第八章向量的数量积与三角恒等变换 单元测试题2020-2021学年人教B版（2019）必修第三册（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 第八章向量的数量积与三角恒等变换 单元测试题2020-2021学年人教B版（2019）必修第三册（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 121.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-19 00:23:24 | ||
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文档简介
第八章向量的数量积与三角恒等变换
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|等于( )
A．1 B．4
C．3 D.
2．若cos θ>0，且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1 B.
C．2 D．4
4．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
5．已知θ为第二象限角，且cos＝－，则的值是( )
A．－1 B.
C．1 D．2
6．已知平面向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a，b，c两两所成的角相等，则|a＋b＋c|等于( )
A. B．6或
C．6 D．6或
7．若sin＝，则cos等于( )
A．－ B．－
C. D.
8．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
9．已知(sin x－2cos x)(3＋2sin x＋2cos x)＝0，
则的值为( )
A. B.
C. D.
10．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A．－ B.
C. D.
11．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则下列结论中正确的是( )
A．函数y＝f(x)g(x)的周期为2π
B．函数y＝f(x)g(x)的最大值为1
C．将f(x)的图像向左平移个单位长度后得到g(x)的图像
D．将f(x)的图像向右平移个单位长度后得到g(x)的图像
12．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，＝，则·＝( )
A. B．－
C. D．－
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．若cos xcos y＋sin xsin y＝，则cos(2x－2y)＝________.
14．已知两个单位向量e1，e2的夹角为120°，且向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，则a·b＝________.
15．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．
16．若tan α＋＝，α∈，则sin＋2coscos2α的值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2，求·(＋)的值．
18．(本小题满分12分)已知cos 2θ＝，θ∈，求sin－2sin 2θ的值．
19.(本小题满分12分)设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|＝2，|b|＝1，又k与t是两个不同时为零的实数．
(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；
(2)求函数k＝f(t)的最小值．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－2sin2x＋sin 2x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；
(2)在给出的直角坐标系中(如下图)，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像．
21.(本小题满分12分)在△ABC中，设·＝·.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|＋|＝2，且B∈，求·的取值范围．
22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)，求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
1．解析：由|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)可求得|a＋b|.
答案：D
2．解析：∵sin 2θ＝2sin θcos θ<0，∴θ是第二、四象限的角．又cos θ>0，∴θ是第四象限的角．
答案：D
3．解析：由于2a－b与b垂直，则(2a－b)·b＝0，即(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0.解得n＝±.
所以a＝(1，±)．所以|a|＝＝2.
答案：C
4．解析：原式＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(270°－17°)sin(270°＋43°)＝－sin 17°sin 43°＋cos 17°cos 43°＝cos 60°＝.
答案：B
5．解析：∵θ为第二象限角，∴为第一或第三象限角．
∵cos＝－，∴为第三象限角且sin＝－，
∴＝＝1.故选C.
答案：C
6．解析：由题意，得a，b，c两两所成的角均为120°或0°，当夹角为120°时，a·b＝－1，b·c＝－3，a·c＝－，则|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋a·c)＝3；当夹角为0°时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝6.故选D.
答案：D
7．解析：cos＝cos
＝－cos＝2sin2－1＝－.
答案：A
8．解析：∵2＝16，∴||＝4，又|＋|＝|－|，∴·＝0.∵M为BC的中点，
∴||＝||＝×4＝2，故选C.
答案：C
9．解析：∵3＋2sin x＋2cos x＝3＋2sin>0，
∴sin x－2cos x＝0.∴tan x＝2.
∴原式＝＝
＝2cos2 x＝＝＝.
答案：C
10.
解析：建立平面直角坐标系，如图．
则B，C，
A，所以＝(1,0)．
易知DE＝AC，
则EF＝AC＝，
因为∠FEC＝60°，所以点F的坐标为，
所以＝，
所以·＝·(1,0)＝.故选B.
答案：B
11．解析：因为f(x)＝sin＝cos x，
g(x)＝cos＝sin x，
所以y＝f(x)g(x)＝sincos＝cos xsin x＝sin 2x，所以其周期T＝＝π，最大值是，故排除A，B；
很明显将f(x)的图像向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos的图像．
答案：D
12．解析：由题意作出图形，如图所示．
由图可得＝＝(－)＝－＋，所以＝＋＝－＋＝＋.
所以·＝·
＝－·||2＋·||2－··
＝－×4＋×9－×||×||×cos∠BAC
＝－＋4－×2×3×cos
＝.故选A.
答案：A
13．解析：由cos xcos y＋sin xsin y＝，可知cos(x－y)＝，则cos(2x－2y)＝2cos2(x－y)－1＝2×2－1＝－.
答案：－
14．解析：∵|e1|＝|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为120°，∴a·b＝(e1＋2e2)·(4e1)＝4e＋8e1·e2＝4＋8×1×1×cos 120°＝4＋8×1×1×＝0.
答案：0
15．解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos〈a，b〉－2×16＝－14－3×3×4cos〈a，b〉≥4，
∴cos〈a，b〉≤－，又〈a，b〉∈[0，π]，
∴θ＝〈a，b〉∈.
答案：
16．解析：由tan α＋＝，得(tan α－3)(3tan α－1)＝0，所以tan α＝3或tan α＝.因为α∈，所以tan α＝3，所以sin＋2coscos2α＝sin 2α＋cos 2α＋＝sin 2α＋cos 2α＋＝·＋·＋＝·＋·＋＝×＋×＋＝0.
答案：0
17．解析：如图，由AM＝3，且＝2，可知||＝2.
∵M为BC的中点，
∴＋＝2＝，
∴·(＋)＝·
＝－2＝－||2＝－4.
18．解析：∵cos 2θ＝，θ∈，
∴cos θ<0，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝，
∴cos2θ＝，∴cos θ＝－，sin θ＝，
∴sin－sin 2θ＝sin θcos＋cos θsin－2sin θcos θ＝×－×＋2××
＝－＋＝.
19．解析：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
∵x⊥y，∴x·y＝0，
即[a＋(t－3)b]·[－ka＋tb]＝0.
－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，
∴－4k＋t2－3t＝0，即k＝(t2－3t)．
(2)由(1)知k＝(t2－3t)＝2－，
∴函数k＝f(t)的最小值为－.
20．解析：(1)f(x)＝(1－2sin2x)＋sin 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，最小值为－2.
(2)列表：
x
0
π
2x＋
π
2π
f(x)
2
0
－2
0
描点、连线得到图像，如下图所示．
21．解析：(1)证明：因为·＝·，
所以·(－)＝0.
又＋＋＝0，则＝－(＋)，
所以－(＋)·(－)＝0.
所以2－2＝0.所以||2＝||2.
即|AB|＝|BC|，即△ABC为等腰三角形．
(2)因为B∈，则cos B∈.
设||＝||＝a.
又|＋|＝2，所以|＋|2＝4.
则有a2＋a2＋2a2cos B＝4.
所以a2＝，
则·＝a2cos B＝＝2－.
又cos B∈，所以·∈.
22．解析：(1)f(x)＝cos＋sin2x＝＋＝－sin 2x，
故f(x)的最小正周期为π.
(2)当x∈时，g(x)＝－f(x)＝sin 2x，故
①当x∈时，x＋∈.
由于对任意x∈R，有g＝g(x)，
从而g(x)＝g＝sin
＝sin(2x＋π)＝－sin 2x.
②当x∈时，x＋π∈.
由于对任意x∈R，有g＝g(x)，所以g(x＋π)＝g＝g(x)，
从而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin 2x.
综合①②，得g(x)在区间[－π，0]上的解析式为
g(x)＝
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|等于( )
A．1 B．4
C．3 D.
2．若cos θ>0，且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1 B.
C．2 D．4
4．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
5．已知θ为第二象限角，且cos＝－，则的值是( )
A．－1 B.
C．1 D．2
6．已知平面向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a，b，c两两所成的角相等，则|a＋b＋c|等于( )
A. B．6或
C．6 D．6或
7．若sin＝，则cos等于( )
A．－ B．－
C. D.
8．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
9．已知(sin x－2cos x)(3＋2sin x＋2cos x)＝0，
则的值为( )
A. B.
C. D.
10．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A．－ B.
C. D.
11．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则下列结论中正确的是( )
A．函数y＝f(x)g(x)的周期为2π
B．函数y＝f(x)g(x)的最大值为1
C．将f(x)的图像向左平移个单位长度后得到g(x)的图像
D．将f(x)的图像向右平移个单位长度后得到g(x)的图像
12．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，＝，则·＝( )
A. B．－
C. D．－
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．若cos xcos y＋sin xsin y＝，则cos(2x－2y)＝________.
14．已知两个单位向量e1，e2的夹角为120°，且向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，则a·b＝________.
15．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．
16．若tan α＋＝，α∈，则sin＋2coscos2α的值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2，求·(＋)的值．
18．(本小题满分12分)已知cos 2θ＝，θ∈，求sin－2sin 2θ的值．
19.(本小题满分12分)设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|＝2，|b|＝1，又k与t是两个不同时为零的实数．
(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；
(2)求函数k＝f(t)的最小值．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－2sin2x＋sin 2x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；
(2)在给出的直角坐标系中(如下图)，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像．
21.(本小题满分12分)在△ABC中，设·＝·.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|＋|＝2，且B∈，求·的取值范围．
22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)，求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
1．解析：由|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)可求得|a＋b|.
答案：D
2．解析：∵sin 2θ＝2sin θcos θ<0，∴θ是第二、四象限的角．又cos θ>0，∴θ是第四象限的角．
答案：D
3．解析：由于2a－b与b垂直，则(2a－b)·b＝0，即(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0.解得n＝±.
所以a＝(1，±)．所以|a|＝＝2.
答案：C
4．解析：原式＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(270°－17°)sin(270°＋43°)＝－sin 17°sin 43°＋cos 17°cos 43°＝cos 60°＝.
答案：B
5．解析：∵θ为第二象限角，∴为第一或第三象限角．
∵cos＝－，∴为第三象限角且sin＝－，
∴＝＝1.故选C.
答案：C
6．解析：由题意，得a，b，c两两所成的角均为120°或0°，当夹角为120°时，a·b＝－1，b·c＝－3，a·c＝－，则|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋a·c)＝3；当夹角为0°时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝6.故选D.
答案：D
7．解析：cos＝cos
＝－cos＝2sin2－1＝－.
答案：A
8．解析：∵2＝16，∴||＝4，又|＋|＝|－|，∴·＝0.∵M为BC的中点，
∴||＝||＝×4＝2，故选C.
答案：C
9．解析：∵3＋2sin x＋2cos x＝3＋2sin>0，
∴sin x－2cos x＝0.∴tan x＝2.
∴原式＝＝
＝2cos2 x＝＝＝.
答案：C
10.
解析：建立平面直角坐标系，如图．
则B，C，
A，所以＝(1,0)．
易知DE＝AC，
则EF＝AC＝，
因为∠FEC＝60°，所以点F的坐标为，
所以＝，
所以·＝·(1,0)＝.故选B.
答案：B
11．解析：因为f(x)＝sin＝cos x，
g(x)＝cos＝sin x，
所以y＝f(x)g(x)＝sincos＝cos xsin x＝sin 2x，所以其周期T＝＝π，最大值是，故排除A，B；
很明显将f(x)的图像向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos的图像．
答案：D
12．解析：由题意作出图形，如图所示．
由图可得＝＝(－)＝－＋，所以＝＋＝－＋＝＋.
所以·＝·
＝－·||2＋·||2－··
＝－×4＋×9－×||×||×cos∠BAC
＝－＋4－×2×3×cos
＝.故选A.
答案：A
13．解析：由cos xcos y＋sin xsin y＝，可知cos(x－y)＝，则cos(2x－2y)＝2cos2(x－y)－1＝2×2－1＝－.
答案：－
14．解析：∵|e1|＝|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为120°，∴a·b＝(e1＋2e2)·(4e1)＝4e＋8e1·e2＝4＋8×1×1×cos 120°＝4＋8×1×1×＝0.
答案：0
15．解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos〈a，b〉－2×16＝－14－3×3×4cos〈a，b〉≥4，
∴cos〈a，b〉≤－，又〈a，b〉∈[0，π]，
∴θ＝〈a，b〉∈.
答案：
16．解析：由tan α＋＝，得(tan α－3)(3tan α－1)＝0，所以tan α＝3或tan α＝.因为α∈，所以tan α＝3，所以sin＋2coscos2α＝sin 2α＋cos 2α＋＝sin 2α＋cos 2α＋＝·＋·＋＝·＋·＋＝×＋×＋＝0.
答案：0
17．解析：如图，由AM＝3，且＝2，可知||＝2.
∵M为BC的中点，
∴＋＝2＝，
∴·(＋)＝·
＝－2＝－||2＝－4.
18．解析：∵cos 2θ＝，θ∈，
∴cos θ<0，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝，
∴cos2θ＝，∴cos θ＝－，sin θ＝，
∴sin－sin 2θ＝sin θcos＋cos θsin－2sin θcos θ＝×－×＋2××
＝－＋＝.
19．解析：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
∵x⊥y，∴x·y＝0，
即[a＋(t－3)b]·[－ka＋tb]＝0.
－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，
∴－4k＋t2－3t＝0，即k＝(t2－3t)．
(2)由(1)知k＝(t2－3t)＝2－，
∴函数k＝f(t)的最小值为－.
20．解析：(1)f(x)＝(1－2sin2x)＋sin 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，最小值为－2.
(2)列表：
x
0
π
2x＋
π
2π
f(x)
2
0
－2
0
描点、连线得到图像，如下图所示．
21．解析：(1)证明：因为·＝·，
所以·(－)＝0.
又＋＋＝0，则＝－(＋)，
所以－(＋)·(－)＝0.
所以2－2＝0.所以||2＝||2.
即|AB|＝|BC|，即△ABC为等腰三角形．
(2)因为B∈，则cos B∈.
设||＝||＝a.
又|＋|＝2，所以|＋|2＝4.
则有a2＋a2＋2a2cos B＝4.
所以a2＝，
则·＝a2cos B＝＝2－.
又cos B∈，所以·∈.
22．解析：(1)f(x)＝cos＋sin2x＝＋＝－sin 2x，
故f(x)的最小正周期为π.
(2)当x∈时，g(x)＝－f(x)＝sin 2x，故
①当x∈时，x＋∈.
由于对任意x∈R，有g＝g(x)，
从而g(x)＝g＝sin
＝sin(2x＋π)＝－sin 2x.
②当x∈时，x＋π∈.
由于对任意x∈R，有g＝g(x)，所以g(x＋π)＝g＝g(x)，
从而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin 2x.
综合①②，得g(x)在区间[－π，0]上的解析式为
g(x)＝