选修2-1 第3章空间向量与立体几何 综合检测题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何综合检测题
一、单选题
1．已知空间向量，，若，则实数的值是（ ）．
A． B．0 C．1 D．2
2．若二面角α-l-β的大小为120°,则平面α与平面β的法向量的夹角为(　　)
A．120° B．60°
C．120°或60° D．30°或150°
3．若平面α的一个法向量为=(1,0,1),平面β的一个法向量是=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图,在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)中,E为BC延长线上一点,,则=
A． B．
C． D．
5．与向量平行的一个向量的坐标是(　　)
A． B．(-1,-3,2)
C． D．(,-3,-2)
6．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方体的棱长为，、分别是棱、上的点，若平面，则与的长度之和为（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．已知正方体的棱长为，点在上且，点为的中点，则为（ ）．
A．
B．
C．
D．
9．已知、、，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是（ ）．
A．
B．
C．
D．
10．如图所示，正方形与等腰所在的平面互相垂直，，，、分别是线段、的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
11．已知向量，，若，，则的值是（ ）．
A．或
B．
C．
D．或
12．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知向量且，，，则的值为______.
14．在棱长为的正方体中，是线段的中点，是线段的中点，则直线到平面的距离为__________.
15．如图所示，正方体的棱长为是底面的中心，则到平面的距离为______．
16．在长方体中，，点分别是的中点，则点到直线的距离为__________________.
三、解答题
17．在空间四边形中，是线段的中点，在线段上，且.
（1）试用表示向量；
（2）若，，，，，求的值及
18．如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转一周.
（1）求旋转一周所得旋转体的体积和表面积；
（2）设逆时针旋转至，旋转角为，求异面直线AC与BD所成角的大小.
19．如图，在长方体中，，点E在棱AB上移动
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到平面的距离．
20．如图，正方体中，、分别为、的中点．选用合适的方法证明以下问题：
（1）证明：平面平面；
（2）证明：面．
21．如图，四棱锥中，平面、底面为菱形，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）设，菱形的面积为，求二面角的余弦值.
22．已知长方体中，，，E为的中点.
（1）证明平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．C
【分析】
根据空间向量垂直的性质进行求解即可.
【详解】
因为，所以，因此有.
故选：C
2．C
【分析】
利用法向量的夹角和二面角的关系解答.
【详解】
二面角为120°时,其法向量的夹角可能是60°,也可能是120°.
故答案为C
【点睛】
本题主要考查二面角的大小和法向量的夹角的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
3．D
【分析】
先求出，所以α⊥β,即得平面α与β所成的角.
【详解】
因为=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°.
故选:D
【点睛】
(1)本题主要考查利用面面垂直的向量表示，意在考察学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)两平面的法向量垂直，则两平面互相垂直.
4．B
【分析】
如图所示,取的中点,连接,，再求出，即得解.
【详解】
如图所示,取的中点,连接,
则且,
四边形是平行四边形,
且，
又，
，
故答案为B
【点睛】
本题主要考查平行六面体的性质、空间向量的运算法则，意在考查空间想象能力以及利用所学知识解决问题的能力.
5．C
【分析】
根据向量共线定理判定即可．
【详解】
对于A，由于，所以与向量不共线，故A不正确．
对于B，由题意得向量与向量不共线，故B不正确．
对于C，由于，所以与向量共线，故C正确．
对于D，由题意得向量(,3,2)与向量不共线，故D不正确．
故选C．
【点睛】
判断两个向量是否共线的方法是判断两个向量之间是否满足，其中为常数，本题考查计算能力和变形能力，属于基础题．
6．A
【分析】
以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过C作AC的垂线为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，然后算出平面的法向量和的坐标即可.
【详解】
以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过C作AC的垂线为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
平面的法向量，
设与侧面所成角的大小为，
则，，
与侧面所成角的大小为
故选：A.
7．D
【分析】
以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，利用即可求出.
【详解】
以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，，
∴，，由于平面，
∴，即，
故与的长度之和为.
故选：D．
8．C
【分析】
先以为原点建立如图空间直角坐标系，设，根据已知向量关系直接求点M，再根据向量模长的定义计算即可.
【详解】
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
设，∵点在上且，∴，
∴，，，即，又，
∴.
故选:C.
9．D
【分析】
由点在直线上运动，设，利用数量积的坐标表示求出，根据二次函数的性质得出取最小值时的点的坐标．
【详解】
∵点在直线上运动，∴，
∴
，
∴时取最小值，点坐标为，
故选：D．
10．C
【分析】
先依题意建立空间直角坐标系，写出向量，，再计算夹角余弦值，其绝对值即是所求角的余弦值.
【详解】
根据题意，建立以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，
∴，，∴，，，
∴，∴直线与所成角的余弦值为.
故选：C．
11．A
【分析】
根据，，由求解.
【详解】
因为，，
所以，
解得或，
所以或，
故选：A．
12．A
【分析】
在平行六面体中，结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】
在平行六面体中，为与的交点，
.
故选：A.
13．
【分析】
利用向量平行的性质直接求解．
【详解】
解：向量，3，，，，，且，
，
解得．
故答案为：．
14．
【分析】
先证明平面，再求出平面的法向量和直线的方向向量后可求直线到平面的距离.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系.，
则，
所以，所以，
而平面，平面，故平面，
所以直线到平面的距离即为点到平面的距离.
又，，
设平面的法向量为，
故，取，则，
故点到平面的距离为，
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：点到平面的距离，可利用线面垂直来求解，也可利用斜线的方向向量和平面的法向量来求解，解题中注意合理选择方法.
15．
【分析】
以为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离即可.
【详解】
以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易得,
,
设平面的法向量为,
,令,则，
,
到平面的距离,
故答案为：.
【点睛】
本题考查点到平面的距离的求法，常用的方法有等体积法，垂线法，空间向量方法，利用空间向量方法求解是比较方便的方法.
16．
【分析】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到直线的距离．
【详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，1，，
，，，，1，，
点到直线的距离：
．
点到直线的距离为．
故答案为：．
【点睛】
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
17．（1）；（2），．
【分析】
（1）用向量的线性运算可得．
（2）把用表示后求得数量积，利用求模．
【详解】
（1）；
（2）
，
．
【点睛】
关键点点睛：本题考查空间的基本定理，求向量的数量积和模．解题是选取，其他向量都用基底表示，表示方法可用向量的加法法则、减法法则，数乘的定义进行求解．这是基本方程，当然也可利用向量线性运算中的结论求解．
18．（1）；；（2）
【分析】
（1）利用体积、表面积公式，即可求旋转一周所得旋转体的体积和表面积.
（2）如图建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量的数量积即可求异面直线所成的角．
【详解】
试题解析：
（1）;
（2）如图，建立空间直角坐标系，
，，
由三角比定义，得，即，
则，
，所以
所以异面直线AC与BD所成角为
19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）建立空间直角坐标系，根据空间向量垂直的性质进行证明即可；
（Ⅱ）利用空间点到平面的距离公式进行求解即可.
【详解】
以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间宜角坐标系，
设，
则，，，，．
（Ⅰ）因为，所以．
（Ⅱ）因为E为AB的中点，则，
从而，，，
设平面的法向量为，
则，
也即，得，取，从而，
所以点E到平面的距高为．
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
如图建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可
（1）求出两个平面的法向量，若两法向量共线，则可得证；
（2）求出向量，若此向量与平面的法向量共线，则可得证
【详解】
（1）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，
则，，，，，，
设平面的法向量为，
∵，，
∴，
∴取，
同理平面的法向量为，∴，
∴平面平面；
（2）∵、分别为、的中点，
∴，∴，
∴面．
21．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）连接交于点，连接，则，利用线面平行的判定定理，即可得证；
（2）根据题意，求得菱形的边长，取中点，可证，如图建系，求得点坐标及坐标，即可求得平面的法向量，根据平面PAD，可求得面的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】
（1）连接交于点，连接，
则、E分别为、的中点，所以，
又平面平面
所以平面
（2）由菱形的面积为，，易得菱形边长为，
取中点，连接，因为，所以，
以点为原点，以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系.
则
所以
设平面的法向量，由
得，令，则
所以一个法向量，
因为，，所以平面PAD，
所以平面的一个法向量
所以，
又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为
【点睛】
解题的关键是熟练掌握证明平行的定理，证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明；利用空间向量求解二面角为常考题型，步骤为建系、求点坐标、求所需向量坐标、求法向量、利用夹角公式求解，属基础题.
22．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）连结，与交于点，可得，结合平面，根据线面平行的判断定理可证明平面；
（2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，及，设直线与平面所成角为，可得，计算即可.
【详解】
（1）连结，与交于点，则为的中点，又E为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，得，
设直线与平面所成角为，则.