选修2-1 第2章圆锥曲线与方程-椭圆 综合测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

椭圆综合测试题
一、单选题
1．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A． B．8 C．2 D．4
2．椭圆的一个焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，过点的动直线l交椭圆于A，B两点.若的周长为8，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
5．椭圆的焦点坐标是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．已知椭圆C：1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆，则椭圆C的（ ）
A．焦距为 B．焦点在x轴上 C．离心率为 D．长轴长为4
8．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右顶点，离心率为.过的直线上存在点，使得轴，且是等腰三角形，则直线的斜率为（ ）.
A． B． C． D．
9．若直线y＝kx＋1与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．m>1 B．m>0
C．010．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
11．已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为（1，），则G的方程为（ ）
A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系中，定义称为点的“和”，其中为坐标原点，对于下列结论：（1）“和”为1的点的轨迹围成的图形面积为2；（2）设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2；（3）设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个”的充要条件是；（4）设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为.其中正确的结论序号为（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）
二、填空题
13．椭圆的焦点分别是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的________倍.
14．如图所示，已知是椭圆()的左焦点，是椭圆上的一点，轴，(为原点)，则该椭圆的离心率是________.
15．设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为________．
16．已知为椭圆的右焦点.直线与椭圆C相交于A，B两点，A，B的中点为P，且直线OP的斜率，则椭圆C的方程为_______________.
三、解答题
17．若椭圆C1：的离心率等于，抛物线C2：x2＝2py（p>0）的焦点是椭圆C1的一个顶点．
（1）求抛物线C2的方程；
（2）若过M（－1,0）的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．
18．
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．
19．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于?两点，求中点的坐标和长度.
20．已知椭圆的焦点在轴上，左顶点为，离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值.
21．已知椭圆的离心率为，且经过点，，是椭圆的左?右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上，且，求的值.
22．已知圆O：x2＋y2＝1，点A(－1,0)，点B(1,0).点P是圆O上异于A，B的动点.
（1）证明：kAP·kBP是定值；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，求点M的轨迹方程C；
（3）证明：kAM·kBM是定值.
参考答案
1．A
【分析】
根据椭圆的方程求解a,b的值，即可得到答案，
【详解】
由题意， 且，∴．
故选:A．
【点睛】
本題考查了椭圆的几何性质，属于基础题．
2．D
【分析】
直接根据椭圆的方程求出，再根据焦点在轴，即可得答案；
【详解】
，又椭圆的焦点在轴，
椭圆的一个焦点为，
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆的焦点坐标，属于基础题.
3．D
【分析】
根据题意可得，又，可得，进而利用即可求解.
【详解】
由椭圆的右焦点为知，
又，∴，，
所以椭圆方程为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了椭圆方程与椭圆的几何性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
4．C
【分析】
由椭圆的定义得即得解.
【详解】
根据椭圆的定义，的周长为
故选：C
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
5．D
【分析】
根据椭圆的方程及性质求解即可.
【详解】
因为椭圆中，，所以，即，
又因为焦点在轴上，所以焦点坐标为.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据椭圆的标准方程求解焦点坐标，属于简单题.
6．C
【分析】
由焦点坐标确定长半轴长是，利用关系求得，再计算离心率．
【详解】
椭圆C：1的一个焦点为(2，0)，
可得a2﹣4＝4，解得a＝2，
∵c＝2，∴e．
故选：C．
【点睛】
本题考查求椭圆的离心率，掌握的关系是解题基础．
7．D
【分析】
根据椭圆的方程得焦点在轴上的椭圆，且，进而得焦距为，离心率为，长轴长.
【详解】
解：因为椭圆的方程，
所以椭圆是焦点在轴上的椭圆，且，所以，
所以焦距为，离心率为，长轴长.
故选：D.
8．C
【分析】
通过离心率可得，再利用几何关系可得，从而可得斜率.
【详解】
根据题意可得，得，
由可得（因为显然为钝角）.
所以，又.
所以.
所以，
所以.
故选：C.
9．D
【分析】
求出直线恒过的定点，根据题意，该定点必在椭圆内或椭圆上，根据点与椭圆的位置关系，代入点的坐标，即可求得结果.
【详解】
由于直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，且直线y＝kx＋1与椭圆总有公共点，
所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则且m≠5，解得m≥1且m≠5.
故选：D
10．A
【分析】
根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.
【详解】
因为P是焦点为，的椭圆上的一点，为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点M，所以，
，
所以由题意得是的中位线，所以，
所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q与y轴重合时，
Q与短轴端点取最近距离
故选：A.
11．D
【分析】
设，代入椭圆的标准方程，两式作差可得，由=，9==，即可求解.
【详解】
设，则=2，=－2，
， ① ， ②
①－②得，
∴===，
又==，
∴=，又9==，
解得=9，=18，
∴椭圆方程为，
故选：D
【点睛】
关键点点睛：涉及弦的中点问题，利用点差法，考查了“设而不求”的思想，属于中档题.
12．B
【分析】
根据新定义“和”，通过数形结合判断（1）正确，通过研究函数最值对选项（2）（3）（4）逐一判断即可.
【详解】
（1）当时，点的轨迹如图，其面积为2，正确；
（2）是直线上的一点，，
可知，，时递减，时递增，故的最小值在时取得，，正确；
（3）同（2），，可知当时，都满足，“和”最小的点有无数个，故错误；
（4）可设椭圆参数方程为，
易知其最大值为，正确.
故选：B.
【点睛】
本题的解题关键是认真读题，理解新定义“和”，再通过数形结合和函数最值的研究逐一判断即突破难点.
13．7
【分析】
根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可设P(3，b)，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解.
【详解】
由＝1可知，，所以，
所以F1(－3，0)，F2(3，0)，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
∴可设P(3，b)，
把P(3，b)代入椭圆＝1，得.
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
∴.
故答案为：7
14．
【分析】
由三角形相似可得，从而可知，再结合即可求出离心率.
【详解】
，又与相似，则，
解得，又得.
故答案为: .
15．15
【分析】
利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可.
【详解】
由椭圆方程可得：，，
由椭圆的定义可得：，
，
则的最大值为15.
故答案为：15.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．
【分析】
设，A，B的中点为，则由题意知，，由A，B是椭圆上不重合的两点，则，两式相减可得，即，再结合，即可求得椭圆C的方程.
【详解】
设，A，B的中点为，则由题意知，
由A，B是椭圆上不重合的两点，则，
两式相减得，
整理可得，即 ，即，
又，解得：
所以椭圆C的方程为
故答案为：
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
17．
【解析】
试题分析：（1）利用椭圆与抛物线的几何性质进行求解；（2）设出直线与抛物线的方程，结合导数的几何意义进行求解．
试题解析：（1）已知椭圆的长半轴长为a＝2，半焦距c＝，
由离心率得，b2＝1．
∴椭圆的上顶点为（0,1），即抛物线的焦点为（0,1），
∴p＝2，抛物线的方程为x2＝4y．
（2）由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y＝k（x＋1），E（x1，y1），F（x2，y2），
∵y＝x2，∴y′＝x，∴切线l1、l2的斜率分别为x1、x2，
当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1·x2＝－4，
由得x2－4kx－4k＝0，
由Δ＝（－4k）2－4×（－4k）>0，解得k<－1或k>0．
又x1·x2＝－4k＝－4，得k＝1，满足Δ>0
∴直线l的方程为x－y＋1＝0．
考点：1．椭圆与抛物线的几何性质；2．直线与抛物线的位置关系；3．导数的几何意义．
18．（Ⅰ）
（Ⅱ）点的轨迹方程为
【解析】
（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．
解得，从而得到．
直线的方程为，整理得．
由题设，原点到直线的距离为，即，
将代入上式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为．
过点作，垂足为，易知，故．
由椭圆定义得，又，
所以，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：设点的坐标为．
当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．
点的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，
整理得，
于是，．
由①式得
．
由知．将③式和④式代入得，
．
将代入上式，整理得．
当时，直线的方程为，的坐标满足方程组
所以，．
由知，即，
解得．
这时，点的坐标仍满足．
综上，点的轨迹方程为．
解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．
记（显然），点的坐标满足方程组
由①式得． ③
由②式得． ④
将③式代入④式得．
整理得，
于是． ⑤
由①式得． ⑥
由②式得． ⑦
将⑥式代入⑦式得，
整理得，
于是． ⑧
由知．将⑤式和⑧式代入得，
．
将代入上式，得．
所以，点的轨迹方程为．
19．（1）；（2）中点坐标为，.
【分析】
（1）由题意设出椭圆方程并求得，由椭圆定义求得，再由隐含条件求得，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得的中点坐标，再由弦长公式求弦长．
【详解】
解：（1）由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，
由椭圆定义知，
，
所以，所以，
所求椭圆标准方程为.
（2）设直线与椭圆的交点为，，
联立方程，得，
得，.
设的中点坐标为，则，，
所以中点坐标为.
由弦长公式.
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意得，求出，从而可求出，进而可求出椭圆的方程；
（2）设，两点的坐标分别为，，直线的方程为，再将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系和弦长公式可求得结果
【详解】
解：
（1）设椭圆的方程为．
由题意得
解得，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）设，两点的坐标分别为，，直线的方程为，
由
消去，得，
则，，
，得，
所以

因为，所以当时，.
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据离心率公式，可得，将点坐标带入方程，结合，即可求得a，b的值，即可求得答案；
（2）根据椭圆定义，结合条件，可得的值，根据余弦定理，可求得的值，带入数量积公式，即可求得答案.
【详解】
（1）依题意有，，，
解得，，则椭圆的方程为.
（2）因为点在椭圆上，由椭圆定义得：
所以，解得 ，，
在中，由余弦定理，
.
22．（1）证明见解析；（2）x2＋＝1(x≠±1)；（3）证明见解析.
【分析】
（1）根据AB是圆O的直径，点B(1,0).点P是圆O上异于A，B的动点求解.
（2）设P(m，n)，M(x，y)，则Q(m,0)，根据，得到，代入x2＋y2＝1求解.
(3)由kAM＝ ，kBM＝运算求解.
【详解】
（1）由已知，直线AP，BP的斜率存在，AB是圆O的直径，
所以AP⊥BP，
所以kAP·kBP＝－1是定值.
（2）设P(m，n)，M(x，y)，则Q(m,0)，
则 ＝(0，－n)，＝(x－m，y－n)，
因为，
所以2(0，－n)＝－(x－m，y－n)，
得 ，即，　①
因为点P在圆O上，所以m2＋n2＝1，　②
将①代入②，得x2＋＝1，
又点P异于A，B，
所以x≠±1，即点M的轨迹方程C为x2＋＝1 (x≠±1).
(3)由已知，直线AM，BM的斜率存在，
kAM＝ ，kBM＝，
由(2)知，x2－1＝－，
所以kAM·kBM＝=＝－9，
即kAM·kBM是定值.
【点睛】
方法点睛：求轨迹方程的常用方法
1．直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程了．
2．定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程．
3．相关点法：动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.