选修2-2 第1章导数及其应用 基础测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

人教A版选修2-2第一章导数及其应用基础测试题
一、单选题
1．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．
3．设函数的图象如图所示，则导函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数在处的导数的几何意义是（ ）
A．在点处与的图象只有一个交点的直线的斜率
B．过点的切线的斜率
C．点与点的连线的斜率
D．函数的图象在点处的切线的斜率
5．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
6．若（m为常数），则等于（ ）
A． B．1 C．m D．
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（ ）
A．的极值点一定是最值点
B．的最值点一定是极值点
C．在区间上可能没有极值点
D．在区间上可能没有最值点
9．过原点作曲线的切线，则切线的斜率为（ ）
A．e B． C．1 D．
10．如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．定义方程的实数根为函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，P为曲线上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数的导函数_________．
14．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______.
15．若函数在内是增函数，则实数b的取值范围是_________．
16．函数y＝f（x）的图象在A（2，f（2））处的切线方程是y＝3x﹣1，则f（2）+f′（2）＝__．
三、解答题
17．若，，求：
（1）的单调增区间；
（2）在上的最小值和最大值.
18．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.
（1）求函数f(x)＝x＋在上的值域；
（2）若?x1∈，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围.
19．设与是函数的两个极值点.
（1）试确定常数和的值；
（2）求函数的单调区间；
20．已知函数．
（1）求函数的单调区间．
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
21．设函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）证明当时，.
22．已知函数的图象在点处的切线方程为.
(Ⅰ)用表示出；
(Ⅱ)若在上恒成立，求的取值范围；
(Ⅲ)证明:．
参考答案
1．B
【分析】
根据导数的计算公式，以及导数的运算法则，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误．
故选：B．
2．D
【分析】
首先求出函数的导函数，再代入求值即可；
【详解】
解：因为，所以，.
故选：D
3．C
【分析】
根据函数的增减与导数的正负的关系判断.
【详解】
∵在，上为减函数，在上为增函数，
∴当或时，；当时，．
故选：C．
4．D
【分析】
由导数的几何意义即可求解.
【详解】
解：的几何意义是函数的图象在点处的切线的斜率．
故选：D.
5．D
【分析】
由可解得结果.
【详解】
由题意得，函数的定义域为，
．
令，得，解得，
故函数的单调递减区间为．
故选：D
6．D
【分析】
根据导数的概念，直接计算，即可得出结果.
【详解】
由题意，根据导数的概念可得，
，
所以.
故选：D.
7．D
【分析】
利用基本初等函数的导数公式可求得.
【详解】
，因此，.
故选：D.
8．C
【分析】
根据连续函数的极值和最值的关系即可判断．
【详解】
根据函数的极值与最值的概念知，的极值点不一定是最值点，的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数在区间上单调，则函数在区间上没有极值点，所以C正确．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题．
9．B
【分析】
先设出切点坐标为，则由导数的几何意义可得切线的斜率为，从而可得切线方程为，再将原点坐标代入可得切点的纵坐标，再将代入曲线方程中可求出的值，进而可得切线的斜率
【详解】
解：设切点坐标为，
由，得，所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过原点，所以，得，
因为切点在曲线上，所以，解得，
所以切线的斜率为，
故选：B
10．B
【分析】
通过读图由取值符号得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案．
【详解】
由图象，设与轴的两个交点横坐标分别为、其中，
知在，上，
所以此时函数在，上单调递增，
在上，，此时在上单调递减，
所以时，函数取得极大值，时，函数取得极小值．
则函数的极小值点的个数为1．
故选: B
【点睛】
本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题．
11．C
【分析】
根据题干中的新定义分别求出函数的导函数，分别解方程求出a，b，c，或者根据零点存在性定理求出a，b，c的范围即可求解.
【详解】
由可得，
令，解得，即．
由可得，
设，
当时，，
当时，，
故．
由可得，
令，得，
则，
又，所以，得，即．
综上可知，．
故选：C．
12．D
【分析】
设点P的横坐标为，利用导数求切线的斜率，根据倾斜角范围求斜率范围，建立不等式即可求解.
【详解】
设点P的横坐标为，则点P处的切线倾斜角与的关系为．
∵，
∴，
∴，即，
∴点P的横坐标的取值范围为．
故选：D
13．
【分析】
利用函数的求导公式和法则计算即可求解.
【详解】
由，
得，
故答案为：.
14．
【分析】
对求导，求出，利用切线与直线垂直，即斜率互为负倒数，列式计算．
【详解】
由题意得，，则，
则，
解得.
故答案为：．
15．
【分析】
由题意得在内恒成立，分离参数即得解.
【详解】
由题意得在内恒成立，
即在内恒成立，
所以．
故答案为：
【点睛】
结论点睛：一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增函数≥0，一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是减函数≤0
16．8
【分析】
由切线方程和导数的几何意义求出（2）和（2）的值，再相加即可．
【详解】
∵在点（2，f（2））处的切线方程为y＝3x﹣1，
∴f（2）＝6﹣1＝5，f′（2）＝3，
∴f（2）+f′（2）＝8，
故答案为：8．
17．(1) 增区间为;(2) .
【解析】
分析：（1）求导，解不等式得到的单调增区间；
（2）求出极值与端点值，经比较得到在上的最小值和最大值.
详解：
（1），
由 解得，
的增区间为；
（2）， （舍）或，
, ,
，

点睛：函数的最值
(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）先求导数，判断函数单调性，结合单调性求解值域；
（2）把条件转化为，分别求解的最小值可得实数a的范围.
【详解】
（1），
因为，所以，即函数为减函数，
因为，所以值域为.
（2）因为?x1∈，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，
所以，
因为，所以，
所以，即.
19．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先对函数进行求导，根据可求出和的值．
（Ⅱ）将和的值代入导函数，然后根据函数的单调性与其导函数之间的关系可判断函数的单调性．
试题解析：
（1）
由题意可知：


（2）
20．（1）单调增区间 单调减区间 （2）
【解析】
试题分析：（1）对函数求导，令，解不等式，即得到递增区间，令，解不等式，即得递减区间；（2）若对恒成立，即对恒成立，所以问题转化为求成立即可，即求函数在区间上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在上的最小值，于是可以求出的取值范围。
试题解析：（1）令，解得或，
令，解得：.
故函数的单调增区间为，单调减区间为.
（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
∴，
∵对恒成立，
∴，即，∴
21．(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) 见解析.
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 求导得，分，，三种情况讨论可得的单调区间.
(Ⅱ)当时，和可得所有的，；
当时，易知上均有.
只需考虑时，此时，分和两种情况讨论即可.
试题解析：(Ⅰ) .
①当时，，当时，，
当时，.当时，.∴在递增
②当时，令，得，此时.
易知在递增，递减，递增
③当时，.易知在递增，递减，递增
(Ⅱ)当时，，
①若时，可知，
②若时，由(Ⅰ)知在上单调递增，则有
因此，当时，对所有的，；
当时，由(Ⅰ)可知易知在递增，递减，递增，
且，因此在上均有.
下面考虑时，此时
，其中， .
设，则
①若，则，，而
∴，∴，即.
此时在递增，故；
②若，则
由①②可知，二次函数.
因此在时，总有.
综上，当时，对所有的,.
点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立证明问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.
22．（Ⅰ）,；（Ⅱ）；（III）见解析.
【解析】
试题分析：（1）通过函数的导数，利用导数数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出即可；（2）利用，构造函数，问题可转化为在上恒成立，利用导数求出函数上最小值大于，即可求出的取值范围；（3）由（1）可知时，在上恒成立，则当时，在上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证的结论；或利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．
试题解析：（1），则有，解得，
（2）由（1）知，，
令，
则，
①当时，，
若，则是减函数，所以，
即，故在上不恒成立．
②当时，．
若，则是增函数，所以，
即，故当时，．
综上所述，所求的取值范围为．
（3）解法一：由（2）知：当时，有，
令，有，且当时，．
令，有，
即．
将上述个不等式依次相加得，
整理得．
解法二：用数学归纳法证明．
（1）当时，左边=1，右边=，不等式成立．
（2）假设时，不等式成立，就是、
．
那么．
由（2）知：当时，有，
令，有．
令，得：，
∴，∴．
这就是说，当时，不等式也成立．
根据（1）和（2），可知不等式对任何都成立．
考点：函数的恒成立；利用导数在闭区间上函数的最值；领用导数研究曲线上某点切线方程；数学归纳法及数列求和．
【方法点晴】本题主要考查了函数与导数的关系、曲线切线方程的求解、函数恒成立问题的应用、同时涉及到累加法与裂项法的应用、数学归纳法的应用等知识，知识综合能力较强，方法多样、思维量与运算大，属于难题，需要仔细审题、认真解答，同时着重考查了转化与化归思想及分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用，构造函数，问题可转化为在上恒成立，利用导数求出函数上最小值大于，即可求出的取值范围；第三问中可对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证的结论；或利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．