2020-2021学年高二数学下学期期末考试冲刺试卷五
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在复平面内，复数在复平面内对应的点分别为，则复数的共轭复数的虚部为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题知，，
所以，
其共轭复数为，故虚部为.
故选:B.
2.设随机变量的分布列如下：
0
1
2
则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题知：，解得.
，
,
故选：B
3.函数的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，且，故函数为上的偶函数，其图象关于轴对称，可排除BC；
，因为，所以，可排除D，只有A选项符合题意.
故选：A.
4.已知，则下列不等式一定成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以，
，
当时，，
由指数函数和幂函数的单调性得，故选：C
5.若，则（
）
A.
1
B.
C.
2
D.
【答案】D
【解析】由，
令得；令得，
．故选：D．
6.已知函数在上单调递减，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由于函数在上单调递减，在定义域内是增函数，
所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：
在上单调递减，且，
所以且，解得：.
故的取值范围是,
故选：C.
7.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（
）
A．60种
B．78种
C．84种
D．144种
【答案】B
【解析】由题意可知，三年修完四门]课程，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，1，3或0，2，2．
①若是1，1，2，则先将4门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有＝36种；
②若是0，1，3，则先将4门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共种＝24种；
③若是0，2，2，则先将4门学科分成三组种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有＝18种．所以每位同学的不同选修方式有36＋24＋18＝78种；故选：B．
8.已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】令，因为，
所以
因此解集为
，故选:A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.若复数，其中为虚数单位，则下列结论不正确的是（
）
A．的虚部为
B．
C．的共轭复数为
D．为纯虚数
【答案】ABC
【分析】
根据复数的除法运算，求得，再结合复数的基本概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，复数，
可得的虚部为，所以错误；
由，所以错误；
由共轭复数的概念，可得，所以错误；
由，可得为纯虚数，所以正确，
故选：ABC
10.若，且，则下列结论正确的是（
）
A.
B.
展开式中二项式系数和为
C.
展开式中所有项系数和为
D.
【答案】ACD
【解析】对于A，令，可得，
即，
即，①
令，得，即，②
由于的展开式中，所以，③
所以①-②-③得：，
而，
所以，解得：，故A正确；
对于B，由于，则，
所以展开式中二项式系数和为，故B错误；
对于C，由于，则的所有项系数为
，故C正确；
对于D，由于，则，
等式两边求导得：，
令，则，故D正确.
故选：ACD.
11.一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（
）
A.
取出的最大号码X服从超几何分布
B.
取出的黑球个数Y服从超几何分布
C.
取出2个白球的概率为
D.
若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
【答案】BD
【解析】一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，
对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，
也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，
由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误；
对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，
由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故正确；
对于，取出2个白球的概率为，故错误；
对于，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，
则取出四个黑球的总得分最大，
总得分最大的概率为，故正确．
故选：BD．
12.设函数，若实数，，满足，且则下列结论恒成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】由题意，实数，，满足，且，
结合图象，可得，即，且，
可得和恒成立，即A、B恒成立；
又由，所以，所以C恒成立；
又由，当时，的符号不能确定，
所以D不恒成立，
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.设随机变量～，则_________.
【答案】
【解析】由于符合超几何分布，所以.
故答案为：
14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为________．
【答案】4
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，
所以，所以，
所以,故答案为：4.
15.定义：在中，把，，，…，叫做三项式的次系数列（例如三项式的1次系数列是1，-1，-1）．按照上面的定义，三项式的5次系数列各项之和为______，______．
【答案】
【解析】令，可得的5次系数数列的各项之和为，
又由的通项公式为，
且的通项公式为，
令，可得，
所以,
故答案为：，.
16.若不等式对任意的都成立，则实数k的取值范围是____________
【答案】
【解析】因为对任意的都成立，
即：
对任意的都成立，
即，解得：，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.有四个编有的四个不同的盒子，有编有的四个不同的小球，现把小球放入盒子里.
（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法；
（2）恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法；
（3）恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法.
【答案】（1）256，（2）144，（3）84
【解析】（1）小球全部放入盒子中有种不同的放法；
（2）恰有一个盒子没球有种不同的放法；
（2）恰有两个盒子没放球有种不同的放法
18.已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
（1）的值；
（2）展开式中的系数；
（3）含的整数次幂的项的个数．
【答案】（1）；（2）；（3）6
【解析】二项展开式的通项为
．
（1）因为第9项为常数项，
即当时，，
即，解得．
（2）令，得，
所以的系数为．
（3）要使，即为整数，只需为偶数，由于，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，1
12．
19.已知函数在区间上有最大值4和最小值1．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，对任意的都成立；求m的取值范围；
(3)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；(2)
；(3)
；
【解析】(1)
∵，∴在上单调递增,
(2)由(1)得：，当时，
又∵存在，对任意的都成立，
∴对任意的都成立
即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数，
即，解得：
（3）
令则
,因为不等式在区间上有解
，又
而
,即实数的取值范围是
20.一副标准的三角板如图1中，为直角，，为直角，，且，把与重合，拼成一个三棱锥，如图2.设是的中点，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）在图2中，若，二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）证明：设中点为，连结，.
∵是的中点，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，是的中点，
∴，
又，，平面，平面，
∴平面.
（2）由（1）可知：，，
∴为二面角的平面角
又二面角为直二面角
∴
以，，分别为，，，如图建立空间直角坐标系.
∵，则，，
由，，则
又，，，则，
设为平面的一个法向量，则，即
即令，则
∴为平面的一个法向量
设直线与平面所成的角为
所以直线与平面所成的角的正弦值为
21.华为手机的“麒麟970”芯片在华为处理器排行榜中最高主频2.4GHz，同时它的线程结构也做了很大的改善，整个性能及效率至少提升了50%，科研人员曾就是否需采用西门子制程这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片芯片进行研究，结果发现使用了该工艺的30片芯片有28片线程结构有很大的改善，没有使用该工艺的20片芯片中有12片线程结构有很大的改善.
（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善与使用西门子制程这一工艺标准有关？
（2）在“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善后，接下来的生产制作还需对芯片的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为，每个环节出错需要修复的费用均为200元，第四环节生产正常的概率为，此环节出错需要修复的费用为100元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）
参考公式：，.
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握；（2）225元.
【解析】（1）由题意列联表为：
使用工艺
不使用工艺
合计
合格
28
12
40
不合格
2
8
10
合计
30
20
50
故，
故有99.5%的把握认为“麒麟970”芯片的线性结构有很大的改善与使用西门子制程这一工艺技术有关.
（2）设表示检测到第i个环节有问题（，2，3，4），X表示成为一个合格的多晶的晶圆需消耗的费用，则X的可能取值为：0，100，200，300，400，500，600，700，
表明四个环节均正常，
表明第四环节有问题，
表明前三环节有一环节有问题，
表明前三环节有一环节及第四环节有问题，
表明前三环节有两环节有问题，
表明前三环节有两环节及第四环节有问题，
表明前三环节有问题
表明四个环节均有问题.
费用X分布列为：
X
0
100
200
300
400
500
600
700
P
故
（元），
故大约需要耗费225元.
22.已知函数.
（1）当函数在处的切线斜率为时，求的单调减区间；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）单调减区间为和；（2）.
【解析】（1）定义域为.
因为.
所以在处的切线斜率为，
解得：，
所以，.
令可得：或，
单调减区间为和；
（2）由题对任意恒成立，
等价于对任意恒成立，
设，则对任意恒成立，
则，，
所以在单调递增，又，
若，则，所以恒成立，所以在单调递增，
又，所以恒成立，符合题意.
若，,使得，则在递减，
又，所以不符合题意，舍去.
综上所述，.2020-2021学年高二数学下学期期末考试冲刺试卷五
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在复平面内，复数在复平面内对应的点分别为，则复数的共轭复数的虚部为（
）
A.
B.
C.
D.
2.设随机变量的分布列如下：
0
1
2
则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
3.函数的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
4.已知，则下列不等式一定成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
5.若，则（
）
A.
1
B.
C.
2
D.
6.已知函数在上单调递减，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
7.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（
）
A．60种
B．78种
C．84种
D．144种
8.已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.若复数，其中为虚数单位，则下列结论不正确的是（
）
A．的虚部为
B．
C．的共轭复数为
D．为纯虚数
10.若，且，则下列结论正确的是（
）
A.
B.
展开式中二项式系数和为
C.
展开式中所有项系数和为
D.
11.一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（
）
A.
取出的最大号码X服从超几何分布
B.
取出的黑球个数Y服从超几何分布
C.
取出2个白球的概率为
D.
若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
12.设函数，若实数，，满足，且则下列结论恒成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.设随机变量～，则_________.
14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为________．
15.定义：在中，把，，，…，叫做三项式的次系数列（例如三项式的1次系数列是1，-1，-1）．按照上面的定义，三项式的5次系数列各项之和为______，______．
16.若不等式对任意的都成立，则实数k的取值范围是____________
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.有四个编有的四个不同的盒子，有编有的四个不同的小球，现把小球放入盒子里.
（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法；
（2）恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法；
（3）恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法.
18.已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
（1）的值；
（2）展开式中的系数；
（3）含的整数次幂的项的个数．
19.已知函数在区间上有最大值4和最小值1．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，对任意的都成立；求m的取值范围；
(3)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围．
20.一副标准的三角板如图1中，为直角，，为直角，，且，把与重合，拼成一个三棱锥，如图2.设是的中点，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）在图2中，若，二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.
21.华为手机的“麒麟970”芯片在华为处理器排行榜中最高主频2.4GHz，同时它的线程结构也做了很大的改善，整个性能及效率至少提升了50%，科研人员曾就是否需采用西门子制程这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片芯片进行研究，结果发现使用了该工艺的30片芯片有28片线程结构有很大的改善，没有使用该工艺的20片芯片中有12片线程结构有很大的改善.
（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善与使用西门子制程这一工艺标准有关？
（2）在“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善后，接下来的生产制作还需对芯片的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为，每个环节出错需要修复的费用均为200元，第四环节生产正常的概率为，此环节出错需要修复的费用为100元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）
参考公式：，.
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22.已知函数.
（1）当函数在处的切线斜率为时，求的单调减区间；
（2）当时，，求的取值范围.
