2021-2022学年浙教版数学八年级上册期末复习一三角形的初步知识学案（含答案）

期末复习一　三角形的初步知识
要求
知识与方法
了解
三角形分类；定义、命题、基本事实、定理的意义；反例的作用．
理解
三角形中线、高线、角平分线的概念及画法；尺规作图；线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．
运用
三角形边与边之间、内外角之间的关系；全等三角形的性质与判定．
一、必备知识
1．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于________．
2．三角形的内角和为________，外角和为________；三角形的外角等于____________的两个内角之和．
3．角平分线上的点到________的距离相等；线段垂直平分线上的点到____________的距离相等．
4．两三角形全等的判定：SSS，SAS，ASA，________.直角三角形特有的判定：________．
二、防范点
1．三角形外角注意“不相邻”．
2．全等注意“SAS”中，A为夹角．
3．尺规作图时注意三角形的角平分线、中线、高线均为线段；钝角三角形高线不要画错．
【例题精析】
例1　(1)下列各线段中，能组成三角形的是(　　)
A．a＝6.3，b＝6.3，c＝12.6
B．a＝1，b＝2，c＝3
C．a＝2.3，b＝3，c＝5
D．a＝6，b＝8，c＝16
(2)在△ABC中，AB＝3，BC＝7，则AC的长x的取值范围是________________．
(3)三角形两边长为3cm，7cm，且第三边为奇数，则三角形的最大周长是________．
(4)三角形的三边长分别为5，1＋2x，8，则x的取值范围是________________．
(5)已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a－b＋c|－|a－b－c|＝________．
【反思】解题的关键是能正确运用三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
例2　(1)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为________．
(2)将一副三角尺按如图所示的方式叠放(两条直角边重合)，则∠α的度数是________．
(3)如左下图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度数是________．
　　　
(4)如右上图，D、E、F分别是△ABC三边延长线上的点，则∠D＋∠E＋∠F＋∠1＋∠2＋∠3＝________．
【反思】掌握三角形内角和等于180°，一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
420878085725例3　(1)如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论正确的是(　　)
A.CM＝BC
B．CB＝AB
C．∠ACM＝30°
D．CH·AB＝AC·BC
398018091440(2)AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝130°，∠C＝30°，则∠DAE的度数是________．
4465955474345(3)已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为__________．
(4)如图，△ABC中，点D在BC上且BD＝2DC，点E是AC中点，已知△CDE面积为1，那么△ABC的面积为________．
【反思】角平分线、中线、高线是三角形中重要的线段，计算过程中往往要用到它们的性质．角平分线可知两个角相等，角平分线上的点到角两边的距离相等；中线平分对边，也平分三角形的面积；高线往往可得角度为90°，并有时可用面积法解决问题．
例4　(1)下列语句不是命题的是(　　)
A．对顶角相等
B．连结AB，并延长至点C
C．内错角相等
D．同角的余角相等
(2)将下列命题写成“如果……那么……”的形式.
①一个锐角的补角大于这个角的余角．
②异号两数相加得零．
(3)判断下列命题是真命题还是假命题．
①如果ab＝0，那么a＝0.②若a是有理数，则a2＋1>0.③1是质数．④两条直线相交，只有一个交点．⑤同位角相等．
【反思】命题是由条件和结论两部分组成，判断是否是命题不是看语句是否正确，而是看语句是否有判断．说明一个命题是真命题要用证明的方法，而说明一个命题是假命题只要举一个反例即可．
405638070485例5　在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B，F，C，E在同一直线上)，并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2.
请你从这四个条件中选出三个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．
已知条件：________．
结论：________(均填写序号).
证明：
【反思】证明三角形全等要用到SSS，SAS，ASA，AAS，HL这些方法，在运用这些方法证明的过程中要注意条件的合理性，不要乱用条件．
例6　(重庆中考)在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.
(1)如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长．
(2)如图2，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：BE＋CF＝AB.
(3)如图3，将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：BE＋CF＝(BE－CF).
【反思】从特殊到一般，第(2)小题以第(1)小题为启发，构造两三角形全等．旋转类题不变的是三角形全等．
例7　观察发现：
(1)如图1，OP平分∠MON，在OM，ON上分别取OA，OB，使OA＝OB，再在OP上任取一点D，连结AD，BD.请你猜想AD与BD之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
(2)如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由．
【反思】对于第(2)题，在第(1)题积累经验基础上构造全等三角形，从而自然添加辅导线．
【练习】
1．如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A＝40°，∠1＝45°，则∠2的度数为________．

　第1题图 　　第2题图
2．(1)如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm.点C在射线AM上，利用下图，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为________cm(精确到0.1cm).
(2)∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是____________．
42468802457453．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD.
(1)求证：△BAD≌△CAE.
(2)请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
　第3题图
4．如图，∠A＝∠B＝50°，P为AB的中点，点E为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连结EP，并使EP的延长线交射线BD于点F.
439928085725(1)求证：△APE≌△BPF.
(2)当EF＝2BF时，求∠BFP的度数．
第4题图
38563553752855．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：
(1)FC＝AD.
(2)AB＝BC＋AD.
　第5题图
6．如图1，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t(s).
第6题图
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系.
(2)如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
期末复习一　三角形的初步知识
一、必备知识
1．第三边　
2．180°　360°　与它不相邻　
3．角两边　线段两端　
4．AAS　HL　
【例题精析】
例1　(1)C　(2)4＜x＜10　(3)19cm　(4)1＜x＜6　
(5)2a－2b
例2　(1)40°　(2)75°　(3)23°　(4)180°
例3　(1)D　(2)5°　(3)3cm　(4)6
例4　(1)B　
(2)①如果一个角是锐角，那么这个角的补角大于这个角的余角．
②如果两个数异号，那么这两个数相加得零．　
(3)②④为真命题，①③⑤为假命题．
例5　答案不唯一，如：已知条件：①②③　结论：④　证明：∵BF＝CE，∴BF＋CF＝EC＋CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠1＝∠2.
例6　(1)1.　(2)过D作DG⊥AB于点G，DN⊥AC于点N，易证：∴△DEG≌△DFN，故EG＝FN，∴BE＋CF＝BG＋GE＋CN－NF＝2BG＝BD＝AB.　(3)过D作DG⊥AB于点G，易证：∴△DEG≌△DFN，故EG＝FN，∴BE＋CF＝BG＋GE＋NF－CN＝2EG，BE－CF＝BG＋GE－NF＋CN＝2BG，又∵DN＝FN，∴EG＝DG＝BG，即BE＋CF＝(BE－CF).
例7　(1)AD＝BD.理由：∵OP平分∠MON，∴∠DOA＝∠DOB，∵OA＝OB，OD＝OD，∴△OAD≌△OBD，∴AD＝BD.
　　
(2)FE＝FD.理由：如图2，在AC上截取AG＝AE，连结FG，∴△AEF≌△AGF，∴∠AFE＝∠AFG，FE＝FG.∵∠ACB是直角，即∠ACB＝90°，又∵∠B＝60°，∴∠BAC＝30°，∵AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，∴∠FAC＋∠FCA＝15°＋45°＝60°＝∠AFE，∴∠AFE＝∠AFG＝∠CFD＝60°，∴∠CFG＝180°－60°－60°＝60°，∴∠CFG＝∠CFD，又FC为公共边，∴△CFG≌△CFD，∴FG＝FD，∴FE＝FD.
【练习】
1．95°　
2．(1)1.2(答案不唯一)　(2)x＝d或x≥a　
3．(1)∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠EAD＋∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS).　(2)BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：由(1)知，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD＋∠DBC＝45°，∴∠ACE＋∠DBC＝45°，∴∠DBC＋∠DCB＝∠DBC＋∠ACE＋∠ACB＝90°，则BD⊥CE.
4．(1)证明：∵P是AB的中点，∴PA＝PB，在△APE和△BPF中，∴△APE≌△BPF(ASA).
(2)由(1)得：△APE≌△BPF，∴PE＝PF，∴EF＝2PF，∵EF＝2BF，∴BF＝PF，∴∠BPF＝∠B＝50°，∴∠BFP＝180°－50°－50°＝80°.
5．(1)证△AED≌△FEC(AAS)，∴FC＝AD.　(2)证△ABE≌△FBE(SAS)得AB＝BF＝BC＋CF＝BC＋AD.
6．(1)当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP＝∠BPQ.∴∠APC＋∠BPQ＝∠APC＋∠ACP＝90°.∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直．　(2)①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，解得②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，解得综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等．