2020-2021学年高二数学下学期期末考试冲刺试卷四
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若，则复数（
）
A.
B.
C.
1
D.
2.若随机变量，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
4.低密度脂蛋白是一种运载胆固醇进入外周组织细胞的脂蛋白颗粒，可被氧化成氧化低密度脂蛋白，当低密度脂蛋白，尤其是氧化修饰的低密度脂蛋白过量时，它携带的胆固醇便积存在动脉壁上，久了容易引起动脉硬化，因此低密度脂蛋白被称为“坏的胆固醇”.为了调查某地中年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名中年人，得到2×2列联表如下：
肥胖
不肥胖
总计
低密度脂蛋白不高于
12
63
75
低密度脂蛋白高于
8
17
25
总计
20
80
100
由此得出的正确结论是（
）
A.
有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”
B.
有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”
C.
有90%把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”
D.
有90%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”
5.函数的单调减区间是（
）
A.
B.
C.
D.
6.为支援边远地区教育事业的发展，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区三所不同的学校去支教，每个学校至少去1人，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有(
)
A.
180种
B.
150种
C.
90种
D.
114种
7.若实数，则等于（
）
A.
32
B.
－32
C.
1
024
D.
512
8.已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有150个整数解，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下面是关于复数（i为虚数单位）的四个命题：
①；
②；
③的共轭复数为；④若，则的最大值为.其中正确的命题有(
)
A.
①
B.
②
C.
③
D.
④
10.已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（
）
A.
函数是周期函数
B.
函数的图象关于点对称
C.
函数为上的偶函数
D.
函数为上的单调函数
11.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（
）
A.
某学生从中选3门，共有30种选法
B.
课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C.
课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D.
课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
12.设函数，，则下列说法正确有（
）
A.
不等式的解集为；
B.
函数在单调递增，在单调递减；
C.
当时，总有恒成立；
D.
若函数有两个极值点，则实数.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
的展开式中的系数为___________．（用数字作答）
14.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则_____________
15.对于定义在上的函数，若实数满足，则称是函数的一个不动点．若二次函数没有不动点，则实数的取值范围是________．
16.已知，若过点的动直线与有三个不同交点，这三个交点自左向右分别为，，，设线段的中点是，则_________；的取值范围为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在（x+2）10的展开式中，求：
（1）含x8项的系数；
（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，
18.为了丰富业余生活，甲、乙，丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
(1)求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；
(2)请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大?
19.设函数，.
（1）若函数在处的切线方程为，求的值；
（2）若，恒成立，求的取值范围.
20.如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．
求证：平面BDEF；
求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．
21.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩
70
77
80
85
90
86
93
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程，
其中，.
76
83
812
526
22.已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若当时，总有，求的最大值．2020-2021学年高二数学下学期期末考试冲刺试卷四
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若，则复数（
）
A.
B.
C.
1
D.
【答案】D
【解析】因为，所以,
故选：D
2.若随机变量，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由二项分布的概率公式得,
故选：A
3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】对于A，因为函数在定义域内为奇函数且单调递增，所以函数在其定义域内既是奇函数又是减函数，故A正确；
对于B，函数在其定义域内不单调，故B错误；
对于C，函数的单调递减区间为，，但在其定义域内不单调，故C错误；
对于D，函数为非奇非偶函数，故D错误.
故选：A.
4.低密度脂蛋白是一种运载胆固醇进入外周组织细胞的脂蛋白颗粒，可被氧化成氧化低密度脂蛋白，当低密度脂蛋白，尤其是氧化修饰的低密度脂蛋白过量时，它携带的胆固醇便积存在动脉壁上，久了容易引起动脉硬化，因此低密度脂蛋白被称为“坏的胆固醇”.为了调查某地中年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名中年人，得到2×2列联表如下：
肥胖
不肥胖
总计
低密度脂蛋白不高于
12
63
75
低密度脂蛋白高于
8
17
25
总计
20
80
100
由此得出的正确结论是（
）
A.
有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”
B.
有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”
C.
有90%把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”
D.
有90%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”
【答案】C
【解析】由已知，由临界值表知选项C正确．故选：C．
5.函数的单调减区间是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】的定义域为，
，
令
即，且
解得，即函数的单调递减区间为,故选：A．
6.为支援边远地区教育事业的发展，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区三所不同的学校去支教，每个学校至少去1人，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有(
)
A.
180种
B.
150种
C.
90种
D.
114种
【答案】D
【解析】分四种情况：
（1）安排甲到一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人一起
到第三所学校有1种方法，共有种方法；
（2）安排甲到第一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人中两人一起到第三所学校有种方法，另一人到前两所学校中任意一所有，共有种方法；
（3）安排甲到第一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人中一
人到第三所学校有，另两人一起到前两所学校中任意一所有，共有种方法；
（4）安排甲到第一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人中一
人到第三所学校有，另两个人分别到前两所学校有种方法共有种方法，种方法；
综合以上有：,
故选：D
7.若实数，则等于（
）
A.
32
B.
－32
C.
1
024
D.
512
【答案】A
【解析】由题意可得：
故选：A
8.已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有150个整数解，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】当时，，，
当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在单调递增，
，，又，函数关于对称，且是偶函数，所以，所以，
所以函数周期，关于的不等式在上有且只有150个整数解，即在上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下面是关于复数（i为虚数单位）的四个命题：
①；
②；
③的共轭复数为；④若，则的最大值为.其中正确的命题有(
)
A.
①
B.
②
C.
③
D.
④
【答案】BD
【解析】由题，其共轭复数，
所以，，
若，设，则，
即是圆上的点，
可以看成圆上的点到原点的距离，最大值为
所以正确的命题为②④.
故选：BD
10.已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（
）
A.
函数是周期函数
B.
函数的图象关于点对称
C.
函数为上的偶函数
D.
函数为上的单调函数
【答案】ABC
【解析】因为，所以，即，故A正确；
因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；
又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；
因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，，所以函数不单调，D不正确,
故选：ABC.
11.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（
）
A.
某学生从中选3门，共有30种选法
B.
课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C.
课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D.
课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
【答案】CD
【解析】6门中选3门共有种，故A错误；
课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B错误；
课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；
课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确．
故选：CD
12.设函数，，则下列说法正确有（
）
A.
不等式的解集为；
B.
函数在单调递增，在单调递减；
C.
当时，总有恒成立；
D.
若函数有两个极值点，则实数.
【答案】AC
【解析】函数，，
则，，
对于，即，，即，故该选项正确；
对于，，当时，，单调递增，故该选项错误；
对于，当，时，若，则，
即，即，
令，
则，，
当，时，，则单调递增，
（1），则，单调递减，
，
故，，故该选项正确；
对于，若函数有2个极值点，
则有2个零点，
即，，
令，则，
在单调递增，在单调递减，
（1），即，，故该选项错误.
综上，只有正确，
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
的展开式中的系数为___________．（用数字作答）
【答案】13
【解析】由二项式展开式的通项公式可得，
令和，
则的系数为.
故答案为：13．
14.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则_____________
【答案】
【解析】设事件
“4个人去的景点不相同”，
事件
“小赵独自去一个景点”，
则（A），
（B），
，
则,
故答案为：
15.对于定义在上的函数，若实数满足，则称是函数的一个不动点．若二次函数没有不动点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为二次函数没有不动点，所以无实数解，
即方程无实数解，
则，解得或.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
16.已知，若过点的动直线与有三个不同交点，这三个交点自左向右分别为，，，设线段的中点是，则_________；的取值范围为__________.
【答案】
1
【解析】设，，直线的方程为，
则由得或，所以.
又为线段的中点，所以.
又，
设函数上的切点为，
由切线过点知，切线方程为，，
又点在切线方程上，
所以，整理得，
解得或，所以切线的斜率为和8，
所以，所以.
故答案为：
1
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在（x+2）10的展开式中，求：
（1）含x8项的系数；
（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，
【答案】（1）180；（2）1
【解析】（1）二项式展开式的通项如下：
，由已知令10﹣r＝8，所以r＝2.所以含x8项的系数为.
（2）第3r项与第r+2项的二项式系数相等，
则，即3r﹣1＝r+1或3r﹣1+r+1＝10.解得r＝1或（舍）.故r的值为1.
18.为了丰富业余生活，甲、乙，丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
(1)求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；
(2)请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大?
【答案】(1);(2)
甲获得冠军的概率最大
【解析】(1)设事件为“甲和乙先赛且共进行4场比赛”，则有两类：
第一种是甲和乙比赛，甲胜乙，再甲与丙比赛，丙胜甲，再丙与乙比赛，乙胜丙，再进行第四场比赛．第二种是甲和乙比赛，乙胜甲，再乙与丙比赛，丙胜乙，再丙与甲比赛，甲胜丙，再进行第四场比赛．其概率为：
，
答：甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率为．
(2)设事件表示甲与乙先赛且甲获得冠军；事件表示甲与丙先赛且甲获得冠军；事件表示乙与丙先赛且甲获得冠军
，
因为，
所以甲与乙进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大．
19.设函数，.
（1）若函数在处的切线方程为，求的值；
（2）若，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意，函数，，
且函数在处的切线方程为，
所以该函数过点，
故，
所以的值为；
（2）对，恒成立，
即，
所以，①
又因为，所以，
故①可化简为，②
令，
再令，则，
所以，
，
所以在上单调递增，
故，
又由②式可得，当时，恒成立，
所以，
综上所述：的取值范围是：.
20.如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．
求证：平面BDEF；
求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析.(2)
.
【解析】（1）设与相交于点，连接，
∵四边形为菱形，∴，且为中点，
∵，∴，
又，∴平面.
（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，
∵为中点，∴，又，∴平面.
∵，，两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，∵四边形为菱形，，∴，.
∵为等边三角形，∴.
∴，，，，
∴，，.
设平面的法向量为，则，
取，得.设直线与平面所成角为，
则.
21.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩
70
77
80
85
90
86
93
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程，
其中，.
76
83
812
526
【答案】（1）不同的样本的个数为.
（2）①分布列见解析，.
②线性回归方程为.可预测该同学的物理成绩为96分.
【解析】（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，
18名男同学中应抽取的人数为名，
故不同的样本的个数为.
（2）①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，
∴的取值为0，1，2，3.
∴，，
，.
∴的分布列为
0
1
2
3
∴.
②∵，.
∴线性回归方程为.
当时，.
可预测该同学的物理成绩为96分.
22.已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若当时，总有，求的最大值．
【答案】（1）（2）最大值为5．
【解析】（1）当时，，，
则可知，
所以切线方程为，化简可得切线方程为；
（2）由题当时，恒成立，即在时恒成立，
即在时恒成立，
令，则，
令，则时恒成立．
所以在上单调递增，又知，，
所以在上存在唯一实数，满足，即，
当时，，即；当时，，即．
所以函数在上单调递减；在上单调递增．
即．
由在时恒成立，
所以，又知，所以整数的最大值为5．
