选修2-2 第1章导数及其应用 综合测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

人教A版选修2-2第一章导数及其应用综合测试题
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．甲、乙两厂污水的排放量W与时间的关系如图所示，则治污效果较好的是（ ）
A．甲厂 B．乙厂 C．两厂一样 D．不确定
4．下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．若为奇函数，，则在处的切线方程为( )
A． B． C． D．
6．已知函数，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，则的值为（ ）
A．10 B． C． D．20
8．已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率
B．在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率
C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率
D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率
9．函数（ ）
A．在上是增函数
B．在上是减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
10．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．函数的极大值点为
B．函数在上单调递减
C．函数在上有3个零点
D．函数在原点处的切线方程为
12．设奇函数在R上存在导函数，且在上，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，则__________．
14．已知是函数的极值点，则实数的值为_______．
15．已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递减区间为___________．
16．若函数的图象总在直线的上方，则实数的取值范围是______.
三、解答题
17．已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)求证：当时，.
18．已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若在区间上单调递增，试求的取值或取值范围
19．已知函数图象上两点、.
（1）若割线的斜率不大于，求的范围；
（2）求函数的图象在点处切线的方程.
20．已知函数.
（1）若在时有极值，求a的值；
（2）在直线上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线相切？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
21．如图，已知点，直线与函数的图象交于点，与轴交于点，记的面积为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的最大值.
22．已知函数，，.
（1）求函数的极值点；
（2）若时，求证：.
参考答案
1．D
【分析】
利用导数的运算法则可求得，进而可求得的值.
【详解】
由题意，得，则，
故选：D．
2．C
【分析】
利用基本初等函数的导数公式可逐项判断各选项中导数运算的正误.
【详解】
，故A不正确；
，故B不正确；
，故C正确；
，故D不正确．
故选：C．
3．B
【分析】
比较与、与的大小关系，可比较出两厂的平均治污率的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
在处，虽然有，但，
所以在相同时间内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好．
故选：B.
4．C
【分析】
根据幂函数、知识函数的图象与性质可判断A，B，D的单调性，然后利用导数判断C选项的增减性．
【详解】
对于A选项，函数为偶函数，在上递增，在上递减；
对于B选项，函数在上递减；
对于C选项，在上恒成立，则函数在其定义域上递增；
对于D选项，函数在上递减.
故选：C．
5．C
【分析】
由为奇函数可求出，从而求出导数，根据导数的几何意义即可求出答案．
【详解】
解：∵为奇函数，
∴，∴，
∴，则，
由导数的几何意义知在点处的切线斜率，
则在点处的切线方程为，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查根据导数的几何意义求切线方程，考查函数奇偶性的应用，属于基础题．
6．A
【分析】
判断的奇偶性，利用导数判断上的单调性，根据单调性以及奇偶性比较大小即可.
【详解】
易知为偶函数
∴
∵，当时，，∴在上为增函数
∴
∴
故选：A
7．C
【分析】
利用解析式求出在处的导数值，则由可求出.
【详解】
∵，∴，∴，
∴．
故选：C．
8．D
【分析】
由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断.
【详解】
解：∵在a到b之间的平均变化率是，
在a到b之间的平均变化率是，
又，，
∴，
∴A、B错误；
易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数，
即函数在该点处的切线的斜率，
同理可得：函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，
即函数在该点处的切线的斜率，
由题中图象可知：
时，函数在处切线的斜率有可能大于在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故C错误，D正确．
故选：D．
9．A
【分析】
求出，然后可判断出答案.
【详解】
，
当时，，
∴在上是增函数．
故选：A
10．C
【分析】
构造函数，用导数研究其单调性，再将不等式转化为，即求解.
【详解】
因为满足，，
令，
则，
所以在R上是增函数，
又，则，
不等式可化为，
即，
所以，
所不等式的解集是，
故选：C
11．D
【分析】
对函数求导，通过判断函数的单调性求极值点以及零点个数等.
【详解】
A选项：由，得，令，
得，故，，为减函数，
，，为增函数，所以
是函数的极小值点，无极大值点，故A错；
B选项: 当，为减函数，故B错；
C选项：由函数单调性可知函数至多有两个零点，故C错；
D选项：切线斜率，所以切线方程为，D正确.
故选：D
【点睛】
求切线方程的步骤：①确定切点；②确定斜率；③点斜式写切线方程.
12．D
【分析】
构造函数，再根据函数的奇偶性以及单调性解不等式即可.
【详解】
解：，
即，
构造函数，
由题意知：在上，，
故在上单调递减，
为奇函数，
，
即为奇函数，
故在R上单调递减，
因此原不等式可化为：，
即，解得.
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题.
13．
【分析】
先把函数进行分母有理化，化简后再利用复合函数的求导法则求导数．
【详解】
．
设，
则
．
故答案为：．
14．
【分析】
由已知条件可得出，可求得的值，然后分析导数在附近的符号变化，由此可求得实数的值.
【详解】
由，得．
因为是的极值点，所以，即，所以．
此时，当时，；当时，．
因此是函数的极小值点，即符合题意．
故答案为：.
【点睛】
易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算，求得的值，再验证极值点．由于导数为的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．
15．、
【分析】
利用图象得出不等式的解集，再利用导数可求得函数的单调递减区间.
【详解】
由图象可知，不等式的解集为，
，，
由，可得，解得.
因此，函数的单调递减区间为、．
故答案为：、.
【点睛】
思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：
（1）求函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调增区间；
（4）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调减区间.
16．
【分析】
根据图象关系，利用分离变量法将问题转化为恒成立问题，令，利用导数可求得，则.
【详解】
图象总在上方，恒成立，
定义域为，恒成立，
令，，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，，
，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：分离变量法是处理恒成立问题的基本方法，若恒成立，则；若恒成立，则.
17．(1)f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)；(2)见解析.
【分析】
(Ⅰ)明确定义域，求出导函数，解不等式即可得到函数的单调区间；
(Ⅱ)作差构造新函数，研究函数的最值即可.
【详解】
(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，
∵f′(x)＝2x-2=，
由f′(x)>0， 得x>1; 由f′(x)<0， 得0∴f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)．
(2)设g(x)＝f（x）-3x+1=x2－2lnx-3x+4，
∴g′(x)＝2x-2--3=，
∵当x>2时，g′(x)>0，
∴g(x)在(2，＋∞)上为增函数，
∴g(x)>g(2)＝4-2ln2-6+4>0，
∴当x>2时， x2-2lnx>3x-4,
即当x>2时..
【点睛】
本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．
18．（1）极大值为1，极小值为；（2）.
【解析】试题分析：（1）当时，令导数等于零得极值点，代入函数求得极值；（2）若在区间上是单调递增函数，则在区间内恒大于或等于零，讨论求得.
试题解析：（1）当时，，∴，
令，则，， 2分
、和的变化情况如下表





+
0

0
+

极大值

极小值

即函数的极大值为1，极小值为； 5分
（2），
若在区间上是单调递增函数， 则在区间内恒大于或等于零， 6分
若，这不可能， 7分
若，则符合条件， 9分
若，则由二次函数的性质知
，即，这也不可能， 13分
所以14分
考点：利用导数求函数极值、二次函数、利用导数研究函数单调性.
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）求出割线的斜率（平均变化率），解不等式可得；
（2）求出进的瞬时变化率即的斜率，然后可得切线方程．
【详解】
（1）由题意得，割线的斜率为
，
由，得，
又因为，所以的取值范围是.
（2）由（1）知函数的图象在点处切线的斜率为
，
又，
所以切线的方程为，
即.
20．（1）；（2）不存在；答案见解析.
【分析】
（1）对函数进行求导，根据极值的定义进行求解即可；
（2）设点P坐标，切点坐标，利用导数的意义求出切线方程，通过构造函数，利用导数进行求解即可.
【详解】
解析（1）由，
得，
由在时有极值，可得，解得.
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因此当时，有极值.
所以a的值为.
（2）不妨设在直线上存在一点，使得过点P至少有两条直线与曲线相切.
设过点P且与相切的直线为l，切点坐标为，
则切线l的方程为，
又直线l过点，所以，
即，
设，
则，
所以在区间上单调递增，
所以至多有一个解，
即过点P且与相切的直线至多有一条，
故在直线上不存在点P，使得过P至少有两条直线与曲线相切.
21．（1）；（2）8.
【分析】
（1）根据题中条件，得到，，进而可求出函数解析式；
（2）对函数求导，根据导数的方法，即可求出最值.
【详解】
（1）由题意，可得：，，
所以的面积为，.
（2）由（1）可得，，
由得，
函数与在定义域上的情况如下：

3
+ 0
↗ 极大值 ↘
所以当时，函数取得极大值，也是最大值8.
【点睛】
思路点睛：
导数方法求函数最值时，需要先对函数求导，根据导数的方法研究函数的单调性，由函数在给定区间的单调性，即可求出极值，从而可得最值.
22．（1）函数有极大值点为，无极小值点；（2）证明见解析.
【分析】
（1）的定义域为，.对分类讨论，即可得出单调性极值.
（2）令，，令，令，即，可得为极大值点，因此，由式得，由，可得，令，利用其单调性即可得出结论.
【详解】
解：（1）的定义域为，.
当时，，
∴函数在上单调递增，无极值点；
当时，由，解得；由，解得.
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴函数有极大值点为，无极小值点.
（2）证明：令，
，
令
令，即，设，
在上单调递增，在上单调递减.
∴，
由式得，
由得：，由，所以可得，
令，
则在上单调递增，∴.
∴，
∴，
∴时，.
【点睛】
方法点睛：对于这样类型的恒成立问题，通常的方法是构造新函数，再利用导数进行证明即可.