第七章三角函数 单元测试题2020-2021学年人教B版（2019）必修第三册（Word含解析）

第七章三角函数
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若角α的终边经过点P(－1,3)，则tan α的值为(　　)
A．－ B．－3
C．－ D.
2．sin 4·tan 7的值(　　)
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不大于0
3．若tan＝4，则tan＝(　　)
A. B．－
C．4 D．－4
4．函数y＝4sin的图像的一个对称中心是(　　)
A. B.
C. D.
5．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是(　　)
A. B.
C. D.
6．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像是(　　)
7．已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，则sin(3π＋α)·tan的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
8．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝sin
9．已知cos A＋sin A＝－，A为第四象限角，则tan A等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
10．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图像，只要将y＝f(x)的图像(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
11．若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)对任意实数x都有f(a－x)＝f(b＋x)，那么f的值等于(　　)
A．－A B．A
C．±A D．和a，b有关
12．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像向左平移个单位，若所得图像与原图重合，则ω的值不可能等于(　　)
A．4 B．6
C．8 D．12
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．化简：＝________.
14．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则A＋ω＋φ＝________.
15．函数f(x)＝－2tan x＋m，x∈有零点，则实数m的取值范围是________．
16．给出下列四个命题：①若f(x)＝atan x＋bcos x是偶函数，则a＝0；②当x＝2kπ＋，k∈Z时，y＝cos取得最大值；③函数y＝4cos的图像关于直线x＝－对称；④函数y＝2tan＋1的图像的对称中心为，k∈Z.其中正确的命题是________(填序号)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
18．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos(2x－φ)(0<φ<π)，其图像过点.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数y＝g(x)在上的最大值和最小值．
20．(本小题满分12分)如图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t s后与地面的距离为h m.
(1)求函数h＝f(t)的关系式；
(2)画出函数h＝f(t)，t∈[0,12]的图像．
21.(本小题满分12分)函数f(x)＝1－2a－2acos x－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)．
(1)求g(a)；
(2)若g(a)＝，求a及此时f(x)的最大值．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－b(ω>0,0<φ<π)的图像两相邻对称轴之间的距离是.若将f(x)的图像先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，图像对应的函数g(x)为奇函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)图像的对称轴及f(x)的单调区间；
(3)若对任意x∈，f2(x)－(2＋m)f(x)＋2＋m≤0恒成立，求实数m的取值范围．
第七章三角函数
1．解析：∵角α的终边经过点P(－1,3)，∴tan α＝－3.故选B.
答案：B
2．解析：∵4在第三象限，∴sin 4<0，∵7在第一象限，
∴tan 7>0，∴sin 4·tan 7<0，故选B.
答案：B
3．解析：tan＝－tan＝－tan＝－tan＝－4.
答案：D
4．解析：当2x－＝kπ(k∈Z)时，x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，所以是该函数图像的一个对称中心．
答案：A
5．解析：1＋sin θcos θ＝
＝＝＝.
答案：B
6．解析：当sin x，y＝2sin x．故选D.
答案：D
7．解析：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝.
∴sin(3π＋α)tan＝sin(π＋α)＝sin αtan＝sin α·＝sin α·＝cos α＝.
答案：C
8．解析：C，D中函数的周期为π.y＝cos＝－sin 2x在上是增函数，y＝sin＝cos 2x在上是减函数，故选D.
答案：D
9．解析：由已知可得2sin Acos A＝－，所以(cos A－sin A)2＝1－2sin Acos A＝.故cos A－sin A＝.又cos A＋sin A＝－，所以cos A＝，sin A＝－.
所以tan A＝－.
答案：C
10．解析：由题意得，ω＝＝2，所以f(x)＝sin＝cos＝cos＝cos，故选A.
答案：A
11．解析：由等式f(a－x)＝f(b＋x)可判断函数f(x)的对称轴是x＝，再由正弦型函数对称轴的性质可得f(x)＝Asin(ωx＋φ)在对称轴上取得最大值或最小值，所以f＝±A.
答案：C
12．解析：将f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像向左平移个单位得到函数y＝sin，由所得图像与原图像重合，得ωx＋φ＋ω＝ωx＋φ＋2kπ，解得ω＝4k(k∈Z)，故选B.
答案：B
13．解析：原式＝
＝＝tan θ.
答案：tan θ
14．解析：由图可知A＝2，＝－，所以T＝2π，所以ω＝1.再根据f＝2得sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
又因为－<φ<，所以φ＝.
因此A＋ω＋φ＝3＋.
答案：3＋
15．解析：函数f(x)＝－2tan x＋m有零点，即方程2tan x＝m有解．∵x∈，∴tan x∈[－1，]，
∴m∈[－2,2]．
答案：[－2,2]
16．解析：f(x)＝atan x＋bcos x为偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即atan(－x)＋bcos(－x)＝atan x＋bcos x，即2atan x＝0，故a＝0，①正确；当x＝2kπ＋，k∈Z时，y＝cos＝cos＝，显然不是最大值，②不正确；当x＝－时，y＝4cos＝4cos(－π)＝－4，显然取得最小值，故x＝－是该函数的图像的一条对称轴，③正确；令－2x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，故对称中心为，k∈Z，④不正确．
答案：①③
17．解析：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝，故tan α＝.
(2)＝
＝＝＝4.
18．解析：(1)∵函数f(x)的最大值为3，
∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin＋1.
(2)∵f＝2sin＋1＝2，
∴sin＝，
∵0<α<，∴－<α－<，
∴α－＝，解得α＝.
19．解析：(1)∵f(x)＝cos(2x－φ)，且函数图像过点，
∴＝cos，即cos＝1，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos，将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝cos的图像．
∵x∈，∴4x－∈，
故－≤cos≤1.
∴y＝g(x)在上的最大值和最小值分别为和－.
20．解析：(1)如图1，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系．设点A的坐标为(x，y)，则h＝y＋0.5.
设∠OO1A＝θ，则cos θ＝，y＝－2cos θ＋2.
又θ＝·t，即θ＝t，∴y＝－2cost＋2，
故h＝f(t)＝－2cost＋2.5.
(2)函数h＝－2cost＋2.5，t∈[0,12]的图像如图2所示．
21．解析：(1)由f(x)＝1－2a－2acos x－2sin2x
＝1－2a－2acos x－2(1－cos2x)
＝2cos2x－2acos x－(2a＋1)
＝22－－2a－1.
这里－1≤cos x≤1.
①当－1≤≤1时，
f(x)min＝g(a)＝－－2a－1；
②当>1，cos x＝1时，
f(x)min＝g(a)＝1－4a；
③当<－1，cos x＝－1时，
f(x)min＝g(a)＝1.
因此，g(a)＝－2≤a≤2.
(2)g(a)＝，
①若a>2，则有1－4a＝，得a＝，矛盾；
②若－2≤a≤2，则有－－2a－1＝，
即a2＋4a＋3＝0，
∴a＝－1或a＝－3(舍)，
∴g(a)＝时，a＝－1.
此时，f(x)＝22＋，
当cos x＝1时，f(x)取得最大值5.
22．解析：(1)因为＝2×，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin(2x＋φ)－b.
又因为g(x)＝sin－b＋为奇函数，且0<φ<π，所以φ＝，b＝，
所以f(x)＝sin－.
(2)解2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z；
解－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；
解＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)图像的对称轴为直线x＝＋，k∈Z.
函数f(x)的增区间为(k∈Z)，减区间为(k∈Z)．
(3)因为x∈，得－≤f(x)≤1－，
所以－1－≤f(x)－1≤－.
f2(x)－(2＋m)f(x)＋2＋m≤0恒成立，即m≤＋f(x)－1恒成立．
由－1－≤f(x)－1≤－，得≤＋f(x)－1≤－，所以m≤，
即m的取值范围是.