选修2-1 第2章圆锥曲线与方程-椭圆 基础测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

椭圆基础测试题
一、单选题
1．椭圆的焦距为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．点与椭圆的位置关系为（ ）
A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定
3．命题p：“”是命题q：“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知椭圆方程为，则椭圆的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
6．已知椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．1
7．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．25
8．已知椭圆的左右焦点为，，是椭圆上的点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．椭圆右焦点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．椭圆的离心率为，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（ ）
A．2 B． C． D．
11．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．关于，的方程表示的曲线为椭圆的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C．且 D．或
二、填空题
13．已知椭圆方程表示椭圆，焦点，，椭圆上有一动点，则______．
14．已知直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为__________________；
15．若方程表示椭圆，则的取值范围是_______.
16．已知椭圆的右焦点为，若点到直线的距离为，则的离心率为____.
三、解答题
17．已知椭圆的长轴长为，两焦点的坐标分别为和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为椭圆上一点，轴，求的面积．
18．已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率．
19．设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
（2）求点到直线距离的最大值.
20．已知离心率为的椭圆 上的点到左焦点的最长距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过椭圆的左焦点任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 ，若点在 轴上，且使得为的一条内角平分线，则称点为该椭圆的“左特征点”，求椭圆的“左特征点”的坐标．
21．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，右焦点F的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A、B两点，若，求k的取值范围．
22．
在平面直角坐标系中，N为圆C：上的一动点，点D（1,0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且.
（Ⅰ）求动点P表示的曲线E的方程；
（Ⅱ）若曲线E与x轴的交点为，当动点P与A，B不重合时，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；
参考答案
1．B
【分析】
根据题目所给椭圆方程，可求得，再由，求出，即可得解.
【详解】
由椭圆方程可得：，
所以，
即，所以焦距为，
故选：B.
2．B
【分析】
将点的坐标代入椭圆方程，根据不等关系可判断出点与椭圆的位置关系.
【详解】
，可知点在椭圆内．
【分析】
故选：B.
3．C
【分析】
根据椭圆的标准方程，满足，求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】
曲线表示椭圆，
可得，解得且，
所以不能推出且，反之则成立，
所以“”是命题q：“曲线表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：C
4．C
【分析】
根据椭圆方程，判断椭圆的焦点位置，求出半焦距，进而可得焦点坐标.
【详解】
由可得，
所以焦点在轴上，且半焦距为，
则椭圆的焦点坐标为，.
故选：C.
5．B
【分析】
由题可求出，讨论焦点位置写出椭圆方程.
【详解】
因为，所以c＝3，
所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.
因为焦点的位置不确定，
所以椭圆的标准方程是或.
故选：B.
6．D
【分析】
求出两个焦点，的坐标，中，由勾股定理及椭圆的定义得，从而求得的面积的值.
【详解】
由题意可得：，，，
所以，，
中，由勾股定理可得：，
所以，
所以，
所以，
所以的面积是，
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题关键点是利用得，再利用勾股定理及椭圆的定义，，，求出，即可求出面积.
7．D
【分析】
利用椭圆的定义，化简求解即可．
【详解】
由椭圆定义知|PF1|+|PF2|＝2a＝10，椭圆1可知，椭圆的焦点坐标在x轴，
∴a＝5，∴a2＝25，即m＝25．
故选：D．
8．D
【分析】
利用椭圆的定义，由即可求解.
【详解】
由椭圆，则，
所以，
所以.
故选：D
9．A
【分析】
利用椭圆的标准方程求解即可.
【详解】
由题意：，，
，
椭圆右焦点坐标为；
故选：A.
10．C
【分析】
根据长轴长为4，得到，从而得到，进一步得到，最终得到答案.
【详解】
因为长轴长为4，所以，
根据离心率为，得
所以
所以短轴长为.
故选：C.
11．C
【分析】
根据椭圆的标准方程以及性质即可求解.
【详解】
表示焦点在轴上的椭圆，
则，
解得.
所以实数的取值范围是.
故选：C
12．B
【分析】
根据椭圆的方程可得，求出的取值，再根据充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】
若方程表示的曲线为椭圆，
则有，所以且，
故选项A和D非充分条件，选项C为充要条件，选项B为充分不必要条件，
故选：B.
13．
【分析】
先由椭圆方程得到其长轴长，再由椭圆的定义，即可得出结果.
【详解】
因为椭圆的长轴长为，
又为椭圆上一点，与为椭圆的两焦点，
根据椭圆的定义可得.
故答案为：.
14．
【分析】
求出椭圆的顶点和焦点，进而可得，则椭圆方程可求．
【详解】
解：对于直线，
当时，，
当时，，
则椭圆中的，
则，
所以椭圆方程为．
故答案为：．
15．
【分析】
根据方程的形式可得关于的不等式组，从而可得的取值范围.
【详解】
由题设可得，解得.
故答案为：.
16．
【分析】
由点到直线的距离公式列方程可得，再利用即可解决.
【详解】
由题意可知，，
得，
因为，
所以，
故；
故答案为：.
17．（1）（2）
【分析】
（1）根据椭圆的长轴即焦点坐标,可得.由椭圆中满足,即可求得,进而得椭圆的标准方程.
（2）根据,可得点坐标,即可求得的面积．
【详解】
（1）椭圆的长轴长为,两焦点的坐标分别为和
则,且
解得
所以椭圆的标准方程为
（2）为椭圆上一点,轴
所以点的横坐标为,代入椭圆方程可求得点的纵坐标为
不妨设点在轴上方,则
所以
【点睛】
本题考查了椭圆标准方程的求法,椭圆的几何性质简单应用,焦点三角形面积求法,属于基础题.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用点在椭圆上求解基本量得椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程,代入椭圆的方程,利用韦达定理、中点坐标公式以及斜率公式建立方程求解.
【详解】
解：（1）将代入,
得,.
故椭圆方程为.
（2）当直线斜率不存在时不合题意,
故设直线,,的中点为,
由得,
,,
直线经过弦的中点,则,,
,,即直线的斜率为.
【点睛】
本题考查直线方程、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系.
19．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用椭圆的离心率，长轴长为，求出几何量，即可得椭圆的方程；(2) 设点，利用点到直线的距离公式即可求出.
【详解】
（1）由已知得，得 椭圆
（2）设，则
当时，.
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性求的最大值，属于基础题.
20．（1）椭圆的方程为，其准线方程为；(2)．
【解析】
试题分析：（1）由题意知：，解得，，
故椭圆的方程为，其准线方程为 4分
(2)设为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，可设直线的方程为：，
联立方程组，消去得，即，
设，则
∵被轴平分，∴，即，
，
即，
∴于是，
∵，∴，即，∴．
考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算．
点评：中档题，不必太其椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系．曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理．本题（2）涉及新定义问题，注意理解其实质内容．
21．解（I）（II）
【详解】
分析：（1）由题可得，然后根据a,b,c的关系即可得达到b，从而得出方程；（2）先设出过焦点的直线，然后联立方程得出韦达定理，而，故几何韦达定理即可得出有关k的不等式，解不等式即得出结论.
详解：（I）由已知，；,
故椭圆C的方程为
（II）设
则A、B坐标是方程组的解．
消去，则
，
所以k的取值范围是
点睛：解本题要熟悉椭圆的定义和基本性质，对于第二问则比较直接，思路顺畅，直接借助韦达定理即可，此题属于基础题.
22．（Ⅰ）；
（Ⅱ）证明见解析过程.
【分析】
（Ⅰ）根据点M是DN的中点，又，可知PM垂直平分DN.所以，又，所以.这样利用椭圆的定义可以求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设，则，利用斜率公式，可以证明出为定值.
【详解】
（Ⅰ）由点M是DN的中点，又，可知PM垂直平分DN.所以，又，所以.
由椭圆定义知，点P的轨迹是以C，D为焦点的椭圆.
设椭圆方程为.
又可得
所以动点P表示的曲线E的方程为.
（Ⅱ）证明：
易知A（-2,0），B（2,0）. 设，则，即，
则，，
即，
∴为定值．
【点睛】
本题考查了椭圆的定义，考查了斜率的公式，考查了数学运算能力.