本册综合测试题 - 2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第三册（Word含解析）

综合测试题
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin 480°等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
2．已知单位向量a，b，则下列各式成立的是(　　)
A．a＝b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．a·b＝0
3．已知锐角α的终边上一点P(sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝(　　)
A．80° B．70°
C．20° D．10°
4．若|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a与b的夹角θ的余弦值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
5．设向量a＝的模为，则cos 2α等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
6．化简式子的值是(　　)
A．sin 2 B．－cos 2
C.cos 2 D．－cos 2
7．在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足·＞0，则点P与圆C的位置关系是(　　)
A．点P在圆C外部 B．点P在圆C上
C．点P在圆C内部 D．不确定
8．设角α＝－，则的值等于(　　)
A. B.
C. D.
9．函数y＝logsin的单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.，k∈Z
10．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上的一点P，使·为最小值，则P点的坐标是(　　)
A．(3,0) B．(－3,0)
C．(2,0) D．(4,0)
11．要得到函数y＝3cos的图像，可以将函数y＝3sin 2x的图像沿x轴(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
12．如图，向量＝a，＝b，且⊥，C为垂足，设向量＝λa(λ>0)，则λ的值为(　　)
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．将函数y＝sin的图像向右平移个单位，再将图像上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数的解析式是________．
14．已知为与的和向量，且＝a，＝b，分别用a，b表示＝________，＝________.
15．如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|＝，设AB与x轴正半轴交于点C，α＝∠AOC，β＝∠OCB，则sin αsin β＋cos αcos β＝________.
16．若sin α＋sin β＝，则cos α＋cos β的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知tan(π＋α)＝3，
求的值．
18．(本小题满分12分)设向量a＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，b＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a＋b＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
19.(本小题满分12分)设向量c＝ma＋nb(m，n∈R)，已知|a|＝2，|c|＝4，a⊥c，b·c＝－4，且b与c的夹角为120°，求m，n的值．
20．(本小题满分12分)已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos α，sin α)(0<α<π)．
(1)若|＋|＝(O为坐标原点)，求与的夹角；
(2)若⊥，求tan α的值．
21.(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图像如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图像向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？
22．(本小题满分12分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量m＝(2－2sin A，sin A＋cos A)与n＝(sin A－cos A,1＋sin A)共线，且·>0.
(1)求角A的大小；
(2)求函数y＝2sin2＋cos的值域．
1．解析：sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝.
答案：D
2．解析：考虑单位向量的方向．
答案：B
3．解析：点P到坐标原点的距离为＝＝＝2cos 20°，
由三角函数的定义可知cos α＝＝＝sin 20°.
∵点P在第一象限，且角α为锐角，∴α＝70°.故选B.
答案：B
4．解析：由|a＋b|＝，得7＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2cos θ，所以cos θ＝.
答案：B
5．解析：由题意，知 ＝.∴cos2α＝.
∴cos 2α＝2cos2α－1＝－1＝－.
答案：B
6．解析：将cos 4运用倍角公式变形为1－2sin22，从而原式化为，再开方即得结果．
答案：D
7．解析：在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足·＝||||cos∠APB＞0，所以∠APB为锐角，所以点P在圆C的外部．
答案：A
8．解析：因为α＝－，
所以
＝＝＝＝＝＝.故选D.
答案：D
9．解析：将原函数转化为y＝log，由复合函数的单调性可知，整个函数的单调递增区间就是函数u＝sin的递增区间，且u＝sin<0.所以－＋2kπ≤x－<2kπ(k∈Z)，即－＋8k≤x<＋8k(k∈Z)．故选D.
答案：D
10．解析：设P(x0,0)，则＝(x0－2，－2)，＝(x0－4，－1)，∴·＝(x0－2)(x0－4)＋2＝x－6x0＋10＝(x0－3)2＋1，∴当x0＝3时，·取得最小值，P点的坐标是(3,0)．
答案：A
11．解析：将y＝3sin 2x转化为y＝3cos＝3cos，化为同名函数后即可进行平移，显然3cos＝3cos，所以应将函数y＝3sin 2x的图像沿x轴向左平移个单位长度．
答案：A
12．解析：为在上的射影．故||＝，
∴＝·＝·a.
答案：A
13．解析：图像向右平移个单位，解析式应变为y＝sin，即y＝sin，再将图像上各点的横坐标扩大到原来的3倍，得y＝sin.
答案：y＝sin
14．解析：根据向量加法的平行四边形法则直接写出结论．
答案：(a－b)　(a＋b)
15．解析：由题意∠OAC＝β－α.因为A，B是单位圆上两点且|AB|＝，所以sin αsin β＋cos αcos β＝cos(β－α)＝cos∠OAC＝＝.
答案：
16．解析：令cos α＋cos β＝t，
则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t2＋，
即sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＋cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝2＋2cos(α－β)＝t2＋，∴2cos(α－β)＝t2－.
∵－2≤t2－≤2，∴－≤t2≤，
∴－≤t≤，
即cos α＋cos β的取值范围为.
答案：
17．解析：∵tan(π＋α)＝3，∴tan α＝3.
∴＝＝
＝＝＝7.
18．解析：(1)a＋b＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β)＝(2cos αcos β，2sin αcos β)＝.
∴2cos αcos β＝，2sin αcos β＝，∴tan α＝.
(2)＝＝＝－.
19．解析：∵a⊥c，∴a·c＝0，
∵c＝ma＋nb，∴c·c＝(ma＋nb)·c，
即|c|2＝ma·c＋nb·c，
∴|c|2＝nb·c，
由已知|c|2＝16，b·c＝－4，
∴16＝－4n，
∴n＝－4，从而c＝ma－4b，
∵b·c＝|b||c|cos 120°＝－4，
∴|b|·4·＝－4，∴|b|＝2.
由c＝ma－4b得a·c＝ma2－4a·b，
∴8m－4a·b＝0，即a·b＝2m.　①
再由c＝ma－4b，得b·c＝ma·b－4b2，
∴ma·b－16＝－4，即ma·b＝12.　②
联立①②得2m2＝12，即m2＝6，
∴m＝±，故m＝±，n＝－4.
20．解析：(1)∵＋＝(2＋cos α，sin α)，|＋|＝，
∴(2＋cos α)2＋sin2α＝7.∴cos α＝.
又α∈(0，π)，∴α＝，即∠AOC＝.
又∠AOB＝，∴与的夹角为.
(2)＝(cos α－2，sin α)，＝(cos α，sin α－2)．
由⊥，
∴·＝0，∴cos α＋sin α＝.①
∴(cos α＋sin α)2＝.
∴2sin αcos α＝－.
又α∈(0，π)，∴α∈.
∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，cos α－sin α<0，
∴cos α－sin α＝－.②
由①②得cos α＝，sin α＝，
从而tan α＝－.
21．解析：(1)由题图，得A＝3，＝＝5π，
故ω＝.
由f(x)＝3sin的图像过点，得
sin＝0.
又|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝3sin.
(2)设把f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位长度，能使得到的图像对应的函数为偶函数．
由f(x＋m)＝3sin＝3sin为偶函数，知－＝kπ＋(k∈Z)，
解得m＝kπ＋(k∈Z)．
∵m>0，∴mmin＝.
故至少把f(x)的图像向左平移个单位长度，才能使得到的图像对应的函数是偶函数．
22．解析：(1)由题意，知(2－2sin A)(1＋sin A)＝(sin A＋cos A)(sin A－cos A)，
整理，得2(1－sin2A)＝sin2A－cos2A，
即2－2sin2A＝2sin2A－1，解得sin2A＝.
又A为△ABC的内角，所以sin A＝.
由·>0，知A为锐角，所以A＝.
(2)由(1)及题意知B＋C＝，
所以y＝2sin2＋cos
＝1－cos B＋cos
＝1＋sin B－cos B
＝1＋sin.
又0所以－所以－故函数y＝2sin2＋cos的值域为.