选修2-1 第3章空间向量与立体几何 基础检测题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何基础检测题
一、单选题
1．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
2．若向量，向量，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知三棱柱，点为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
6．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．如图，在正方体中，（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，则，的夹角是（ ）
A． B． C． D．
9．在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．在长方体中，，，，则与所成角的余弦值是（　　）
A．0 B．
C． D．
11．若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( )
A．，， B．，，
C．，， D．，，
12．已知,则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，，那么向量___________.
14．如图，在棱长为1的正方体中，求点到直线的距离______.
15．已知两个不同的平面，的法向量分别是和，则平面，的位置关系是________.
16．如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求______．
三、解答题
17．如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系.
（1）求平面ABCD的一个法向量；
（2）求平面SAB的一个法向量；
（3）求平面SCD的一个法向量.
18．如图,在三棱锥中,是等边三角形,,点是 的中点,连接．
（1）证明:平面平面;
（2）若,且二面角为,求直线与平面所成角的正弦值．
19．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求AM与平面A1MD所成角的正弦值．
20．已知两两垂直,,为的中点，点在上，.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）若点在线段上，设,当时，求实数的值．
21．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
（）求与平面所成角的正弦．
（）求二面角的余弦值．
22．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；
（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；
（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．
参考答案
1．C
【分析】
利用数量积的坐标运算检验各个选择之中的向量与平面的法向量的数量积是否为零，即可得出.
【详解】
∵平面，∴平面的一个法向量与平面的法向量垂直，即它们的数量积为0.
对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查垂直的平面的法向量的关系和向量的垂直的坐标表示，属基础题.一般地，两个平面垂直的充分必要条件是其法向量垂直，然后利用空间向量的垂直的坐标表示检验即可.
2．C
【分析】
利用向量的减法可求的坐标.
【详解】
，
故选：C.
3．D
【分析】
根据空间向量的线性运算求解即可
【详解】
解：在三棱柱，点为线段的中点，则
，
所以
，
故选：D
4．C
【分析】
由计算可得．
【详解】
∵，∴，解得．
故选：C．
5．B
【分析】
先求得，再利用空间向量模的公式计算.
【详解】
∵，，,,
故选：B.
【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算和向量的模的计算，属基础题.
可以熟记，直接计算.
6．C
【分析】
利用可得，逐一检验即可得正确选项.
【详解】
对于选项A：，故选项A不正确；
对于选项B：，故选项B不正确；
对于选项C：，所以，所以，故选项C 正确；
对于选项D：，故选项D不正确；
故选：C
7．B
【分析】
根据正方体的性质，结合向量加减法的几何意义有，即可知所表示的向量.
【详解】
∵，而，
∴，
故选：B
8．A
【分析】
利用可求夹角的大小.
【详解】
由题意可得，因为，
则 的夹角是，
故选：A.
9．C
【分析】
建立空间直角坐标系，写出点和点坐标，利用空间中两点间距离公式即可求解.
【详解】
如图：建立以为原点的空间直角坐标系，
则，，，
∴，
故选：C
10．A
【分析】
先建立空间直角坐标系，写出与的坐标，结合向量夹角公式可求.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
所以，，所以，所以与所成角的余弦值为0.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查异面直线所成角的求解，建立空间直角坐标系，把异面直线所成角转化为向量的夹角求解是常用思路，侧重考查数学运算的核心素养.
11．C
【分析】
验证各组向量是不是共面，共面的不能作为基底，不共面的可作为基底。
【详解】
∵是空间的一个基底，，
∴，，中三个向量是共面的，不能作为基底，其它三个选项中的三个向量都是不共面的，都可作为基底。
故选：C。
【点睛】
本题考查空间向量的基底的概念，空间任何不共面的三个向量都可以作为基底。关键是三向量不共面。
12．A
【分析】
根据向量的坐标即可求出,从而得出,这样即可得出与的夹角．
【详解】
解：，，
∴,
∴,
∴与的夹角为90°．
故选A．
【点睛】
本题考查了空间向量数量积的坐标运算,向量垂直的充要条件,向量夹角的定义,考查了计算能力,属于基础题．
13．
【分析】
由空间向量的线性坐标运算可得答案.
【详解】
因为，，所以，
故答案为：.
14．
【分析】
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，取，，从而可得点到直线的距离.
【详解】
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，， ，1，，
，，
取，，
，，
则点到直线的距离为.
故答案为：.
【点睛】
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
15．
【分析】
由题可得，则得，即.
【详解】
，，
，，
.
故答案为：.
16．1
【分析】
利用空间向量的加减法运算用来表示，即得结果.
【详解】
，
故，，，则．
故答案为：1.
17．（1）(0，0，1)；（2），0，0 ；（3）(2，-1，1).
【分析】
以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系：
（1）由法向量的定义可知，是平面ABCD的一个法向量；
（2）可证AD⊥平面SAB，所以是平面SAB的一个法向量；
（3）设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，根据⊥，⊥，计算可得结果.
【详解】
以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，0，0，S(0，0，1).
（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.
（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，
∴=，0，0是平面SAB的一个法向量.
（3）在平面SCD中，=，1，0，=(1，1，-1).
设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，则⊥，⊥，∴
得方程组
令，则，，∴=(2，-1，1).
所以=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量.
【点睛】
本题考查了平面的法向量的求法，属于基础题.
18．（1）见解析（2）
【分析】
（1）由是等边三角形,,得．再证明,,从而和证明平面,故平面平面得证．
（2）作,垂足为连接．由,证得结合二面角为,可得,,.建立空间直角坐标系,求出点的坐标则,,向量,即平面的一个法向量,运用公式和,即可得出直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
解:（1）证明:因为是等边三角形,,
所以,可得．
因为点是的中点,则,,
因为,平面PBD,平面,
所以平面,因为平面,
所以平面平面．
（2）如图,作,垂足为连接．
因为,
所以为二面角A-BD-C的平面角．
由已知二面角为,知．
在等腰三角形中,由余弦定理可得．
因为是等边三角形,则,所以．
在中,有,得,
因为,所以．
又,所以．
则,．
以为坐标原点,以向量的方向分别为轴,轴的正方向,
以过点垂直于平面的直线为轴,建立空间直角坐标系,
则,,向量,
平面的一个法向量为,
设直线与平面所成的角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小,考查空间想象力和是数形结合的能力,属于基础题.
19．（1）见解析（2）
【分析】
要证线面平行，先证线线平行
建系，利用法向量求解。
【详解】
（1）连接ME，BC
∵M，E分别为B1B，BC的中点
∴
又∵
∴A1DCB1是平行四边形
∴
∴
∴NDEM是平行四边形
∴NM∥DE
又NM平面C1DE
∴NM∥平面C1DE
(2)由题意得DE与BC垂直，所以DE与AD垂直：以D为原点，DA，DE，DD1三边分别为x，y，z轴，建立空间坐标系O-xyz
则A（2，0，0），A1（2，0，4），M（1，，2）
设平面A1MD的法向量为
则
∴
解得
又
∴
∴AM与平面A1MD所成角的正弦值.
【点睛】
要证线面平行，可证线线平行或面面平行。
求线面所成角得正弦值，可用几何法做出线面角，再求正弦值；或者建立空间直角坐标系，利用法向量求解。
20．（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）建立空间直角坐标系，写出的坐标，从而可得的长；
（Ⅱ）利用垂直，向量数量积为0，求出的值.
【详解】
（Ⅰ）由题意， 以OA,OB,OC分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，

由于为的中点，点在上，可得,

（Ⅱ）设 ，且点在线段上



【点睛】
本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解线段的长度，利用空间向量解决空间的垂直问题.
21．(1) .
(2) .
【解析】
分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.
详解：
（）∵是矩形，
∴，
又∵平面，
∴，，即，，两两垂直，
∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，
由，，得，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故与平面所成角的正弦值为．
（）由（）可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故二面角的余弦值为．
点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.
22．（I）（II）
【详解】
试题分析:（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案．
解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），
∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），
∴cos＜，＞==
∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），
设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），
则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），
设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=
∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：
考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．