选修2-2 第2章推理与证明 基础测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

人教A版选修2-2推理与证明基础测试题
一、单选题
1．用数学归纳法证明时，第一步应验证的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画╳．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为（　　）
题号 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分
甲 ╳ √ ╳ √ ╳ ╳ √ ╳ 30
乙 ╳ ╳ √ √ √ ╳ ╳ √ 25
丙 √ ╳ ╳ ╳ √ √ √ ╳ 25
丁 ╳ √ ╳ √ √ ╳ √ √ m
A．35 B．30 C．25 D．20
4．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
5．四个孩子在刘老师的后院玩球，突然传来一阵打碎玻璃的响声，刘老师跑去查看，发现一扇窗户玻璃被打破了，老师问：“是谁打破的？”
涛涛说：“是可可打破的．”
可可说：“是毛毛打破的．”
毛毛说：“可可说谎．”
多多说：“我没有打破玻璃．”
如果只有一个小孩说谎，那么打破玻璃的是谁？（ ）
A．涛涛 B．可可 C．毛毛 D．多多
6．“一切金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”.此推理方法是（ ）
A．类比推理 B．演绎推理 C．归纳推理 D．以上都不对
7．用数学归纳法证明等式时，当时，左边等于（ ）
A．1 B． C． D．
8．用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在的基础上加上（ ）
A． B． C．D．
9．用反证法证明命题“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根
C．方程至多有两个实根 D．方程恰好有两个实根
10．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（ ）
A．大前提错误 B．推理形式错误
C．小前提错误 D．大、小前提、推理形式都错
11．观察下列各式，，，，，，…，则（ ）
A．47 B．76 C．121 D．123
12．欲证成立，只需证（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．用数学归纳法证明时，第一步应验证的等式是________．
14．用反证法证明：存在，，应先假设：________.
15．数学老师给同学们出了一道证明题，，，三名同学中只有一名同学写对了，当他们被问到谁写对了时，说：“没有写对”；说：“我写对了”；说：“说得是真话”.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么说假话的同学是______.
16．若，，，一定有，成立，请将猜想结果填空:________.
三、解答题
17．证明：
18．已知数列第一项，且，
（1）计算的值．
（2）试猜想这个数列的通项公式(不用写出推导过程)．
19．设数列的前项和为，且满足.
（1）求的值，并写出数列的通项公式；
（2）写出用三段论证明数列是等比数列的大提前、小前提、结论.
20．已知数列满足，.
（1）求、；
（2）猜想数列通项公式，并用数学归纳法给出证明.
21．已知、、，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）由（1）、（2），将命题推广到一般情形（不作证明）．
22．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(1) 求出，，并猜测的表达式；
(2) 求证：＋＋＋…＋.
参考答案
1．B
【分析】
根据，，由所取的第一个正整数为2求解.
【详解】
∵，，
∴所取的第一个正整数为2，又，
故第一步应验证．
故选：B
2．B
【分析】
本题可根据每一个图形与前一个图形的关系得出结论.
【详解】
结合图象易知，，，，，
故选：B.
3．B
【分析】
通过分析甲、乙、丙三人的答案以及得分情况，推理得出这8道判断的答案，从而可得结果.
【详解】
因为乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同，所以第2，5两题答案正确，
又因为甲得分30分即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙丙不同，
故其余6题答案均正确，
故而这8道判断的答案分别是：╳╳╳√√╳√╳，
对比丁的答案，可知其2、8两题错误，故得分m＝6×5＝30，
故选：B.
4．D
【分析】
根据题中条件，直接分析，即可得出结果.
【详解】
由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果.
故选：D．
5．B
【分析】
假设涛涛说谎，通过矛盾说明假设不成立即可得出结论.
【详解】
如果涛涛说谎，则毛毛没有说谎，即可可说谎，与只有一个小孩说谎矛盾，所以涛涛没有说谎，即玻璃是可可打破的.
故选：B.
6．B
【分析】
符合三段论：大前提，小前提，结论，所以是演绎推理.
【详解】
在推理的过程中：一切金属都能导电，是大前提，
铁是金属，是小前提，
所以铁能导电，是结论，
故是演绎推理，
故选：B
7．C
【分析】
根据题意，将直接代入，即可求出结果.
【详解】
用数学归纳法证明：，
在验证时，
令代入左边的代数式，得到左边.
故选：C
8．B
【分析】
写出和时的两式，然后比较可得．
【详解】
时等式为，
时等式为，
当时，等式左端应在的基础上加上，
故选：B．
【点睛】
本题考查数学归纳法，数学归纳法的关键、难点就在于用的假设结论证明的的结论，因此观察出与之间式子的关系至关重要．
9．A
【分析】
将命题的结论否定可得出结果.
【详解】
“方程至少有一个实根”的否定为“方程没有实根”.
因此，用反证法证明命题“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是“方程没有实根”.
故选：A.
【点睛】
本题考查反证法，意在考查学生对反证法的理解，属于基础题.
10．B
【分析】
根据演绎推理的形式即可判断.
【详解】
大前提的形式： “鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，
小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，
鹅与人不能类比，
不符合三段论推理形式，推理形式错误.
故选：B
【点睛】
本题考查了知识点是演绎推理的基本方法，属于基础题.
11．B
【分析】
根据题目所给等式，归纳出正确结论.
【详解】
根据题目所给等式可知：，，.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查合情推理，属于基础题.
12．C
【分析】
由于原不等式的等价于，再两边同时平方，即可得出答案.
【详解】
解：根据题意，欲证，
则需证，
只需证.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用分析法证明不等式，体现转化思想，属于基础题.
13．
【分析】
在等式中令可得结果.
【详解】
由题知等式的左边有项，右边有项，且，因此第一步应验证时的等式，此时左边，右边，
故答案为：．
14．任意，
【分析】
由特称命题的否定可得解.
【详解】
反证法即为先假设命题的否定成立，及应先假设：任意，.
故答案为：任意，.
15．
【分析】
利用反证法即可得出结论
【详解】
假如说的是假话，则说的也是假话，不成立；
假如说的是假话，即没有写对，又没有写对，故写对了；
假如说的是假话，即写对了，则说的也是假话，不成立.
故说假话的同学是.
故答案为：B
【点睛】
此题考查简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题
16．
【分析】
根据表达式的规律即可猜想结论.
【详解】
解：由a＞0，b＞0，a+b＝1，
一定有ab+≥4+，（ab）2+（）2≥42+成立，
可以猜想：，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题.
17．证明见解析.
【分析】
利用题意，由分析法，原问题等价于，结合题意进行计算即可证得结论.
【详解】
证明：要证
只需证
只需证
只需证
只需证
因为成立,
所以.
【点睛】
本题考查分析法证明不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.
18．（1），，，（2）猜想
【分析】
（1）由数列递推式运算即可得解；重点考查了归纳推理能力，
（2）由前面有限项归纳通项公式即可得解.
【详解】
解：（1）由数列第一项，且，
则，，，
即，，，
（2）由，，，
猜想这个数列的通项公式为.
【点睛】
本题考查了数列递推式的运算，重点考查了归纳推理能力，属基础题.
19．（1），，，，；（2）见解析.
【分析】
（1）先求出的值，分析规律，再归纳出通项公式即可；
（2）将等比数列的定义作为大前提，然后将归纳得通项公式作为小前提，数列是等比数列则为结论.
【详解】
解：（1）由，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
由此归纳推理得：，.
（2）大前提：在数列中，若，是非零常数，则是等比数列；
小前提：在数列中，，；
结论：数列是等比数列.
【点睛】
本题考查了归纳推理，重点考查了三段论，属基础题.
20．（1），；（2）,证明见解析.
【分析】
（1）依据递推关系可求、.
（2）根据（1）可猜测，按照数学归纳法的基本步骤证明即可.
【详解】
（1），；
（2）猜想数列通项公式，证明如下：
当时，，，所以成立；
假设时成立，即 ，
当时， ，
∴时，成立，
综上，由①②得： .
【点睛】
由数列的前若干项和递推关系可猜测数列的通项，然后再用数学归纳法去证明，注意数学归纳法有三个部分即归纳的起点、归纳假设和归纳证明，注意归纳证明的推理过程必须用到归纳假设.
21．（1）详见解析；
（2）详见解析；
（3）.
【分析】
（1）对不等式分别使用基本不等式即可证明出；
（2）对不等式分别使用基本不等式即可证明出
；
（3）根据（1）（2）不等式的结构特征直接写出一般推广结论.
【详解】
（1）（当且仅当=1时取等号）；
（2）（当且仅当时取等号）；
（3）推广：已知，，…，则（当且仅当时取等号）；
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用与推广，考查了类比推理的能力.
22．(1) f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，f(5)＝25＋4×4＝41.f(n)＝2n2－2n＋1.
(2)略
【解析】
本试题主要是考查了数列的归纳猜想思想的运用，根据前几项．来猜想并运用数学归纳法加以证明．
（1）结合题目中的 递推关系式可知前几项的值，并猜想结论．
（2）分为两步骤进行，先证明n取第一个值时成立，再假设n=k时成立，证明n=k+1时也成立即可．
解： (1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.
∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，
f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，…
f(2)－f(1)＝4×1，
∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1(n≥2)，
又n＝1时，f(1)也适合f(n)．
∴f(n)＝2n2－2n＋1. --------6分
---------------12分