选修2-1 第2章圆锥曲线与方程-双曲线 综合测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

双曲线综合测试题
一、单选题
1．双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的渐近线方程为则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近距离为2，则双曲线实轴长（ ）
A． B．2 C． D．4
5．双曲线的焦距（ ）
A．10 B．16 C．20 D．100
6．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为（ ）
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
7．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，从双曲线的左焦点引圆的切线交双曲线右支于点，为切点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知的顶点A(－5，0)，B(5，0)，内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B．
C．－＝1 D．－=1
10．虚轴长为2，离心率的双曲线两焦点为，，过作直线交双曲线的一支于、两点，且，则的周长为（ ）
A．3 B．16+
C．12+ D．24
11．已知双曲线的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝ |PF2|，则△F1PF2的面积为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．6
12．已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题
13．已知双曲线的一个顶点是，则m的值是_______________．
14．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，与双曲线的两条渐近线分别交于、.则线段的长为________.
15．已知双曲线C:=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若，，则双曲线C的渐近线方程为_____.?
16．设?分别是双曲线(，)的左?右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则___________.
三、解答题
17．在下列条件下求双曲线标准方程
（1）经过两点；
（2），经过点，焦点在轴上.
18．已知双曲线的标准方程为，分别为双曲线的左、右焦点.
（1）若点在双曲线的右支上，且的面积为，求点的坐标；
（2）若斜率为1且经过右焦点的直线与双曲线交于两点，求线段的长度.
19．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，且经过点．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程和其渐近线方程；
（Ⅱ）设直线l经过点，且斜率为k．求直线l与双曲线C有两个公共点时k的取值范围．
20．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，双曲线的离心率.
（1）若椭圆的焦点和双曲线的顶点重合，求实数的值；
（2）若“”是真命题，求实数的取值范围．
21．已知双曲线C的焦点F(，0)，双曲线C上一点P到F的最短距离为.
（1）求双曲线的标准方程和渐近线方程;
（2）已知点M(0，1)，设P是双曲线C上的点，Q是P关于原点的对称点.设λ=，求λ的取值范围.
22．已知双曲线的方程.
（1）求点到双曲线C上点的距离的最小值；
（2）已知圆的切线(直线的斜率存在)与双曲线C交于A，B两点，那么∠AOB是否为定值?如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.
参考答案
1．C
【分析】
根据双曲线的性质，可直接得出结果.
【详解】
因为双曲线的方程为，
所以，且焦点在轴上，
因此其焦点坐标为：.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查求双曲线的焦点坐标，属于基础题型.
2．B
【分析】
利用渐近线方程得出，然后结合求出即可.
【详解】
由渐近线方程可知
故选：B.
【点睛】
本题考查根据双曲线的渐近线方程求解离心率问题，属于简单题.
3．B
【分析】
由双曲线标准方程可得a,b的值，进而求出渐近线方程．
【详解】
根据题意可得，，所以双曲线的渐近线方程为．
故选:B．
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程，属于基础题．
4．C
【分析】
由焦点到渐近线得距离为，可得：，再代入离心率公式，即可得解.
【详解】
焦点到渐近线得距离为，
又∵，
∴，
∴长轴为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率、渐近线和实轴，属于基本量的考查，是基础题.
5．C
【分析】
由双曲线的方程求得c，根据双曲线的焦距的定义可得选项.
【详解】
由双曲线的方程得：，所以，
所以焦距为，
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质，属于基础题.
6．A
【分析】
由椭圆方程求出其焦点坐标和离心率，从而可求出双曲线的焦点和离心率，进而可求出的值，即可得双曲线的方程
【详解】
椭圆4x2＋y2＝64，即，焦点为，离心率为，则双曲线的焦点在y轴上，c＝，e＝，从而a＝6，b2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36
故选：A
7．D
【分析】
利用双曲线的离心率求出a,b的关系，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求解即可.
【详解】
所以双曲线的渐近线方程为
所以点（4，0）到渐近线的距离
故选：D
8．A
【分析】
根据双曲线的定义，中位线的性质，可转化为，计算即可.
【详解】
如图，
因为O为，M为PF的中点，
所以MO为的中位线，可得|MO|=.
又，
，
，
.
故选：A
9．A
【分析】
根据内切圆的几何性质可得|CA|－|CB|＝7－3＝4，符合双曲线的定义，根据定义，即可求出点C的轨迹方程.
【详解】
如图，
设与内切圆的切点分别为G，E，F，
由题意得：|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，
则方程为．
故选：A
10．B
【分析】
先由条件求出、、的值，再利用双曲线的定义和性质，求出的周长．
【详解】
由于，，，，．
由双曲线的定义知：①，②，
又，①②得：，
，则的周长为，
故选：B
11．B
【分析】
先利用双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，再利用已知条件得到|PF2|，|PF1|，|F1F2|，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，即可得出结论.
【详解】
由双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6，
故|PF1|＝8，
又|F1F2|＝10，
由勾股定理可知：
三角形PF1F2为直角三角形，
因此|PF1|·|PF2|＝24.
故选：B.
12．B
【分析】
当时，设，设，根据双曲线的几何性质可得，，利用二倍角正切公式展开可求得b的值，即可求得离心率；
当时，设，，设，根据双曲线的几何性质可得，，利用两角和的正切公式，即可求得b的值，即可求得离心率；
【详解】
（1）当时，设，则，设，
由题意可知，，，，
则，，，
代入得，
即，解得，则，
（2）当时，设，，设，
则，，
由题意可知，，，，
则，，，
则，
则，
代入得，即，解得，
则，
故选：B.
【点睛】
本题需分和两种情况分别求解，利用双曲线的几何性质，可得图像中边长的关系，合理利用特殊值法，是快速求解的关键，可大大简化计算，提高正确率.
13．
【分析】
由题可判断焦点在轴上，且，可求出.
【详解】
双曲线化为，
一个顶点是，故焦点在轴上，且，
，且，解得.
故答案为：.
14．
【分析】
作代换，，可得出双曲线的方程为，求出双曲线的焦点坐标与渐近线方程，进而可求得线段的长.
【详解】
作代换，，在平面直角坐标系中，双曲线的方程为，
其中，，，双曲线的渐近线方程为，
过双曲线的焦点且与实轴垂直的直线的方程为，
将代入直线方程，可得，
因此，线段的长为.
故答案为：.
15．
【分析】
由题可得F1B所在直线方程为，联立直线F1B和OB方程可得点B坐标，再利用即可建立关系求解.
【详解】
，，∴OA为Rt△F1F2B的中位线，∴OA⊥F1B.
又∵OA所在直线斜率为，∴F1B所在直线方程为，
联立，解得B，
则，
整理得，，∴双曲线C的渐近线方程为.
【点睛】
关键点睛：本题考查双曲线渐近线的求解，解题的关键是根据题意得出OA⊥F1B，从而得出直线F1B方程，求出点B坐标，利用建立关系.
16．
【分析】
设双曲线的半焦距为，求得双曲线的渐近线方程可得，，的关系，求出的三条边，运用余弦定理可求值．
【详解】
设双曲线的半焦距为，
由双曲线的渐近线方程，可得，
则，
在中，，，
由余弦定理可得
．
故答案为：．
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是看到双曲线的焦半径，要马上联想到双曲线的定义解题.这是圆锥曲线的一个解题技巧，要注意熟练运用.
17．（1）;（2）
【分析】
（1）设出双曲线的方程，代入两个点的坐标，由此计算得双曲线的方程.（2）设出双曲线的方程，代入点，由此求得双曲线的方程.
【详解】
（1）由于双曲线过点，故且焦点在轴上，设方程为，代入得，解得，故双曲线的方程为.（2）由于双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.将点代入双曲线方程得，解得，故双曲线的方程为.
【点睛】
本小题主要考查双曲线方程的求法，属于基础题.解题过程中，要注意双曲线的焦点是在哪个坐标轴上.
18．（1）或；（2）.
【分析】
（1）由双曲线方程可得，进而可得点的纵坐标，代入即可得解；
（2）联立方程组，由韦达定理、弦长公式运算即可得解.
【详解】
（1）由题意，双曲线的焦距，
设点，则，解得，
代入双曲线方程可得，
所以点的坐标为或；
（2）由题意，，则直线，
设，
由，化简可得，
则，，
所以.
19．（Ⅰ）；；（Ⅱ），且.
【分析】
（Ⅰ）根据双曲线的定义可求出，然后可得到答案；
（Ⅱ）联立直线与双曲线的方程消元，然后利用二次系数不等于0和可算出答案.
【详解】
（Ⅰ）由已知，双曲线的焦点为和
根据定义有：
故，，，
从而所求双曲线C的方程为
其渐近线方程为：.
（Ⅱ）由得：
当，即时，
若，即
时，
直线与双曲线相交，有两个公共点；
所以，当，且时，直线与双曲线有两个公共点．
【点睛】
本题考查的是双曲线标准方程的求法和直线与双曲线的位置关系，属于基础题.
20．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）椭圆的，双曲线的顶点，两个量相等后解得；（2）分别求两个命题为真时的取值范围，因为为真命题，所以命题都是真命题，求交集.
试题解析：（1）由，得；
（2）据题意有，与同时为真，
若真，则，解得，
若真时，则，解得，
当真、真时，，
∴实数的取值范围是．
考点：1.命题；2.椭圆和双曲线的几何性质.
21．（1），；（2）.
【分析】
（1）由题可得，，即可得出椭圆方程，进而求出渐近线方程；
（2）利用坐标关系表示出，再由可求出.
【详解】
（1）设双曲线的方程为=1，
∵双曲线C的焦点F(，0)，双曲线C上一点P到F的最短距离为，
，，，
，
则双曲线的方程为，
令，则， 即渐近线方程为.
（2）设P的坐标为(x0，y0)， 则Q的坐标为，
.
，的取值范围是.
【点睛】
关键点睛：本题考查双曲线标准方程和渐近线的求解，以及数量积的范围，解题的关键是理清题意，得出双曲线C上一点P到F的最短距离即为，再利用双曲线的范围求解.
22．（1）；（2）是定值，.
【分析】
（1）设双曲线上任意一点为，则，利用两点间的距离公式求出，利用二次函数求最值即可；（2）设直线的方程为：，利用直线与圆相切可得到，设，直线与双曲线的方程联立消，利用韦达定理得到
，再求出，最后利用得出结论即可.
【详解】
（1）设双曲线上任意一点为，
则，
，
当时，等号成立，
即点到双曲线C上点的距离的最小值为；
（2）设直线的方程为：，
因为直线与圆相切，
所以圆的圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，①
设，
由消得，
，
由题意知：，
，
由韦达定理得，
由①得：，
则，
因为，
所以为定值.
【点睛】
关键点睛：求解圆锥曲线中的定值问题，直线与曲线方程联立利用韦达定理求解是解题的关键.