2020-2021学年高二数学下学期期末考试冲刺试卷七
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数（i为虚数单位），则z等于（
）
A.
B.
C.
D.
2.已知，，，则，，的大小顺序是（
）
A.
B.
C.
D.
3.2020年6月25日是中国的传统佳节“端午节”，这天人们会悬菖蒲，吃粽子，赛龙舟，喝雄黄酒．现有7个粽子，其中三个是腊肉馅，四个是豆沙馅，小明随机取两个，事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个都是豆沙馅”，则（
）
A.
B.
C.
D.
4.若，则（
）
A.
1
B.
C.
2
D.
5.函数在上的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
6.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（
）
A．60种
B．78种
C．84种
D．144种
7.已知随机变量的分布列是（
）
0
则下列说法正确的是（
）
A．对任意的，，
B．存在，，使得
C．对任意的，，
D．存在，，使得
8.对于函数与，若存在，使，则称，是函数与图象的一对“隐对称点”.已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（
）
附表：
0.050
0.010
3.841
6.635
附：
A．
B．
C．
D．
10.已知复数的实部为，则下列说法正确的是（
）
A．复数的虚部为
B．复数的共轭复数
C．
D．在复平面内对应的点位于第三象限
11.对于函数，下列说法正确的是（
）
A.
在处取得极大值
B.
有两个不同的零点
C.
D.
若在上恒成立，则
12.已知，分别从集合，中各随机取一个数，，得到平面上一个点，事件“点恰好落在直线上”对应的随机变量为，，的数学期望和方差分别为，，则（
）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知幂函数的图象过点，则______.
14.已知函数，，则的单调递增区间为______.
15.在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为______________
16.定义：在中，把，，，…，叫做三项式的次系数列（例如三项式的1次系数列是1，-1，-1）．按照上面的定义，三四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.有四个编有的四个不同的盒子，有编有的四个不同的小球，现把小球放入盒子里.
（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法；
（2）恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法；
（3）恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法.
18.已知函数在上有极值2．
（1）求实数的值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
19.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
（2）表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望.
（注：若三个数满足，则称为这三个数的中位数）.
20.如图，在四棱柱中，底面是边长为2的正方形，，棱⊥底面，，分别为线段和的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
21.为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加年月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近个月参与竞拍的人数(见下表)∶
月份
月份编号
竞拍人数（万人）
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测年月份参与竞拍的人数.
（2）某市场调研机构对位拟参加年月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：
报价区间（万元）
频数
（i）求这位竞拍人员报价平均值和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；
（ii）假设所有参与竞价人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由（i）中所求的样本平均数及估值.若年月份实际发放车牌数量为，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.
参考公式及数据：①回归方程，其中，；②，，；③若随机变量服从正态分布，则，，.
22.已知函数，.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调区间；
（3）若不等式对任意成立，求实数的取值范围.2020-2021学年高二数学下学期期末考试冲刺试卷七
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数（i为虚数单位），则z等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由，得.故选：C.
2.已知，，，则，，的大小顺序是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为，，
，
所以,
故选：D
3.2020年6月25日是中国的传统佳节“端午节”，这天人们会悬菖蒲，吃粽子，赛龙舟，喝雄黄酒．现有7个粽子，其中三个是腊肉馅，四个是豆沙馅，小明随机取两个，事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个都是豆沙馅”，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】．
故选：B
4.若，则（
）
A.
1
B.
C.
2
D.
【答案】D
【解析】由，
令得；令得，
．故选：D．
5.函数在上的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
且在上单调递增，又
所以在有唯一零点．
当
单调递减；
当单调递增．
又，
所以函数在上的最大值为．
故选：D
6.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（
）
A．60种
B．78种
C．84种
D．144种
【答案】B
【解析】由题意可知，三年修完四门]课程，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，1，3或0，2，2．
①若是1，1，2，则先将4门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有＝36种；
②若是0，1，3，则先将4门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共种＝24种；
③若是0，2，2，则先将4门学科分成三组种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有＝18种．所以每位同学的不同选修方式有36＋24＋18＝78种；故选：B．
7.已知随机变量的分布列是（
）
0
则下列说法正确的是（
）
A．对任意的，，
B．存在，，使得
C．对任意的，，
D．存在，，使得
【答案】C
【解析】由题意可知，，，所以，所以，故选项A，B错误．
由方差的计算公式得，所以．因为，所以，，所以，，故选项C正确，选项D错误．
故选：C
8.对于函数与，若存在，使，则称，是函数与图象的一对“隐对称点”.已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意函数与的图象有两个交点，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又恒过点，当时，，
在同一坐标系中作出函数、的图象，如图，
由图象可知，若函数与的图象有两个交点，则，
当直线为函数图象的切线时，由可得,
即.
故选:A。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（
）
附表：
0.050
0.010
3.841
6.635
附：
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】设男生的人数为，根据题意列出列联表如下表所示：
男生
女生
合计
喜欢抖音
不喜欢抖音
合计
则，
由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则，
即，得，
，则的可能取值有、、、，
因此，调查人数中男生人数的可能值为或,
故选:BC.
10.已知复数的实部为，则下列说法正确的是（
）
A．复数的虚部为
B．复数的共轭复数
C．
D．在复平面内对应的点位于第三象限
【答案】ACD
【解析】，
因为复数的实部是-1，所以，解得：，
所以，
A.复数
的虚部是-5，正确；B.复数的共轭复数，不正确；
C.，正确；D.在复平面内对应的点是，位于第三象限，正确.
故选:ACD。
11.对于函数，下列说法正确的是（
）
A.
在处取得极大值
B.
有两个不同的零点
C.
D.
若在上恒成立，则
【答案】ACD
【解析】由已知，，令得，令得，故
在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为，
A正确；
又令得，即，当只有1个零点，B不正确；
，所以，故C正确；
若在上恒成立，即在上恒成立，设，
，令得，令得，故
在上单调递增，在单调递减，所以，，
故D正确.
故选：ACD
12.已知，分别从集合，中各随机取一个数，，得到平面上一个点，事件“点恰好落在直线上”对应的随机变量为，，的数学期望和方差分别为，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】因为，点恰好落在直线上，所以X的值可以为2，3，4，5，6；
而从A、B中分别任取1个数，共有9种情况，
所以，，，，，对于A：，故A不正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知幂函数的图象过点，则______.
【答案】1.5
【解析】因为函数是幂函数，
所以，
又因为幂函数的图象过点，
所以，
所以
所以，
故答案为：1.5
14.已知函数，，则的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】，
所以，
令，即，所以，故的单调递增区间为，
故答案为：
15.在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为______________
【答案】0.32
【解析】服从正态分布
曲线的对称轴是直线，
在内取值的概率为0.6，
在内取值的概率为0.3，
在内取值的概率为．
现任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率,
故答案为：0.32
16.定义：在中，把，，，…，叫做三项式的次系数列（例如三项式的1次系数列是1，-1，-1）．按照上面的定义，三项式的5次系数列各项之和为______，______．
【答案】
(1).
(2).
【解析】令，可得的5次系数数列的各项之和为，
又由的通项公式为，
且的通项公式为，
令，可得，
所以.
故答案为：，.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.有四个编有的四个不同的盒子，有编有的四个不同的小球，现把小球放入盒子里.
（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法；
（2）恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法；
（3）恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法.
【答案】（1）256，（2）144，（3）84
【解析】（1）小球全部放入盒子中有种不同的放法；
（2）恰有一个盒子没球有种不同的放法；
（2）恰有两个盒子没放球有种不同的放法
18.已知函数在上有极值2．
（1）求实数的值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得．
令，得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
∴，故．
（2）．
由，得，
即恒成立，所以最大值．
令，则，
由，得．
故在上单调递增，在上单调递减．
所以，
故，所以．
19.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
（2）表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望.
（注：若三个数满足，则称为这三个数的中位数）.
【答案】（1）（2）.
【解析】（1）
（2）的所有可能值为1，2，3，且
故的分布列为
1
2
3
从而
20.如图，在四棱柱中，底面是边长为2的正方形，，棱⊥底面，，分别为线段和的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：由题意，，两两垂直，如图，以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，以的方向为轴的正方向，以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
故，，，，，
所以，，
所以，故.
（2）由（1）知，，，
设为平面的一个法向量，则有即
可取，
设为平面的一个法向量，则有即
可取，
所以.
所以二面角的余弦值为
21.为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加年月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近个月参与竞拍的人数(见下表)∶
月份
月份编号
竞拍人数（万人）
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测年月份参与竞拍的人数.
（2）某市场调研机构对位拟参加年月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：
报价区间（万元）
频数
（i）求这位竞拍人员报价平均值和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；
（ii）假设所有参与竞价人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由（i）中所求的样本平均数及估值.若年月份实际发放车牌数量为，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.
参考公式及数据：①回归方程，其中，；②，，；③若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】（1），估计为2万人；（2）（i）；；（ii）可预测2020年11月份竞拍的最低成交价为4.8万.
【解析】（1）易知，，
，
，
则关于的线性回归方程为，
当时，，即2020年11月份参与竞拍的人数估计为2万人；
（2）（i）依题意可得这人报价的平均值和样本方差分别为：
，
；
（ii）2020年11月份实际发放车牌数量为3174，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为，
根据假设，报价可视为服从正态分布，
且，，
又，，
可预测2020年11月份竞拍的最低成交价为4.8万..
22.已知函数，.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调区间；
（3）若不等式对任意成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）当时，的增区间为；
当时，的增区间为，；
减区间为;
(3).
【解析】（1）
∴
∴切线的方程为
（2）
①当即时，在恒成立，
即在恒成立，则的增区间为
②当且即时，
令，得或
令，得
∴的增区间为，；
减区间为
③当且即时，在恒成立，
即在恒成立，
∴在上单调递增
综上：当时，的增区间为；
当时，的增区间为，；
减区间为
（3）
令，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，有极小值也是最小值
∴，即
∴
（令，则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减
当时，有极大值也是最大值
∴，即
∴，即，即）
∵
当且仅当取等号，
∴，
∴
