2020-2021学年高二数学下学期期末考试冲刺试卷八
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若函数，则（
）
A.
2
B.
1
C.
-1
D.
0
2.如果在一次实验中，测得(x，y)的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5，6.7)，则y对x的线性回归方程是（
）
A.
B.
C.
D.
3.已知随机变量，若，则（
）
A
0.2
B.
0.3
C.
0.5
D.
0.7
4.已知函数为自然对数的底数，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
5.
展开式中的系数为（
）
A.
15
B.
20
C.
35
D.
55
6.函数的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
7.在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（
）
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（
）．
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知复数的实部为，则下列说法正确的是（
）
A．复数的虚部为
B．复数的共轭复数
C．
D．在复平面内对应的点位于第三象限
10.已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量服从正态分布，则）（
）
A.
该校学生成绩的期望为
B.
该校学生成绩的标准差为
C.
该校学生成绩的标准差为
D.
该校学生成绩及格率超过
11.如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（
）
A.
1个极大值点，2个极小值点
B.
2个零点
C
0个零点
D.
2个极小值点，无极大值点
12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（
）
A.
函数有3个不动点
B.
函数至多有两个不动点
C.
若定义在R上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D.
若函数在区间上存在不动点，则实数a满足（e为自然对数的底数）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作.若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为________.
14.已知函数，且，则_________．
15.已知二项式展开式中各项系数和为243，则的展开式中含项的系数为________．
16.已知变量，，且，若恒成立，则的最大值为____________
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知复数，，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是关于的方程的一个根，求实数与的值.
18.已知是定义在上的奇函数，且当时，，.
（1）若函数恰有三个不相同的零点，求实数的值；
（2）记为函数的所有零点之和.当时，求的取值范围.
19.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，根据结果绘制的观众日收看该体育节目时间频率分布表：
时间
[0,10）
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60]
频率
0.1
0.18
0.22
0.25
0.20
0.05
将日收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
（1）根据已知条件完成下面的列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从该地区大量电视观众中，采取随机抽样的方法每次抽取一名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取结果是相互独立的.
求X的分布列、期望和方差.
附：
0.150
0.100
0.
050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
20.如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.
21.某校高三年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成.比赛中每人投篮n次，每人每次投篮及相互之间投篮都是相互独立的.已知女生投篮命中的概率均为.男生投篮命中的概率均为.
（1）当时，求小组共投中4次的概率；
（2）当时，若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X表示小组总分，求随机变量X的分布列及数学期望.
22.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.2020-2021学年高二数学下学期期末考试冲刺试卷八
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若函数，则（
）
A.
2
B.
1
C.
-1
D.
0
【答案】D
【解析】由，
则,
故选：D
2.如果在一次实验中，测得(x，y)的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5，6.7)，则y对x的线性回归方程是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】根据四组数据，可得，
所以，，
所以，
所以，
所以回归直线方程为：.
故选：D
3.已知随机变量，若，则（
）
A
0.2
B.
0.3
C.
0.5
D.
0.7
【答案】A
【解析】随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为
,
故选：A
4.已知函数为自然对数的底数，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为.
所以，
又函数在R上单调递减，
所以，故选：D.
5.
展开式中的系数为（
）
A.
15
B.
20
C.
35
D.
55
【答案】D
【解析】，展开式通项，
展开式中的系数为,展开式中的系数为,
则，故选:D.
6.函数的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
，则是奇函数，图象关于原点对称，排除，
当时，，
当时，令，，当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递减，所以时函数取得极小值，即最小值，，所以恒成立；
则此时恒成立，排除，故选：．
7.在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
故选:D．
8.已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】作出函数的图象,见下图.
若与相切,求导得,设切点为,则,切线斜率为,即切线方程为:,该切线过原点,则,解得,此时,显然与的图象只有一个交点,即方程只有一个实根;
若,直线与的图象在时无交点,在时有2个交点,符合题意;
若,直线与的图象在时有1个交点,在时有2个交点,不符合题意;
若,直线与的图象在时有1个交点,在时无交点,不符合题意;
若,,直线与的图象至多有一个交点,不符合题意.
所以只有符合题意.故选:B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知复数的实部为，则下列说法正确的是（
）
A．复数的虚部为
B．复数的共轭复数
C．
D．在复平面内对应的点位于第三象限
【答案】ACD
【解析】，
因为复数的实部是-1，所以，解得：，
所以，
A.复数
的虚部是-5，正确；B.复数的共轭复数，不正确；
C.，正确；D.在复平面内对应的点是，位于第三象限，正确.
故选:ACD。
10.已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量服从正态分布，则）（
）
A.
该校学生成绩的期望为
B.
该校学生成绩的标准差为
C.
该校学生成绩的标准差为
D.
该校学生成绩及格率超过
【答案】ABD
【解析】因为该校学生的成绩服从正态分布，则，方差为，标准差为，
，.
所以，该校学生成绩的期望为，该校学生成绩的标准差为，该校学生成绩及格率超过.
所以，ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD.
11.如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（
）
A.
1个极大值点，2个极小值点
B.
2个零点
C
0个零点
D.
2个极小值点，无极大值点
【答案】AC
【解析】
直线与曲线相切于两点，
有两个根，且，
由图象知，则
即，则函数，没有零点，故C正确.
函数有三个极值点，其中一个极大值点，两个极小值点，
设的三个极值点分别为，不妨设，
则，
①当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都小于，
即，，所以在递减，
②当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都大于0，
即，，所以在递增，
③当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都小于，
即，，所以在递减，
④当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都大于0，
即，，所以在递增，
综合①②③④有，有1个极大值点，2个极小值点，故A正确.
故选：AC.
12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（
）
A.
函数有3个不动点
B.
函数至多有两个不动点
C.
若定义在R上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D.
若函数在区间上存在不动点，则实数a满足（e为自然对数的底数）
【答案】BCD
【解析】令，，
因此R上单调递增，而，
所以在R有且仅有一个零点，
即有且仅有一个“不动点”，A错误；
，至多有两个实数根，
所以至多有两个“不动点”，B正确；
为定义在R上的奇函数，所以，函数为定义在R上的奇函数，
显然是的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数，
因此一定有奇数个“不动点”，C正确；
因为在存在“不动点”，则在有解，
即在有解，令，
，令，，，
在单调递减，在单调递增，
∴，
∴在恒成立，∴在单调递增，
，，
∴，D正确，.故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作.若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为________.
【答案】90
【解析】将5名毕业生按分组，则方法有，
分配到3所乡村小学，共有，
所以分配方案的总数为,故答案为：90
14.已知函数，且，则_________．
【答案】
【解析】，
，，
，
故答案为：.
15.已知二项式展开式中各项系数和为243，则的展开式中含项的系数为________．
【答案】30
【解析】因为二项式展开式中各项系数和为243，
所以，即，因此，
因此，
其二项展开式的通项为，
当，即时，，
当，即时，，
因此的展开式中含项的系数为：.
故答案为：
16.已知变量，，且，若恒成立，则的最大值为____________
【答案】
【解析】即化为，
故在上为增函数，，
故的最大值为,
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知复数，，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是关于的方程的一个根，求实数与的值.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由题意，复数，，.
则
又由
因为，所以，即
解得.
所以实数的取值范围为.
（2）因为是方程的一个根，
则也是此方程的一个根，
可得，解得或，且满足，
所以或.
18.已知是定义在上的奇函数，且当时，，.
（1）若函数恰有三个不相同的零点，求实数的值；
（2）记为函数的所有零点之和.当时，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）作出函数的图象，如图，
由图象可知，当且仅当或时，直线与函数的图象有三个不同的交点，
∴当且仅当或时，函数恰有三个不相同的零点.
（2）由的图象可知，当时，有6个不同的零点，设这6个零点从左到右依次为，，，，，，
则，，是方程的解，是方程的解.
∴
当时，，∵
∴当时，的取值范围为.
19.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，根据结果绘制的观众日收看该体育节目时间频率分布表：
时间
[0,10）
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60]
频率
0.1
0.18
0.22
0.25
0.20
0.05
将日收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
（1）根据已知条件完成下面的列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从该地区大量电视观众中，采取随机抽样的方法每次抽取一名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取结果是相互独立的.
求X的分布列、期望和方差.
附：
0.150
0.100
0.
050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）列联表见解析，没有充分理由认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列见解析，，．
【解析】
【分析】
（1）根据已知数据求出体育迷的频率得体育迷人数，然后可依次填写列联表．计算出后可得结论；
（2）的可能值为，
，分别计算出概率，然后可得期望和方差．
【详解】（1）体育迷频率是，人数为，然后可填充列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
，
所以没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．
（2）根据题意抽取一个人为体育的概率为，的可能值分别为，，
，，，，
的分布列如下：
0
1
2
3
，
．
20.如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，为上靠近点的三等分点．
【解析】（1）分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
则，
，，.
不妨设平面的一个法向量,
则有，即，取.
设直线与平面所成的角为，则
,
所以直线与平面所成角正弦值为；
（2）假设线段上存在点，使得二面角的余弦值.
设，则,
从而，，.
设平面的法向量,
则有，即，取.
设平面的法向量,
则有，即，取.
,
解得：或（舍）,
故存在点满足条件，为上靠近点的三等分点．
21.某校高三年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成.比赛中每人投篮n次，每人每次投篮及相互之间投篮都是相互独立的.已知女生投篮命中的概率均为.男生投篮命中的概率均为.
（1）当时，求小组共投中4次的概率；
（2）当时，若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X表示小组总分，求随机变量X的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】（1）①男生投中2次，女生投中2次概率为
②男生投中1次，女生投中3次的概率为
③男生投中0次，女生投中4次的概率为
∴共投中4次的锤子数学概率为.
（2），
∴X的分布列如下
X
30
20
10
-60
P
∴.
22.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为，所以，，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由得.
当时，；当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：要证，只需证，即证即可，
设，.
则，
，所以函数在上单调递增.又，，
故在上存在唯一的零点，即.
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以只需证即可.由，得，
所以.
又，所以只要即可.当时，，
所以与矛盾.
故，故，即得证.
