2020-2021学年高二数学下学期期末考试冲刺试卷二
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数（,是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（
）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
【答案】A
【解析】，
在复平面上对应的点的坐标为，
若，则，
．
在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选：A．
2.为了解学生对街舞的喜欢是否与性别有关，在全校学生中进行抽样调查，根据数据，求得的观测值，则至少有（
）的把握认为对街舞的喜欢与性别有关．参考数据：
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为>,所以有的把握认为对街舞的喜欢与性别有关．故选：B．
3.已知函数，是函数的导数，则（
）
A.
0
B.
1
C.
D.
2
【答案】D
【解析】因为函数，
所以，
即，
所以,故选：D
4.设随机变量，函数有零点的概率是0.5，则等于（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
不确定
【答案】A
【解析】因为函数有零点，所以，即，
所以，又随机变量，且，
所以.故选：A.
5.已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为函数满足，
所以，
所以函数的周期是8，
又当时，，且函数是定义在R上的奇函数，
所以，
，
，
.
故选：A
6.2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有(
)
A.
15
B.
60
C.
90
D.
540
【答案】C
【解析】依题意，首先将人平均分成3组，再将三组进行全排列即可，所以所有可能的派出方法有（种）,故选：C
7.已知函数，的图像在点处的切线与轴交于点，过点与轴垂直的直线与轴交于点，则线段中点的纵坐标的最大值是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设点，
∵，∴，∴，
∴切线的方程为，
令，得，故，
又点，
∴线段中点的纵坐标，
设，
则，
故当时，单调递增；当时，单调递减．
∴．故选:D．
8.函数在定义域上的导数是，若，且当时，.设，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】时，
，
，
在上为增函数，
又，
图象关于对称，
在上为减函数，
又，，，
，
．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的有（
）
A.
的虚部为
B.
C.
的共轭复数为
D.
是第三象限的点
【答案】BC
【解析】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限.
故选：BD.
10.下列函数中，在其定义域内是偶函数的有（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】CD
【解析】对于：，定义域为，，所以奇函数，故不正确；
对于：，定义域为，，且所以是非奇非偶函数，故不正确；
对于：定义域为，关于原点对称，，所以是偶函数，故正确；
对于：，定义域为，，所以是偶函数，故正确；
故选：CD
11.已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（
）
A.
B.
展开式中常数项为160
C.
展开式系数的绝对值的和1458
D.
若为偶数，则展开式中和的系数相等
【答案】ACD
【解析】对于A，
令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，
，故A正确；
对于B，
，
展开式的通项为，
当展开式是中常数项为：令,得
可得展开式中常数项为：，
当展开式是中常数项为：
令得(舍去)
故的展开式中常数项为.故B错误；
对于C，求其展开式系数的绝对值的和与展开式系数的绝对值的和相等
，令，可得：
展开式系数的绝对值的和为：.故C正确；
对于D，
展开式的通项为，
当为偶数，保证展开式中和的系数相等
①和的系数相等，
展开式系数中系数为：
展开式系数中系数为：
此时和的系数相等，
②和的系数相等，
展开式系数中系数为：
展开式系数中系数为：
此时和的系数相等，
③和系数相等，
展开式系数中系数为：
展开式系数中系数为：
此时和的系数相等，
故D正确；
综上所在，正确的是：ACD,
故选：ACD.
12.已知是定义在上的函数，是的导函数，给出如下四个结论，其中正确的是（
）
A.
若，且，则的解集为
B.
若，且，则函数有极小值0
C.
若，且，则不等式的解集为
D.
若，则
【答案】ABD
【解析】对选项A：设，因为，且，
则，所以在上增函数，
又因为，
所以当时，，
即的解集为，故A正确.
对选项B，设，
因为
所以当时，
，为减函数，
当时，
，为增函数，
故当，取得极小值，极小值为，故B正确.
对选项C，设，.
因为，，所以，在上增函数.
又因为，所以.
所以当时，，故C错误.
对选项D，设，
因为，所以，在上增函数.
所以，，即.
故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若二次函数有一个零点小于，一个零点大于3，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】因为二次函数的图象开口向下，
且在区间，内各有一个零点，
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
14.某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为___________
【答案】36
【解析】若甲、乙一起（无其他人）有
种
若甲、乙与另一人一起（三人一起）有种
，共18+18=36种,
故答案为：36
15.一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量，则____，________.
【答案】
(1).
(2).
【解析】根据题意可知，可取，
；
（此时取球情况是：第一次取红球；第一次取绿球，第二次取红球）
；
（此时取球情况是：第一次取黄球，第二次取红球；
第一次取绿球，第二次取黄球，第三次取红球；
第一次取黄球，第二次取绿球，第三次取红球）
.
故.
故答案为：；.
16.若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】因为，
所以，
设，
因为函数在上存在两个极值点，
所以在上存在两个零点，
所以在上存在两个零点，设为且，
所以根据韦达定理有：，
故
，
因为，
所以，
，
由于，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.某企业广告费支出与销售额（单位：百万元）数据如下表所示：
广告费
6
4
8
2
5
销售额
50
40
70
30
60
(1)求销售额关于广告费的线性回归方程；
(2)预测当销售额为76百万元时，广告费支出为多少百万元．
回归方程子中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
【答案】(1).
;
(2).
9
【解析】(1)由题意，，
，
，
，．
所以销售额关于广告费的线性回归方程为．
(2)当时，由回归方程，可解得．
答：预测当销售额为76百万元时，广告费支出为9百万元．
18.在二项式的展开式中
（1）求该二项展开式中含项的系数；
（2）求该二项展开式中系数最大的项．
【答案】(1).
160
(2).
【解析】（1）二项展开式中，通项公式为，
令，求得，
故含项的系数为．
（2）设第项的系数最大，由，
解得，故
故该二项展开式中系数最大的项为．
19.已知函数，，.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）解不等式；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）由题意，由可得且，
所以的定义域为，
因为
，
所以，所以函数为奇函数；
（2）由可得，所以，解得，
所以不等式的解集为；
（3）因为不等式对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以.
20.如图，四边形为正方形，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵四边形为正方形，∴，
设，则O是的中点，
∵，∴
又，∵平面，∴平面
∵平面，
所以平面平面.
（2）∵，
∴，同理，∴平面，
又∴平面，
以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，，,
设平面与平面的法向量分别为和，
则，，
求得平面的一个法向量为：，
面的一个法向量为：，
，
又所求二面角为锐角，故所求余弦值为．
21.
2020年初，新冠肺炎袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北外疫情最严重的省份之一，截止2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）.
（1）为了了解新冠肺炎的相关特征，研究人员统计了他们的年龄数据，可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄服从正态分布，请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例；
（2）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立，现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按（可以取2,4,5,10）个人一组平均分组，并将同组个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的个人抽取的另一半血液逐一化验，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的的值.
参考数据：若～，则，
，.
【答案】（1）；（2）4．
【解析】（1）由题意，，，
所以，
估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例为；
（2）据题意每名密切接触者确诊的概率是，
因为每名密切接触者是否确诊相互独立，所以个人中患者的人数服从二项分布．
设一组中有个人时，化验次数为，则的所有可能取值为1或，
且，，
所以，
设20人的化验总次数为，则，
所以，
，
，
，
因为，
所以使得20人的化验总次数最少的的值为4．
22.设函数，其中.
（1）证明：恰有两个零点；
（2）设为的极值点，为的零点，且，证明.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：（1）因为，定义域为
所以；
令，由，可知在内单调递减，
又，且，
故在内有唯一解，
从而在内有唯一解，不妨设为，.
则，当时，，
所以在内单调递增；
当时，，
所以函数在内单调递减，因此是的唯一极值点.
令，则当时，，故在内单调递减，
从而当时，，所以，
从而，
又因为，所以在内有唯一零点，
又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点
（2）由题意，，即，
从而，即，
因当时，，又，故.
两边取对数，得
于是，整理得.2020-2021学年高二数学下学期期末考试冲刺试卷二
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数（,是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（
）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
2.为了解学生对街舞的喜欢是否与性别有关，在全校学生中进行抽样调查，根据数据，求得的观测值，则至少有（
）的把握认为对街舞的喜欢与性别有关．参考数据：
A.
B.
C.
D.
3.已知函数，是函数的导数，则（
）
A.
0
B.
1
C.
D.
2
4.设随机变量，函数有零点的概率是0.5，则等于（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
不确定
5.已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
6.2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有(
)
A.
15
B.
60
C.
90
D.
540
7.已知函数，的图像在点处的切线与轴交于点，过点与轴垂直的直线与轴交于点，则线段中点的纵坐标的最大值是（
）
A.
B.
C.
D.
8.函数在定义域上的导数是，若，且当时，.设，则（
）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的有（
）
A.
的虚部为
B.
C.
的共轭复数为
D.
是第三象限的点
10.下列函数中，在其定义域内是偶函数的有（
）
A.
B.
C.
D.
11.已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（
）
A.
B.
展开式中常数项为160
C.
展开式系数的绝对值的和1458
D.
若为偶数，则展开式中和的系数相等
12.已知是定义在上的函数，是的导函数，给出如下四个结论，其中正确的是（
）
A.
若，且，则的解集为
B.
若，且，则函数有极小值0
C.
若，且，则不等式的解集为
D.
若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若二次函数有一个零点小于，一个零点大于3，则实数的取值范围是____________.
14.某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为___________
15.一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量，则____，________.
16.若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.某企业广告费支出与销售额（单位：百万元）数据如下表所示：
广告费
6
4
8
2
5
销售额
50
40
70
30
60
(1)求销售额关于广告费的线性回归方程；
(2)预测当销售额为76百万元时，广告费支出为多少百万元．
回归方程子中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
18.在二项式的展开式中
（1）求该二项展开式中含项的系数；
（2）求该二项展开式中系数最大的项．
19.已知函数，，.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）解不等式；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
20.如图，四边形为正方形，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
21.
2020年初，新冠肺炎袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北外疫情最严重的省份之一，截止2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）.
（1）为了了解新冠肺炎的相关特征，研究人员统计了他们的年龄数据，可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄服从正态分布，请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例；
（2）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立，现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按（可以取2,4,5,10）个人一组平均分组，并将同组个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的个人抽取的另一半血液逐一化验，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的的值.
参考数据：若～，则，
，.
21.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为菱形，∠BAD的余弦值为，AC与BD相交于点O，OP⊥底面ABCD，M为PC中点，OP=4.
（1）求证：AM⊥BD；
（2）求直线PA与平面ABM所成角的正弦值.
22.设函数，其中.
（1）证明：恰有两个零点；
（2）设为的极值点，为的零点，且，证明.
