2020-2021学年高二数学下学期期末考试冲刺试卷三
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知为虚数单位，设复数，则（
）
A.
0
B.
C.
1
D.
2.曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（
）
A.
B.
C.
1
D.
2
3.某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
4.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（
）
A.
B.
C.
D.
5.已知函数且若函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A.
（1，2）
B.
（1，3）
C.
[1，2]
D.
［1，3]
6.《九章算术》中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．在堑堵中，，，平面与平面所成的锐二面角为，则阳马外接球的直径长为（
）
A
B.
C.
D.
7.若多项式，则
（
）
A.
9
B.
10
C.
-9
D.
-10
8.已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列函数中，在其定义域内是偶函数的有（
）
A.
B.
C.
D.
10.为了对变量与的线性相关性进行检验，由样本点、、、求得两个变量的样本相关系数为，那么下面说法中错误的有（
）
A.
若所有样本点都在直线上，则
B.
若所有样本点都在直线上，则
C.
若越大，则变量与的线性相关性越强
D.
若越小，则变量与线性相关性越强
11.如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（
）.
A.
在上是增函数；
B.
当时，取得极小值；
C.
在上是增函数、在上是减函数；
D.
当时，取得极大值.
12.如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是（
）
A.
平面平面
B.
平面
C.
三棱锥的体积为定值
D.
直线与所成的角可能是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知复数，为虚数单位，则的最小值为_________.
14.设，则___________.
15.六个人从左至右排成一行，最右端只能排成甲或乙，最左端不能排甲，则不同的排法共有________种（请用数字作答）.
16.已知函数．（1）当时，的极小值为________；（2）若在上恒成立，则实数a的取值范围为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知在的展开式中第5项为常数项.
（1）求的值；
（2）求展开式中含有项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项.
18.假定某射手每次射击命中目标的概率为.现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为.
（1）求的概率分布；
（2）分别求均值和方差.
19.函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）设，，求函数的值域；
（2）当时，若，求实数的值．
20.如图，在五面体中，四边形是正方形，，，.
(1)证明：平面⊥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
21.根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围．为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：
得分
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
男性人数
4
9
12
13
11
6
3
女性人数
1
2
2
21
10
4
2
（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？
不太了解
比较了解
合计
男性
女性
合计
（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为，求的概率分布和数学期望．
附：，．
临界值表：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22.设函数.
（1）当时，，求实数的取值范围；
（2）求证：存正实数，使得总成立.2020-2021学年高二数学下学期期末考试冲刺试卷三
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知为虚数单位，设复数，则（
）
A.
0
B.
C.
1
D.
【答案】C
【解析】由题意，所以,
故选：C.
2.曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（
）
A.
B.
C.
1
D.
2
【答案】A
【解析】由题意得，则曲线在点处的切线斜率，
故切线方程为，即，
令得，；令得，，
切线与坐标轴围成三角形的面积.
故选：A．
3.某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意知，设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则，，所以，故选:A．
4.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.
故选：D.
5.已知函数且若函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A.
（1，2）
B.
（1，3）
C.
[1，2]
D.
［1，3]
【答案】B
【解析】如图，画出的函数图象，
则若函数有3个不同的零点等价于与有3个不同的交点，观察图象可知，.
故选：B.
6.《九章算术》中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．在堑堵中，，，平面与平面所成的锐二面角为，则阳马外接球的直径长为（
）
A
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】直三棱柱中平面，平面，∴，由得，∴是平面与平面所成的锐二面角的平面角，即，∵，，∴，又，∴，
把堑堵补成一个长方体，如图，长方体外接球直径为，此即为阳马外接球的直径．
故选：B．
7.若多项式，则
（
）
A.
9
B.
10
C.
-9
D.
-10
【答案】D
【解析】多项式，
等号右侧只有最后一项的展开式中含有，并且的系数为，等号左侧的系数是1，
∴;
又的系数在右侧后两项中，的系数为，左侧的系数是0，
∴，
∴.
故选：D．
8.已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由，即与有三个交点，
设，，故当时，；
当时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故，，故.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列函数中，在其定义域内是偶函数的有（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】CD
【解析】对于：，定义域为，，所以奇函数，故不正确；
对于：，定义域为，，且所以是非奇非偶函数，故不正确；
对于：定义域为，关于原点对称，，所以是偶函数，故正确；
对于：，定义域为，，所以是偶函数，故正确；故选：CD
10.为了对变量与的线性相关性进行检验，由样本点、、、求得两个变量的样本相关系数为，那么下面说法中错误的有（
）
A.
若所有样本点都在直线上，则
B.
若所有样本点都在直线上，则
C.
若越大，则变量与的线性相关性越强
D.
若越小，则变量与线性相关性越强
【答案】ABD
【解析】若所有样本点都在直线上，且直线斜率为负数，则，A、B选项均错误；
若越大，则变量与的线性相关性越强，C选项正确，D选项错误.故选：ABD.
11.如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（
）.
A.
在上是增函数；
B.
当时，取得极小值；
C.
在上是增函数、在上是减函数；
D.
当时，取得极大值.
【答案】BC
【解析】由图象可以看出，在，上导数小于零，故不对；左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以是的极小值点,故对；
在，上导数大于零，在上导数小于零，故对；左右两侧导数的符号都为正，所以不是极值点，不对．
故选：BC．
12.如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是（
）
A.
平面平面
B.
平面
C.
三棱锥的体积为定值
D.
直线与所成的角可能是
【答案】AC
【解析】对于A中，在正方体中，可得，
又由，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，所以A正确；
对于B中，在正方体中，可得，
所以四点共面，所以B不正确；
对于C中，因为，点到平面的距离为，
所以三棱锥的体积为定值，所以C正确；
对于D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
可得，设，
则，
则，
当时，；
当时，，
所以直线与所成的角的范围是，所以D不正确,
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知复数，为虚数单位，则的最小值为_________.
【答案】4
【解析】复数z满足，为虚数单位，
复数z表示：复平面上的点到(0，0)的距离为1的圆.
的几何意义是圆上的点与的距离，
所以其最小值为：
.故答案为：4.
14.设，则___________.
【答案】
【解析】由，
则.
故答案为：
15.六个人从左至右排成一行，最右端只能排成甲或乙，最左端不能排甲，则不同的排法共有________种（请用数字作答）.
【答案】
【解析】分两种情况讨论：①甲在最右边，则其他位置的安排没有限制，此时排法种数为；
②乙在最右边，甲在除了最左边和最右边以外的四个位置，再对剩下四个进行排列，此时，排法种数为.
综上所述，不同的排法种数为.
故答案为：216.
16.已知函数．（1）当时，的极小值为________；（2）若在上恒成立，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
(1).
1
(2).
【解析】（1）时，，，
，，
故在单调递增，而（1），
故时，，单调递减，时，，单调递增，
故极小值（1）；
（2）若在上恒成立，即在恒成立，
①即时，，，，
故在恒成立，
②即时，即为在恒成立，
即，只需求出的最大值即可，，
，令，解得：，令，解得：，
故在单调递增，在，单调递减，
故，
故，．
故答案为：1，，．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知在的展开式中第5项为常数项.
（1）求的值；
（2）求展开式中含有项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项.
【答案】（1）；（2）；（3），，
【解析】（1）展开式的通项公式为.
因为第5项为常数项.
所以时，有，解得.
（2）令，由（1），解，
故所求系数为
（3）有题意得，，
令，则
所以可取，即可取1，4，7
它们分别为，，.
18.假定某射手每次射击命中目标的概率为.现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为.
（1）求的概率分布；
（2）分别求均值和方差.
【答案】（1）见解析；（2），.
【解析】（1）由题意得的所有可能取值为1，2，3，
，，，
所以的概率分布为：
1
2
3
（2）由题意均值；
方差.
19.函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）设，，求函数的值域；
（2）当时，若，求实数的值．
【答案】（1）；（2），或，或.
【解析】（1）设时，则，
因为是定义在上的奇函数，且时，，
所以，即，
因为，
所以
所以当时，得关于直线对称，在上递增，在上递减，
所以，得，
当时，由奇函数关于原点对称，得．
所以的值域为；
（2）由（1）知，，
所以时，，
i）当时，令，解得或；
ii）当时，令，解得或（舍去）
综上：或或
20.如图，在五面体中，四边形是正方形，，，.
(1)证明：平面⊥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）证明：因为，，
，平面，且，
所以平面，又平面，
故平面平面.
（2）解：由已知平面，
平面，所以平面.
又平面平面，故.
所以四边形为等腰梯形.
又，所以，得，令，
如图，以为原点，以的方向为轴正方向，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
由所以
取，则，，得，
.
设直线与平面所成的角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21.根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围．为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：
得分
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
男性人数
4
9
12
13
11
6
3
女性人数
1
2
2
21
10
4
2
（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？
不太了解
比较了解
合计
男性
女性
合计
（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为，求的概率分布和数学期望．
附：，．
临界值表：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）由题意得列联表如下：
不太了解
比较了解
合计
男性
25
33
58
女性
5
37
42
合计
30
70
100
的观测值
因为11.29>10.828，
所以有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关．
(2)由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为，
，，，
即的概率分布如下
0
1
2
3
所以．
22.设函数.
（1）当时，，求实数的取值范围；
（2）求证：存正实数，使得总成立.
【答案】（1）；（2）证明见详解.
【解析】（1），，
即，，
令，，则，
，
时，，
时，，
故在上递减；在上递增，
因此，，
所以实数的取值范围为.
（2）取，则，
令，，则在上单调递增.
又，故时，，即；
当时，，即.
①时，，令，，，
故在递增，因此，
所以时，，即.
②时，，即.
③，由（1）可知，，
则在递增，因此，即.
因此，时，总成立，即题意得证.
