选修2-2 第1章导数及其应用-导数中极值与最值 基础测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

导数中极值与最值基础测试题
一、单选题
1．函数在处取得极值，则（ ）
A．，且为极大值点 B．，且为极小值点
C．，且为极大值点 D．，且为极小值点
2．如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数
B．在x＝1时，f（x）取得极大值
C．在（4，5）内f（x）是增函数
D．在x＝2时，f（x）取得极小值
3．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且函数在处取得极值，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则）的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
5．设，则函数（ ）
A．有且仅有一个极小值 B．有且仅有一个极大值
C．有无数个极值 D．没有极值
6． 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．函数在处有极值,则的值为( )
A． B． C． D．
8．当函数取极小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
9．函数在上的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
10．设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（ ）
A．的极值点一定是最值点
B．的最值点一定是极值点
C．在区间上可能没有极值点
D．在区间上可能没有最值点
11．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a>0，b<0，c>0，d>0 B．a>0，b<0，c<0，d>0
C．a<0，b<0，c>0，d>0 D．a>0，b>0，c>0，d<0
12．函数在内有最小值，则的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若函数在区间上有极大值，则的取值范围是________.
14．已知曲线与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围为___________.
15．函数的最大值为________.
16．若函数，对于任意的，（其中）不等式恒成立，则的取值范围为________．
三、解答题
17．函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，曲线y＝f（x）上点P（1，f（1））处的切线方程为y＝3x+1
（1）若y＝f（x）在x＝﹣2时有极值，求函数y＝f（x）在[﹣3，1]上的最大值；
（2）若函数y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，求b的取值范围．
18．已知函数.
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）求在，上的最大值和最小值.
19．函数在点处的切线斜率为．
（1）求实数a的值；
（2）求的单调区间和极值．
20．已知函数f(x)=x3-3x2-9x+2.
（1） 求函数的单调区间；
（2） 求函数在区间[-2，2]上的最小值.
21．已知函数，且.
（1）求的值；
（2）若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值.
22．已知函数f（x）＝ax2ex﹣1（a≠0）.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）已知a＞0且x∈[1，+∞），若函数f（x）没有零点，求a的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
先求导，再根据题意得，由此求得，再根据导数研究函数的极值．
【详解】
解：∵，
∴，
又在处取得极值，
∴，得，
∴，
由得，，即，
∴，即，
同理，由得，，
∴在处附近的左侧为负，右侧为正，
∴函数在处取得极小值，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题．
2．C
【分析】
根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可.
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在（﹣3，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，A错误；
对于B，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x＝1不是f（x）的极大值点，B错误；
对于C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C正确；
对于D，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则在x＝2时f（x）取得极大值，D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查函数单调性和极值的图形特征，是基础题.
3．C
【分析】
计算，然后根据，可得，最后可得结果.
【详解】
由题可知：，
则解得，.
经检验，当，时，在处取得极大值，
所以.
故选：C
【点睛】
本题主要考查曲线在某点处的导数的几何意义，重在于计算以及理解，属基础题.
4．C
【分析】
求出函数的导函数，进而求出导函数大于0以及小于0的解，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点.
【详解】
解：由，
得：.
由，得：，或.
由，得：.
所以函数的增区间为.函数的减区间为.
所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点.
故选：C.
【点睛】
本题考查求具体函数的极值点，解题的关键是区分极值点和极值的定义，属于基础题.
5．A
【分析】
求出，二次求导可得单调递增且，从而判断出函数的单调性，进而得到极值点.
【详解】
，，
∴单调递增且，
∴当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故有唯一的极小值点.
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的极值，考查了基本运算能力，属于基础题.
6．A
【分析】
根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.
【详解】
由导函数f′(x)的图象知
在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；
在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；
在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；
所以f(x)的极小值点的个数为1，
故选：A
【点睛】
本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.
7．C
【分析】
根据导数与极值的关系可知，解方程求得结果.
【详解】
由题意得：
在处有极值 ，解得：
经检验满足题意，本题正确选项：
【点睛】
本题考查导数与极值之间的关系，属于基础题.
8．B
【解析】
分析：对函数求导，由 ，即可得出结论．
详解
即
故选B．
点睛：本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题
9．C
【分析】
求导，讨论原函数在上的单调性，然后求最小值.
【详解】
因为，
当时，，即函数在上单调递减，
故当时，函数有最小值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用导数求解函数的最值，属于基础题.
10．C
【分析】
根据连续函数的极值和最值的关系即可判断．
【详解】
根据函数的极值与最值的概念知，的极值点不一定是最值点，的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数在区间上单调，则函数在区间上没有极值点，所以C正确．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题．
11．A
【分析】
由图像知f(0)＝d>0，先对函数求导，由图像可知有两个不相等的正实根，且在单调递增，在上单调递减，从而可得a>0，再结合根与系数的关系可判断得答案
【详解】
由图像知f(0)＝d>0，因为有两个不相等的正实根，且在单调递增，在上单调递减，
所以a>0，
所以b<0，c>0，
所以a>0，b<0，c>0，d>0.
故选：A
【点睛】
此题考查导函数与原函数的图像关系，理解利用导函数与原函数的单调性和极值之间的关系是解题的关键，属于基础题.
12．B
【分析】
对f（x）进行求导，要求函数f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，说明f（x）的极
小值在（0，1）内，从而讨论a与0大小，从而进行求解．
【详解】
∵函数f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，
∴f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），
①若a≤0，可得f′（x）≥0，f（x）在（0，1）上单调递增，
f（x）在x=0处取得最小值，显然不可能，
②若a＞0，f′（x）=0解得x=±，
当x＞，f（x）为增函数，0＜x＜为减函数，
f（x）在x=处取得极小值，也是最小值，
所以极小值点应该在（0，1）内，符合要求．
综上所述，a的取值范围为（0，1）
故答案为B
【点睛】
此题主要考查利用导数研究函数的单调性及其应用，注意本题（0，1）是开区间，不是闭区
间.
13．
【分析】
求导，得出导函数取得正负的区间，从而得出原函数的单调性，从而得出当 时，函数取得极大值，再由已知得出不等式组，解之可求得范围.
【详解】
由得，
所以在和上，，在上，，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得极大值，
若函数在区间上有极大值，则a<1且a+2>1，解得-1故答案为： .
14．或
【分析】
先利用导数求出函数的极值，然后画出函数的图像，如图所示，要使的图像与x轴只有一个交点，只需极大值小于0（如图1）或极小值大于0（如图2），然后解不等式可得答案
【详解】
解析.令，
解得或.
当x发生变化时，，的变化情况如下表：
x


3
- 0 + 0 -

极小值
极大值
所以当时，有极小值，且极小值为；当时，有极大值，且极大值为.
画出大致图象，要使的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0（如图1）或极小值大于0（如图2），

所以或，解得或.
故实数a的取值范围为或.
故答案为：或
15．
【分析】
先求导，根据单调性求函数最大值即可.
【详解】
解：，
∴当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
∵，∴的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论，基础题.
16．．
【分析】
转化条件为在上恒成立，求得即可得解.
【详解】
由题意，函数在上是单调递增函数，
所以即在上恒成立，
因为当时，，所以，
所以的取值范围为．
故答案为：.
17．(1) f（x）在[﹣3，1]上最大值为13 (2) [0，+∞）．
【分析】
（1）由f（x）＝x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f（x）在x＝﹣2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f （x）的表达式，求函数的导数f′（x），通过f′（x）＞0，及f′（x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可．
（2）方法一：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出f′（x）的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．
方法二：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，分离出参数b，构造新函数m（x），利用基本不等式求出m（x）的最大值，令b大于等于m（x）的最大值即可．
【详解】
解：（1）由f（x）＝x3+ax2+bx+c，求导数得f′（x）＝3x2+2ax+b，
过y＝f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y﹣f（1）＝f′（1）（x﹣1）
即y﹣（a+b+c+1）＝（3+2a+b）（x﹣1）
故，即，∵有y＝f（x）在x＝﹣2时有极值，
故f′（﹣2）＝0，
∴﹣4a+b＝﹣12，则，解得a＝2，b＝﹣4，c＝5，
f（x）＝x3+2x2﹣4x+5．
f′（x）＝3x2+2ax+b＝3x2+4x﹣4＝（3x﹣2）（x+2）
x ﹣3 （﹣3，﹣2） ﹣2 （﹣2，） （，1） 1
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 8 增函数 极大值13 减函数 极小值 增函数 4
f（x）极大＝f（﹣2）＝（﹣2）3+2（﹣2）2﹣4（﹣2）+5＝13,f（1）＝13+2×1﹣4×1+5＝4
∴f（x）在[﹣3，1]上最大值为13．
（2）方法一：y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，
又f'（x）＝3x2+2ax+b，由（1）知2a+b＝0，∴f'（x）＝3x2﹣bx+b，
依题意f'（x）在[﹣2，1]上恒有f'（x）≥0，
即g（x）＝3x2﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立．
①在x1时，即b≥6，g（x）最小值＝g（1）＝3﹣b+b＞0，∴b≥6，
②在x2时，即b≤﹣12，g（x）最小值＝g（﹣2）＝12+2b+b≥0，则b∈?，
③在﹣21时，即﹣12＜b＜6，g（x）最小值0，
综合上述讨论可知，b取值范围是：[0，+∞）．
解法二：（1）y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，
又f'（x）＝3x2+2ax+b，由（1）知2a+b＝0，∴f'（x）＝3x2﹣bx+b，
依题意f'（x）在[﹣2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）＝3x2﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立∴b3（x﹣1）6（x≤1），
令m（x）＝3（x﹣1）3[﹣（x﹣1）+（）]≤﹣3（2）＝﹣6，（x≤1），
∴3（x﹣1）6最大值为0，∴（）max＝0，∴b≥0，
∴b取值范围是：[0，+∞）．
【点评】
本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．
18．（1） ；（2）最大值(2)，最小值(1) .
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；
（2）结合导数与单调性关系可分析出函数在，上的单调性，进而可求最值.
【详解】
解：（1）由得，，
所以，，
所以曲线在点，处的切线方程
即；
（2）令可得或，此时函数单调递增，令可得，此时函数单调递减，
故函数在，上单调递增，
所以的最大值（2），最小值（1）.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义及导数与单调性的关系，属于基础试题.
19．（1）3；（2）增区间为，减区间为．极小值，无极大值．
【分析】
（1）根据导数的几何意义，导数值为切线的斜率求出实数的值；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值.
【详解】
解：（1）函数的导数为，
在点处的切线斜率为，
，即，；
（2）由（1）得，，
令，得，令，得，
即的增区间为，减区间为．
在处取得极小值，无极大值．
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值问题，属于容易题．
20．（1）f(x)的单调递增区间是(-∞，-1)，(3，+∞)；单调递减区间是(-1，3)；（2）-20.
【分析】
（1）求导后，令f′(x)=0，得x=-1或x=3，再列表，由表格可得结果；
（2）根据函数在区间[-2，2]上的单调性可求得最小值.
【详解】
f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，
令f′(x)=0，得x=-1或x=3，
当x变化时，f′(x)，f(x)在区间R上的变化状态如下：



3
+ 0 - 0 +

极大
极小
所以f(x)的单调递增区间是(-∞，-1)，(3，+∞)；单调递减区间是(-1，3)；
（2）解：因为f(-2)=0，f(2)=-20，
再结合f(x)的单调性可知，
函数f(x)在区间[-2，2]上的最小值为-20.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值，属于基础题.
21．（1）；（2）
【分析】
（1）先对函数求导，然后由，列出关于的方程组，解方程组可求出的值；
（2）由函数在上的最大值为20，求出的值，然后由函数的单调性求函数在上的最小值.
【详解】
解：（1）因为，所以，
因为,
所以,
解得
所以.
（2）由（1）可知，则，
令，得,
和的变化情况如下表：




2


0



极小值

因为，
所以函数在上的最大值为,
所以，解得,
所以,
由上面可知在上单调递增，在上单调递减；
又因为，
所以函数在上的最小值为.
【点睛】
此题考查利用导数求函数的极值和最值，属于基础题.
22．（1）当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞），单调递减区间为（﹣2,0）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣2,0），单调递减区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞）；（2）.
【分析】
（1）先求导f'（x）＝2axex+ax2ex＝axex（2+x），再分a＞0和a＜0进行讨论即可得解；
（2）根据（1）可知，当a＞0时， f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，则保证f（1）＞0即可得解.
【详解】
（1）f'（x）＝2axex+ax2ex＝axex（2+x），
令f'（x）＝0，则x＝0或x＝﹣2，
①若a＞0，
当x＜﹣2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当﹣2＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
②若a＜0，
当x＜﹣2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当﹣2＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
综上所述，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），单调递减区间为（﹣2，0）；
当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣2，0），单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）.
（2）当a＞0时，由（1）可知，f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，
若函数没有零点，则f（1）＝ae﹣1＞0，解得，
故a的取值范围为.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论思想，要求较高的计算能力，在高考中考压轴题，属于难题.