8.1.3向量数量积的坐标运算—2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换同步习题（Word含解析）

向量数量积的坐标运算
一、选择题
1．已知向量a＝(3,1)，b＝(x，－2)，c＝(0,2)，若a⊥(b－c)，则实数x的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
2．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,4)，且a∥b，则|a－b|＝(　　)
A．5 B．3
C．2 D．2
3．已知向量a＝(1，)，b＝(－2,2)，则a与b的夹角是(　　)
A. B.
C. D.
4．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的正射影的数量为(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
5．[2019·全国卷Ⅱ]已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝________.
6．若向量a＝(－2,2)与b＝(1，y)的夹角为钝角，则y的取值范围为________．
7．已知＝(－2,1), ＝(0,2)，且∥， ⊥，则点C的坐标是________．
三、解答题
8．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．
9．已知＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1)．
(1)若A，C，D三点共线，求k的值；
(2)在(1)的条件下，求向量与的夹角的余弦值．
10．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋b共线；
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.
11．在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：
(1)，的坐标；
(2)|－|的值；
(3)cos∠BAC的值．
向量数量积的坐标运算
1．解析：b－c＝(x，－4)，由a⊥(b－c)知3x－4＝0，∴x＝.故选A项．
答案：A
2．解析：∵a∥b，∴4＋2x＝0，∴x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6)，∴|a－b|＝3.故选B项．
答案：B
3．解析：设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
解得θ＝.故选C项．
答案：C
4．解析：a在b方向上的正射影的数量为|a|cos〈a，b〉＝＝＝＝.
答案：A
5．解析：∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，
∴|a－b|＝＝.
答案：
6．解析：若a与b夹角为180°，则有b＝λa(λ<0)
即
解得y＝－1且λ＝－，
所以b≠λa(λ<0)时y≠－1；①
若a与b夹角θ∈时，
则只要a·b<0且b≠λa(λ<0)．
当a·b<0有－2＋2y<0解得y<1.②
由①②得y<－1或－1答案：(－∞，－1)∪(－1,1)
7．解析：设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2,1)．
由∥，⊥，得
解得
∴点C的坐标为(－2,6)．
答案：(－2,6)
8．解析：(1)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
所以a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.
(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
所以(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25.
(3)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)，
(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1)＝8－3＝5.
9．解析：(1)因为＝＋＝(10，k＋1)，由题意知A，C，D三点共线，
所以∥，所以10×1－2(k＋1)＝0，即k＝4.
(2)因为＝(2,1)，设向量与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
10．解析：∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，
a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
(1)∵ka－b与a＋b共线，
∴k＋2－(－k)＝0，∴k＝－1.
即当k＝－1时，ka－b与a＋b共线．
(2)∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝，
(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)
＝k－k－2＝－2，
而ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos 120°＝，
即－＝，
化简整理，得k2＋2k－2＝0，解之得k＝－1±.
即当k＝－1±时，ka－b与a＋b的夹角为120°.
11．解析：(1)＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．
(2)因为－＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，
所以|－|＝＝2.
(3)因为·＝(－1,1)·(1,5)＝4，
||＝，||＝，
cos∠BAC＝＝＝.