选修2-2 第1章导数及其应用-用导数求单调性 基础测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

用导数求单调性基础测试题
一、单选题
1．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C．(0，3) D．
4．若函数的图象如下图所示，则函数的图象有可能是（）
A． B． C． D．
5．设，，，则大小关系是( )
A． B．
C． D．
6．函数的单调递增区间（ ）
A． B． C． D．
7．定义在上的函数的导函数满足，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
9．函数在上的单调情况是（ ）
A．单调递增；
B．单调递减；
C．在上单调递增，在上单调递减；
D．在上单调递减，在上单调递增；
10．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
11．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)．
A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x
12．已知函数与其导函数的图象如图，则满足的x的取值范围为　　
A． B．
C． D．
二、填空题
13．函数的单调递减区间是______．
14．若函数在内是增函数，则实数b的取值范围是_________．
15．函数f（x）=x+2cosx在（0，2π）上的单调递减区间为______．
16．已知函数在上总是单调函数，则a的取值范围是________
三、解答题
17．已知函数.
（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.
（2）若的单调递减区间为，求a的值.
18．已知.
（1）当时，讨论的单调区间；
（2）若在定义域R内单调递增，求a的取值范围.
19．已知函数的图象经过点，且在点处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间
20．已知函数，且.
（1）求的值；
（2）判定的奇偶性；
（3）判断在上的单调性，并给予证明.
21．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的值域．
22．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，如果函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】
由函数的单调性与导数的关系得出在区间上恒成立，将问题转化为求，即可得出答案.
【详解】
在区间上恒成立，则在区间上恒成立
即
故选：A
2．C
【分析】
由题意得：在上恒成立，整理可得：在上恒成立直接求解即可.
【详解】
由题意可得：
在上恒成立，
整理可得：，
函数在上递减，
所以，
所以，
故选：C.
【点睛】
本题考了恒成立问题，考查了转化思想，恒成立问题的一个重要方法是参变分离，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
先求函数的定义域，再求导数，最后令，解之即可得到结果.
【详解】
函数的定义域为：，
因为，
令并且，得：，
所以函数的单调递减区间为(0，3).
故本题正确答案为C.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属基础题.
4．A
【分析】
根据函数图象的增减性与其导函数的正负之间的关系求解．
【详解】
由 的图象可知：
在 ，单调递减，所以当时，
在 ，单调递增，所以当时，
故选A.
【点睛】
本题考查函数图象的增减性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题.
5．A
【解析】
【分析】
根据三个数的特征，构造函数，求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可以判断出的大小关系.
【详解】
解:考查函数，则，在上单调递增，，
，即，，故选A.
【点睛】
本题考查了通过构造函数，利用函数的单调性判断三个数大小问题，根据三个数的特征构造函数是解题的关键.
6．C
【解析】
【分析】
先求，再解不等式得函数的单调递增区间.
【详解】
由题得，
解不等式，
所以.
所以函数的单调增区间为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数的单调区间的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．D
【分析】
设，可得，可得在上单调递减，利用函数的单调性进行判断可得答案.
【详解】
解：由，得
设，则，故在上单调递减，则，即，即,
故选D.
【点睛】
本题主要考查导函数在函数单调性中应用，由已知设是解题的关键.
8．D
【分析】
先求出函数的定义域，然后求出函数的导函数，接着求当导函数大于零时，的取值范围，结合函数的定义域，最后写出单调增区间.
【详解】
函数的定义域为，，当时，函数单调递增，所以有或，而函数的定义域为，所以当时，函数单调递增，故本题选D.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数单调增区间问题，解题的关系是结合定义域，正确求解导函数大于零这个不等式.
9．A
【分析】
通过求导来判断的单调性．
【详解】
因为，所以在单调递增，故选A.
【点睛】
此题考查利用导数判断函数单调性，此题为基础题.
10．A
【分析】
根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.
【详解】
根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.
【点睛】
本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.
11．B
【解析】
【分析】
分别求得四个选项函数的导数，根据导数有没有负值，对选项进行排除，由此得到正确选项.
【详解】
由于，对于选项，，，不符合题意；对于选项，，符合题意；对于选项，，，不符合题意；对于选项，，不符合题意.综上所述，本小题选B.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力和分析问题的能力，属于基础题.
12．D
【分析】
观察图像可得的图像与原函数的图像，结合图像可得满足的x的取值范围.
【详解】
解：观察图像可得，导函数的图像过点（0，0），（，0），原函数的图像过点（0，0），（2，0），观察图像可得满足的x取值范围为. ，
故选D.
【点睛】
本题主要考查函数的图像的判定与应用，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.
13．
【分析】
求出导函数，在上解不等式可得的单调减区间．
【详解】
，其中，
令，则，故函数的单调减区间为，
故答案为：．
【点睛】
一般地，若在区间上可导，我们用求，则在上的减区间，反之，若在区间上可导且为减函数，则，注意求单调区间前先确定函数的定义域．
14．
【分析】
由题意得在内恒成立，分离参数即得解.
【详解】
由题意得在内恒成立，
即在内恒成立，
所以．
故答案为：
【点睛】
结论点睛：一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增函数≥0，一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是减函数≤0
15．
【解析】
【分析】
先求导得再解不等式即得函数的单调递减区间.
【详解】
解：∵函数y=x+2cosx，
∴y′=1-2sinx＜0，
∴sinx＞，
又∵x∈（0，2π），
∴x∈，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查用导数法求函数的单调区间,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16．
【分析】
根据导函数为二次函数，开口向上，根据导数恒为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
依题意，这是一个开口向上的二次函数，由于原函数总是单调函数，故导函数的判别式，解得.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查二次函数的性质，属于基础题.
17．（1）；（2）3.
【分析】
（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；
（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案
【详解】
（1）因为，且在区间上为增函数，
所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，
所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是
（2）由题意知.因为，所以.
由，得，
所以的单调递减区间为，
又已知的单调递减区间为，
所以，
所以，即.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.
18．（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）
【分析】
（1）计算，根据与，可得结果.
（2）利用等价转化的思想，在上恒成立，然后根据的单调性，简单计算，可得结果.
【详解】
（1）当时，
则，
令，得
令，得
所以的单调递增区间为
单调递减区间为
（2）由题可知：在定义域R内单调递增
等价于
由在上单调递增，又
则
【点睛】
本题考查导数的简单应用，掌握导数与原函数之间的关系，属基础题.
19．（1）f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2；（2）f（x）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣,1+）.
【详解】
分析：（1）求出导函数，题意说明，，，由此可求得；
（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间.
详解：（1）∵f（x）的图象经过P（0，2），∴d=2，
∴f（x）=x3+bx2+x+2，f'（x）=3x2+2bx+．
∵点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0
∴f'（x）|x=﹣1=3x2+2bx+=3﹣2b+=6①，
还可以得到，f（﹣1）=y=1，即点M（﹣1，1）满足f（x）方程，得到﹣1+b﹣a+2=1②
由①、②联立得b==﹣3 故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．
（2）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．令3x2﹣6x﹣3=0，即x2﹣2x﹣1=0.解得x1=1- ,x2=1+.
当x<1-,或x>1+时，f'（x）>0；当1-故f（x）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣,1+）
点睛：（1）过曲线上一点处的切线方程是；（2）不等式解集区间是函数的增区间，不等式的解集区间是的减区间.
20．（1）1；（2）奇函数；（3）增函数，证明见解析.
【分析】
（1）利用代入可求；
（2）利用奇偶性定义进行判定，可得是奇函数；
（3）利用导数进行证明.
【详解】
（1）因为，所以.
（2）因为
所以为奇函数.
（3）因为
所以在为增函数.
【点睛】
本题主要考查函数性质，奇偶性判定一般是利用定义来进行，单调性判定可以使用导数或者定义来进行.
21．（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．
【分析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可．
【详解】
解：（1）由题意得，，令，得，
令，得或，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）易知，
因为
,
所以．
（或由，可得）,
又当时，，
所以函数在区间上的值域为．
【点睛】
确定函数单调区间的步骤：
第一步，确定函数的定义域；
第二步，求；
第三步，解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
22．（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）利用导数求函数的单调性即可；
（2）求出，由单调性与导数的关系得出，分离参数，构造函数求出其最大值，即可得出实数的取值范围．
【详解】
（1）定义域为，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，；当时，
即在上单调递减，在上单调递增.
（2）
由题意对恒成立
即对恒成立
，.