
由，得，
即的直角坐标方程为.
因为椭圆的参数方程为，
所以椭圆上的点到直线距离
，
所以的最大值为，最小值为.
【点睛】
本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，以及用参数求解距离的最值问题，属综合基础题.