8.1向量的数量积—2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换同步习题（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 8.1向量的数量积—2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换同步习题（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 22.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-19 00:19:51 | ||
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文档简介
向量的数量积
一、选择题
1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
2．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则·＝( )
A．20 B．－20
C．20 D．－20
3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝，则a与b的夹角θ为( )
A. B.
C. D.
4．[2019·全国卷Ⅰ]已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
5．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．
6．已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影为－2，则a与e的夹角为________．
7．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
三、解答题
8．已知|a|＝4，|b|＝2.
(1)若a与b的夹角为120°，求|3a－4b|；
(2)若|a＋b|＝2，求a与b的夹角θ.
9．已知a·b＝20，|a|＝5，求b在a方向上的正射影的数量．
10．若△ABC外接圆的半径为1，圆心为O,2＋＋＝0且||＝||，则·等于________．
向量的数量积
1．解析：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，
∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，
∴a·b＝0.
即a⊥b.
答案：B
2．解析：·＝||||cos 120°＝5×8×＝－20.
答案：B
3．解析：∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a·b＝7，
∴a·b＝－，∴cos θ＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：B
4．解析：设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝.故选B.
答案：B
5．解析：∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，
∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，
∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，
∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos 90°－2＝0，
∴12λ－2＝0，∴λ＝.
答案：
6．解析：因为a在e方向上的投影为－2，
即|a|cos〈a，e〉＝－2，所以cos〈a，e〉＝＝－，
又〈a，e〉∈[0，π]，所以〈a，e〉＝120°.
答案：120°
7．解析：由题意cos 〈a，b〉＝>0，
即1－2λ>0，得λ<.
∵a，b不能共线，即a≠b，∴λ≠－2.
∴λ∈(－∞，－2)∪.
答案：(－∞，－2)∪
8．解析：(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×＝－4.
又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，
∴|3a－4b|＝4.
(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2a·b＋22＝(2)2，
∴a·b＝－4，∴cos θ＝＝＝－.
又 θ∈[0，π]，∴θ＝.
9．解析：设a，b的夹角为θ，
则b在a方向上的正射影的数量就是|b|cos θ，
因为|a||b|cos θ＝a·b＝20，
所以|b|cos θ＝＝＝4，
即b在a方向上的正射影的数量是4.
10．解析：∵2＋＋＝0，
∴＋＋＋＝0，
∴＋＝0，即＝－.
∴O，B，C共线，BC为圆的直径．∴AB⊥AC.
又||＝||，∴||＝||＝1，||＝2，||＝.
故∠ACB＝.则·＝×2cos ＝3.
答案：3
一、选择题
1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
2．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则·＝( )
A．20 B．－20
C．20 D．－20
3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝，则a与b的夹角θ为( )
A. B.
C. D.
4．[2019·全国卷Ⅰ]已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
5．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．
6．已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影为－2，则a与e的夹角为________．
7．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
三、解答题
8．已知|a|＝4，|b|＝2.
(1)若a与b的夹角为120°，求|3a－4b|；
(2)若|a＋b|＝2，求a与b的夹角θ.
9．已知a·b＝20，|a|＝5，求b在a方向上的正射影的数量．
10．若△ABC外接圆的半径为1，圆心为O,2＋＋＝0且||＝||，则·等于________．
向量的数量积
1．解析：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，
∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，
∴a·b＝0.
即a⊥b.
答案：B
2．解析：·＝||||cos 120°＝5×8×＝－20.
答案：B
3．解析：∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a·b＝7，
∴a·b＝－，∴cos θ＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：B
4．解析：设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝.故选B.
答案：B
5．解析：∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，
∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，
∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，
∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos 90°－2＝0，
∴12λ－2＝0，∴λ＝.
答案：
6．解析：因为a在e方向上的投影为－2，
即|a|cos〈a，e〉＝－2，所以cos〈a，e〉＝＝－，
又〈a，e〉∈[0，π]，所以〈a，e〉＝120°.
答案：120°
7．解析：由题意cos 〈a，b〉＝>0，
即1－2λ>0，得λ<.
∵a，b不能共线，即a≠b，∴λ≠－2.
∴λ∈(－∞，－2)∪.
答案：(－∞，－2)∪
8．解析：(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×＝－4.
又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，
∴|3a－4b|＝4.
(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2a·b＋22＝(2)2，
∴a·b＝－4，∴cos θ＝＝＝－.
又 θ∈[0，π]，∴θ＝.
9．解析：设a，b的夹角为θ，
则b在a方向上的正射影的数量就是|b|cos θ，
因为|a||b|cos θ＝a·b＝20，
所以|b|cos θ＝＝＝4，
即b在a方向上的正射影的数量是4.
10．解析：∵2＋＋＝0，
∴＋＋＋＝0，
∴＋＝0，即＝－.
∴O，B，C共线，BC为圆的直径．∴AB⊥AC.
又||＝||，∴||＝||＝1，||＝2，||＝.
故∠ACB＝.则·＝×2cos ＝3.
答案：3