2020-2021学年高二数学下学期期末考试冲刺试卷六
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知x，y之间一组数据
则与之间的线性回归方程必过点（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以与之间的线性回归方程必过点.故选：D.
2.已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虛部为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】复数满足，
则，
即复数的虛部为，故选：A.
3.函数的零点所在的大致区间是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为函数在上单调递增，
且，，
所以函数的零点所在的大致区间为.
故选：A.
4.年月日，国家药品监督管理局附条件批准国药集团中国生物北京生物制品研究所有限责任公司的新型冠状病毒灭活疫苗(细胞)注册申请.该疫苗是首家获批的国产新冠病毒灭活疫苗，适用于预防由新型冠状病毒感染引起的疾病().年月日，北京市人民政府新闻办公室召开疫情防控第场例行新闻发布会，表示不在岁接种年龄段范围的人员，需要等待进一步临床试验数据.近日专家对该年龄内和该年龄段外的人进行了临床试验，得到如下列联表：
能接种
不能接种
总计
岁内
岁外
总计
附：，其中；
参照附表，得到正确结论是（
）
A.
在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段无关”
B.
在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段有关”
C.
有以上的把握认为“能接种与年龄段无关”
D.
有以上的把握认为“能接种与年龄段有关”
【答案】D
【解析】由列联表可得
由
所以在犯错误概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段有关”
即有以上的把握认为“能接种与年龄段有关，
故选：D
5.曲线在点处的切线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】记，则
所以曲线在点处的切线斜率为
所以曲线在点处的切线方程为：，
整理得：，
故选：C
6.已知函数若，，，则有（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分段函数，时，在上递增，值域为，
时，，故在上递增，值域为，
由知，分段函数在上单调递增.
又，，
∴，∴根据单调性可知.
故选:B．
7.若当时，函数有两个极值点，则实数m的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为函数，则，
若当时，函数有两个极值点，
则在上有两根，即在上有两解，
令，则，
当时，，则在上递增，
当时，，则在上递减，
所以函数在处取得最小值，即，故.
故选：A.
8.下列命题错误的是（
）
A.
两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B.
设，且，则
C.
在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高
D.
已知变量x和y满足关系，变量y与z正相关，则x与z负相关
【答案】B
【解析】对于A，根据相关系数的意义知，A正确
对于B，由，知，概率密度函数的图象关于对称
故，
所以，故B错误
对于C，根据残差图的意义，C正确
对于D，变量x和y满足关系，所以和负相关，因为y与z正相关，所以x与z负相关，故D正确，
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.关于排列组合数，下列结论正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】根据组合数的性质或组合数的计算公式，可知A，B选项正确；
，而，故C选项错误；
，
故D选项正确；故选：ABD.
10.对于函数，下列判断正确的是（
）
A.
B.
当时，方程有唯一实数解
C.
函数的值域为
D.
，
【答案】ABD
【解析】，故为奇函数，对于A，令，即，正确，故A正确；
当时，，
在上单调递增，
又，，且是奇函数，
的值域为．
的单调增区间为．
故B正确，C错误，
∵的单调增区间为，故，正确．D正确；
故选：ABD．
11.有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（
）
A.
分给甲?乙?丙三人，每人各2本，有90种分法；
B.
分给甲?乙?丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；
C.
分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；
D.
分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；
【答案】ABC
【解析】对，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；
对，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲?乙?丙三人，所以不同的分配方法有种，故正确；
对，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；
对，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；
再分给甲乙丙丁四人，
所以不同的分配方法有种，故错误,故选：.
12.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（
）
A.
当时，
B.
函数有3个零点
C.
的解集为
D.
，都有
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，，则由题意得，
∵
函数是奇函数，
∴
，且时，，A错；
∴，
对于B，当时，由得，
当时，由得，
∴
函数有3个零点，B对；
对于C，当时，由得，
当时，由得，
∴
的解集为，C对；
对于D，当时，由得，
由得，由得，
∴
函数在上单调递减，在上单调递增，
∴函数在上有最小值，且，
又∵
当时，时，函数在上只有一个零点，
∴当时，函数的值域为，
由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为，
∴
对，都有，D对；故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若复数满足，则____________.
【答案】
【解析】设，，
因为
所以
即
所以解得，即，
故答案为：
14.若是上的偶函数，当时，，则在处的切线方程是________________________．
【答案】
【解析】由是上的偶函数，
当x＜0时，,f（x）＝f（﹣x）＝，
则，可得，f（﹣1）＝0，
故在处的切线方程为y﹣0＝﹣（x+1），即x+y+1＝0，故答案为：．
15.
已知，则________；=__________.
【答案】
(1).
1
(2).
18
【解析】因为，
令，得到.
设，
，
令，得到，
所以，
故答案为：；
16.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”、如果函数与的“新驻点”分别为，那么和的大小关系是__________．
【答案】
【解析】因为，，
所以根据题意得：，，
所以，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
由于，，
所以在上有零点，即
故.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知复数，其中a是实数.
（1）若在复平面内表示复数的点位于第二象限，求a的取值范围；
（2）若是纯虚数，a是正实数.求a；
【答案】（1）；（2）2
【解析】（1）由题可得：，
因为复数的点位于第二象限，
所以，解得
a的取值范围为：.
（2）依题意得：
因为是纯虚数，则：，
即，
又因为是正实数，则.
18.已知的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求的值；
（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值；
（3）求展开项中最大的系数．
【答案】（1）8；（2）1或2；（3）7．
【解析】（1）根据题意，，，成等差数列，
所以，即，或(舍去).
（2）当时，即显然成立；
当时，由二项式的单调性和对称性得：.
（3）设第项的系数最大，
则，解得或，
所以展开项中系数最大为.
19.在四棱锥中，四边形为平行四边形，为边长为2的等边三角形，且，，分别为，的中点，线段与直线，都垂直．
（1）证明：平面平面；
（2）记的中点为，试求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：为正三角形，为的中点，则．
又且，所以平面
．
而平面，所以平面平面．
（2）解：连接．
在中，由知．
又，故为等腰三角形，则可得．
所以平面，故．
以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，所以，，
则，取，则，，
所以平面的一个法向量为，
所以，所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
20.一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等.某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗，并率先开展了新冠疫苗Ⅰ期和Ⅱ期临床试验.Ⅰ期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案（0.5ml/次剂量组（低剂量）与1ml/次剂量组（中剂量）），临床试验免疫结果对比如下：
接种成功
接种不成功
总计（人）
0.5ml/次剂量组
28
8
36
1ml/次剂量组
33
3
36
总计（人）
61
11
72
（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断是否有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关？
（2）若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取1名试验者，以表示这2人中接种成功的人数，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中
附表：
0.40
0.25
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
0.001
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【解析】（1）0.5ml/次剂量组（低剂量）接种成功的概率为
1ml/次剂量组（中剂量）接种成功的概率为
∵
∴1ml/次剂量组（中剂量）接种效果好
由列联表得
.
没有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关.
（2）得可能取值为0，1，2
得分布均为
0
1
2
21.已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；
（3）是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是R上的增函数，证明见解析；；（3）存在；实数k的取值范围是.
【解析】（1）是定义在R上的奇函数，
，从而得出，
时，，
；
（2）是R上的增函数，证明如下：
设任意，且，
，
，，，，
，
是在上是单调增函数.
，
又是定义在R上的奇函数且在上单调递增，
，
，；
（3）假设存在实数k，使之满足题意，
由（2）可得函数在上单调递增，
，
，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，
令，即方程有两个不等的正根，
于是有且且，
解得：.
存在实数k，使得函数在上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.
22.已知函数，，为的导函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，当时，求证:有两个零点.
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）
①当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，令，得，，
i）当时，，所以在上单调递增；
ii）当时，令，得或；令，得，
所以在和单调递增，在单调递减；
iii）当时，令，得或；令，得，
所以在和单调递增，在单调递减；
综上：①当时，在上单调递增；在单调递减；
②i）当时，在上单调递增；
ii）当时，在和单调递增，在单调递减；
iii）当时，在和单调递增，在单调递减；
（2）当时，在与单调递增，在单调递减，
所以在与单调递增，在单调递减，
因为，所以是函数的一个零点，且，
当时，取且，
则，
所以，所以在恰有一个零点，
所以在区间有两个零点.2020-2021学年高二数学下学期期末考试冲刺试卷六
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知x，y之间一组数据
则与之间的线性回归方程必过点（
）
A.
B.
C.
D.
2.已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虛部为（
）
A.
B.
C.
D.
3.函数的零点所在的大致区间是（
）
A.
B.
C.
D.
4.年月日，国家药品监督管理局附条件批准国药集团中国生物北京生物制品研究所有限责任公司的新型冠状病毒灭活疫苗(细胞)注册申请.该疫苗是首家获批的国产新冠病毒灭活疫苗，适用于预防由新型冠状病毒感染引起的疾病().年月日，北京市人民政府新闻办公室召开疫情防控第场例行新闻发布会，表示不在岁接种年龄段范围的人员，需要等待进一步临床试验数据.近日专家对该年龄内和该年龄段外的人进行了临床试验，得到如下列联表：
能接种
不能接种
总计
岁内
岁外
总计
附：，其中；
参照附表，得到正确结论是（
）
A.
在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段无关”
B.
在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段有关”
C.
有以上的把握认为“能接种与年龄段无关”
D.
有以上的把握认为“能接种与年龄段有关”
5.曲线在点处的切线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.已知函数若，，，则有（
）
A.
B.
C.
D.
7.若当时，函数有两个极值点，则实数m的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
8.下列命题错误的是（
）
A.
两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B.
设，且，则
C.
在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高
D.
已知变量x和y满足关系，变量y与z正相关，则x与z负相关
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.关于排列组合数，下列结论正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
10.对于函数，下列判断正确的是（
）
A.
B.
当时，方程有唯一实数解
C.
函数的值域为
D.
，
11.有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（
）
A.
分给甲?乙?丙三人，每人各2本，有90种分法；
B.
分给甲?乙?丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；
C.
分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；
D.
分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；
12.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（
）
A.
当时，
B.
函数有3个零点
C.
的解集为
D.
，都有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若复数满足，则____________.
14.若是上的偶函数，当时，，则在处的切线方程是________________________．
15.
已知，则________；=__________.
16.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”、如果函数与的“新驻点”分别为，那么和的大小关系是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知复数，其中a是实数.
（1）若在复平面内表示复数的点位于第二象限，求a的取值范围；
（2）若是纯虚数，a是正实数.求a；
18.已知的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求的值；
（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值；
（3）求展开项中最大的系数．
19.在四棱锥中，四边形为平行四边形，为边长为2的等边三角形，且，，分别为，的中点，线段与直线，都垂直．
（1）证明：平面平面；
（2）记的中点为，试求直线与平面所成角的正弦值．
20.一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等.某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗，并率先开展了新冠疫苗Ⅰ期和Ⅱ期临床试验.Ⅰ期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案（0.5ml/次剂量组（低剂量）与1ml/次剂量组（中剂量）），临床试验免疫结果对比如下：
接种成功
接种不成功
总计（人）
0.5ml/次剂量组
28
8
36
1ml/次剂量组
33
3
36
总计（人）
61
11
72
（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断是否有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关？
（2）若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取1名试验者，以表示这2人中接种成功的人数，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中
附表：
0.40
0.25
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
0.001
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
21.已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；
（3）是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.
22.已知函数，，为的导函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，当时，求证:有两个零点.
