7.3.2正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图像—2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第三册（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 7.3.2正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图像—2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第三册（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 62.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-19 00:26:34 | ||
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文档简介
1234440012611100正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图像
一、选择题
1．将函数y＝sin 3x的图像向左平移个单位长度，所得函数的解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
2．已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝2cos
B．f(x)＝cos
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
3．要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin 2x的图像( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
4．函数y＝2sin图像的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝0
C．x＝ D．x＝－
二、填空题
5．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的图像如图所示，则φ＝________.
6．若g(x)＝2sin＋a在[0，]上的最大值与最小值之和为7，则a＝________.
7．函数y＝sin的减区间是________．
三、解答题
8．某同学解答一道三角函数题：“已知函数f(x)＝2sin(x＋φ)，且f(0)＝.
(1)求φ的值；
(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最大值及相应x的值．
该同学解答过程如下：
解答：(1)因为f(0)＝2sin φ＝，所以sin φ＝.因为－<φ<，所以φ＝.
(2)因为－≤x≤，所以－≤x＋≤.令t＝x＋，则－≤t≤.
画出函数y＝2sin t在[－，]上的图像，
由图像可知，当t＝，即x＝时，函数f(x)的最大值为f(x)max＝2.
下表列出了某些数学知识：
任意角的概念
任意角的正弦、余弦、正切的定义
弧度制的概念
±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式
弧度与角度的互化
函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像
三角函数的周期性
正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质
同角三角函数的基本关系式
正切函数在区间上的性质
两角差的余弦公式
函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义
两角差的正弦、正切公式
参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像变化的影响
两角和的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．
9．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A＞0，ω＞0)的图像过点P，图像与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图像
1．解析：y＝sin 3x的图像向左平移个单位长度得y＝sin 3＝sin.故选D.
答案：D
2．解析：由图像知，A＝2，排除B项．
又＝－＝π，知T＝4π，∴＝4π.
∴ω＝，排除D项．
把x＝0，y＝1代入A，C项中检验，知C项错误．
答案：A
3．解析：y＝sin＝sin，故要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin 2x的图像向右平移个单位．
答案：D
4．解析：令x＋＝kπ＋，k∈Z，
x＝kπ＋，k∈Z，
k＝0时，x＝为函数图像的一条对称轴．
答案：C
5．解析：由题意得＝2π－π，
∴T＝π，ω＝.
又由x＝π时y＝－1得－1＝sin，
－<π＋φ<π，
∴π＋φ＝π，
∴φ＝π.
答案：π
6．解析：当0≤x≤时，≤2x＋≤，≤sin≤1，所以1＋a≤2sin＋a≤2＋a，由1＋a＋2＋a＝7，得a＝2.
答案：2
7．解析：令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
则＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.
答案：[＋4kπ，＋4kπ](k∈Z)
8．解析：根据解答过程逐步推导所用的数学知识．
首先－<φ<，这里出现了负角和弧度表示角，涉及的是任意角的概念和弧度制的概念；由sin φ＝和φ的范围解出φ＝，这里涉及的是任意角的正弦的定义；解题时所画的图像涉及的是函数y＝sin x的图像；作出图像后可根据周期性以及单调性计算出最大值，这里涉及的是三角函数的周期性，正弦函数在区间[0,2π]上的性质；用换元法构造正弦函数的图像其实利用的是平移的思想，这里涉及的是参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像变化的影响．
答案：任意角的概念，弧度制的概念，任意角的正弦的定义，函数y＝sin x的图像，三角函数的周期性，正弦函数在区间[0,2π]上的性质，参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像变化的影响．
点睛：本题考查三角函数章节内容的综合应用，难度一般．由解答的过程分析其中涉及的知识点，这种题型比较灵活，需要注意到每一步是根据什么得到的，这就要保证对每一块的知识点都很熟悉．
9．解析：(1)由2x－＝kπ＋，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝＋π，k∈Z；由2x－＝kπ，k∈Z解得对称中心是，k∈Z；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z；由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得单调递减区间是[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤π，
∴当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取最小值为－1；
当2x－＝，即x＝时，f(x)取最大值为2.
10．解析：(1)∵图像最高点坐标为，
∴A＝5.
∵＝－＝，
∴T＝π.
∴ω＝＝2.
∴y＝5sin(2x＋φ)．
代入点，得sin＝1.
∴π＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
令k＝0，则φ＝－，
∴y＝5sin.
(2)∵函数的增区间满足
2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(3)∵5sin≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
∴kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．
一、选择题
1．将函数y＝sin 3x的图像向左平移个单位长度，所得函数的解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
2．已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝2cos
B．f(x)＝cos
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
3．要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin 2x的图像( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
4．函数y＝2sin图像的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝0
C．x＝ D．x＝－
二、填空题
5．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的图像如图所示，则φ＝________.
6．若g(x)＝2sin＋a在[0，]上的最大值与最小值之和为7，则a＝________.
7．函数y＝sin的减区间是________．
三、解答题
8．某同学解答一道三角函数题：“已知函数f(x)＝2sin(x＋φ)，且f(0)＝.
(1)求φ的值；
(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最大值及相应x的值．
该同学解答过程如下：
解答：(1)因为f(0)＝2sin φ＝，所以sin φ＝.因为－<φ<，所以φ＝.
(2)因为－≤x≤，所以－≤x＋≤.令t＝x＋，则－≤t≤.
画出函数y＝2sin t在[－，]上的图像，
由图像可知，当t＝，即x＝时，函数f(x)的最大值为f(x)max＝2.
下表列出了某些数学知识：
任意角的概念
任意角的正弦、余弦、正切的定义
弧度制的概念
±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式
弧度与角度的互化
函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像
三角函数的周期性
正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质
同角三角函数的基本关系式
正切函数在区间上的性质
两角差的余弦公式
函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义
两角差的正弦、正切公式
参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像变化的影响
两角和的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．
9．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A＞0，ω＞0)的图像过点P，图像与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图像
1．解析：y＝sin 3x的图像向左平移个单位长度得y＝sin 3＝sin.故选D.
答案：D
2．解析：由图像知，A＝2，排除B项．
又＝－＝π，知T＝4π，∴＝4π.
∴ω＝，排除D项．
把x＝0，y＝1代入A，C项中检验，知C项错误．
答案：A
3．解析：y＝sin＝sin，故要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin 2x的图像向右平移个单位．
答案：D
4．解析：令x＋＝kπ＋，k∈Z，
x＝kπ＋，k∈Z，
k＝0时，x＝为函数图像的一条对称轴．
答案：C
5．解析：由题意得＝2π－π，
∴T＝π，ω＝.
又由x＝π时y＝－1得－1＝sin，
－<π＋φ<π，
∴π＋φ＝π，
∴φ＝π.
答案：π
6．解析：当0≤x≤时，≤2x＋≤，≤sin≤1，所以1＋a≤2sin＋a≤2＋a，由1＋a＋2＋a＝7，得a＝2.
答案：2
7．解析：令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
则＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.
答案：[＋4kπ，＋4kπ](k∈Z)
8．解析：根据解答过程逐步推导所用的数学知识．
首先－<φ<，这里出现了负角和弧度表示角，涉及的是任意角的概念和弧度制的概念；由sin φ＝和φ的范围解出φ＝，这里涉及的是任意角的正弦的定义；解题时所画的图像涉及的是函数y＝sin x的图像；作出图像后可根据周期性以及单调性计算出最大值，这里涉及的是三角函数的周期性，正弦函数在区间[0,2π]上的性质；用换元法构造正弦函数的图像其实利用的是平移的思想，这里涉及的是参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像变化的影响．
答案：任意角的概念，弧度制的概念，任意角的正弦的定义，函数y＝sin x的图像，三角函数的周期性，正弦函数在区间[0,2π]上的性质，参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像变化的影响．
点睛：本题考查三角函数章节内容的综合应用，难度一般．由解答的过程分析其中涉及的知识点，这种题型比较灵活，需要注意到每一步是根据什么得到的，这就要保证对每一块的知识点都很熟悉．
9．解析：(1)由2x－＝kπ＋，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝＋π，k∈Z；由2x－＝kπ，k∈Z解得对称中心是，k∈Z；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z；由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得单调递减区间是[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤π，
∴当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取最小值为－1；
当2x－＝，即x＝时，f(x)取最大值为2.
10．解析：(1)∵图像最高点坐标为，
∴A＝5.
∵＝－＝，
∴T＝π.
∴ω＝＝2.
∴y＝5sin(2x＋φ)．
代入点，得sin＝1.
∴π＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
令k＝0，则φ＝－，
∴y＝5sin.
(2)∵函数的增区间满足
2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(3)∵5sin≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
∴kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．