选修2-3 第1章计数原理 基础测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 选修2-3 第1章计数原理 基础测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 466.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-19 00:46:11 | ||
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文档简介
人教A版选修2-3第一章计数原理基础测试题
一、单选题
1．从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（ ）
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙丙，乙丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
2．展开式中x的系数为80，则a等于（ ）
A． B．3 C． D．2
3．下列问题属于排列问题的是（ ）
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数
A．①④ B．①② C．④ D．①③④
4．在的二项展开式中，x的系数为（ ）
A．40 B．20 C．-40 D．-20
5．8个人坐成一排，现要调换其中个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（ ）
A． B． C． D．
6．以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（ ）个
A．70 B．64 C．60 D．58
7．从，，，，，中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
8．的展开式中的系数是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．60
9．已知，则（ ）
A．2 B．6 C．12 D．24
10．肖明同学从8道概率题和2道排列题中选3道题进行测试，则他至少选中1道排列题的选法有（ ）
A．56 B．64 C．72 D．144
11．在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
12．在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（ ）
A．4种 B．12种 C．18种 D．24种
二、填空题
13．如图，在由电键组A与B组成的串联电路（规定每组电键只能合上其中的一个电键）中，接通电源使灯泡发光的方法有______种．
14．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法有______种．（以数字作答）
15．从个人中选个人值班，第一天个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法_________.
16．有4位教师在同一年级的4个班级各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位教师都不能在本班监考，则监考的方法数有_______种.
三、解答题
17．已知二项式的展开式中共有6项.
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中含的项.
18．的展开式一共有16项.
（1）求展开式中二项式系数之和；
（2）求展开式中的常数项.
19．一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，
（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？
20．某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．
（1）若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？
（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？
21．有5名同学站成一排拍照．
（1）若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
（2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？
（3）求出现甲必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的排法？
22．在的展开式中,求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)奇数项的二项式系数和；
(3)求系数绝对值最大的项.
参考答案
1．C
【分析】
根据题意依次列出即可.
【详解】
解：若选出的是甲、乙，
则站法有甲乙、乙甲；
若选出的是甲、丙，则站法有甲丙、丙甲；
若选出的是乙、丙，则站法有乙丙、丙乙.
故选：C.
2．C
【分析】
先求出二项式的通项公式，然后令的次数为1，从而可求出，再由展开式中x的系数为80，可得，从而可求出的值
【详解】
解：二项式的通项公式为，
由，得，
所以由题意得，，解得，
故选：C
3．A
【分析】
根据排列的概念逐项进行判断即可.
【详解】
排列的概念：从个元素中取个元素，按照一定顺序排成一列，
由题可知：①④中元素的选取有顺序，②③中元素的选取无顺序，
由此可判断出：①④是排列问题，
故选：A.
4．C
【分析】
求出的展开式通项公式，再令的幂指数等于1，求得的值，即可求得的系数．
【详解】
的二项展开式的通项公式为
，
令，解得，
故的系数为，
故选：C．
5．C
【分析】
人中哪三个人不确定，故有种可能，再对这三个人调换位置即可得解.
【详解】
从人中任选人有种可能，
人位置全调，由于不能是自己原来的位置，
因此有种，故有种.
故选：C.
6．D
【分析】
根据组合的定义，结合组合数的计算公式、长方体的性质进行求解即可.
【详解】
三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，
可得不同的三棱锥有个.
故选：D.
7．C
【分析】
根据这六个数字的特点可知，任取三个数字求和，其和一定为连续的自然数，故只需确定出和的最大值与最小值便可得出共有多少种结果．
【详解】
在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为，和的最大值为，
所以当从，，，，，中任取三个数相加时，则不同结果有种．
故选：C.
8．A
【分析】
根据二项式定理，得到展开式的第项，再由赋值法，即可求出结果.
【详解】
因为展开式的第项为，
令，得，则的系数为．
故选：A.
9．C
【分析】
求出此二项式的展开式的通项为，即可得出结果.
【详解】
因为，
此二项式的展开式的通项为，
当时，
所以.
故选：C.
10．B
【分析】
根据组合的概念，直接得出结果.
【详解】
从8道概率题和2道排列题中选3道题进行测试，至少选中1道排列题的选法有.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查组合的简单应用，属于基础题型.
11．B
【分析】
利用二项展开式的通项公式，由的指数分别为4与2可求得的系数．
【详解】
在的展开式中，
通项公式为，
令，求得，
的系数为，
故选：．
12．D
【分析】
由全排列的知识进行计算可得答案.
【详解】
解：由题意可得不同的采访顺序有种，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查排列组合中的全排列的知识，考查对基础知识的了解，属于基础题.
13．6
【分析】
根据分步乘法计数原理，由题中条件，即可求出结果.
【详解】
要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，只有先合上A组中2个电键中的任意一个，再合上B组中3个电键中的任意一个时，接通电源，灯泡才能发光．
因此要完成这件事，需要分步，只有各个步骤都完成才能使灯泡发光，
所以接通电源使灯泡发光的方法有种．
故答案为：.
14．37
【分析】
根据分类加法计数原理，由题中条件，即可得出结果.
【详解】
一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，由分类加法计数原理可知，不同的取法有种，
故答案为：37．
15．180
【分析】
利用组合数可得排法总数.
【详解】
.
故答案为：180.
16．9
【分析】
根据分步计数原理分析即可得答案.
【详解】
设四位教师为A、B、C、D，所教班级分别为a，b，c，d，
先选A有3种选法，若A老师选b，则B老师有3种选法，剩下两人都只有1种选法，
根据分步计数原理，共有（种）方法.
故答案为：9
17．（1）32；（2）.
【分析】
（1）根据展开式的项数为6得，进而得二项式系数的和为.
（2）根据二项式展开式的通项公式求解即可得答案.
【详解】
（1）由于二项展开式有6项，故.
所有二项式的系数和为.
（2）二项式展开式的通项为，
令得.
故展开式中含的项为.
【点睛】
本题考查二项式定理，熟练的应用相关公式是解题的前提，是基础题.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）先由的展开式一共有16项得，即可求得展开式中二项式系数之和；
（2）根据展开式的通项，令，即可求出常数项.
【详解】
（1）由的展开式一共有16项得，
得展开式中二项式系数之和为：；
（2）由得展开式的通项为：
，
令，得，
展开式中的常数项为.
【点睛】
本题考查二项式定理及其应用，其中的展开式通项的熟练运用是关键，是基础题.
19．（1）115（2）186
【详解】
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，
红球4个，取法有种，
红球3个和白球1个，取法有种；
红球2个和白球2个，取法有种；
根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种．
（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.
第一种，4红1白，取法有种；
第二种，3红2白，取法有种，
第三种，2红3白，取法有种，
根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有
20．（1）48；（2）560.
【分析】
（1）根据分类计数原理，分别求出选择男生和女生的不同方法，最后求和即可；
（2）根据分步计数原理，分别求出选择男生和女生的不同方法，最后求积即可；
【详解】
（1）选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：
第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；
第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法．
根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．
（2）完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：
第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；
第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．
根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法．
【点晴】
本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，准确判断这两种计数原理是解答的难点，属基础题.
21．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）利用捆绑法求得方法数.
（2）利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理，计算出方法数.
（3）利用分步计数原理，求得方法数
【详解】
（1）将甲乙捆绑在一起，故方法数有种.
（2）如果甲排左端，则方法数有种；如果乙排左端，则方法数有种.故总的方法数有种.
（3）按照甲、乙、丙、其他三个同学的顺序进行安排，所以方法数有种.
【点睛】
本小题主要考查简单排列组合问题的求解，考查分类加法、分步乘法计数原理，属于基础题.
22．(1)； (2)；(3).
【分析】
写出二项式的通项公式.
(1)根据二项式的通项公式可以求出此问；
(2)根据奇数项的二项式系数和公式可以直接求出此问题；
(3)设出系数绝对值最大的项为第（r +1）项,根据二项式的通项公式,列出不等式组,解这个不等式组即可求出此问题.
【详解】
二项式的通项公式为：.
(1)第3项的二项式系数为,第三项的系数为；
(2)奇数项的二项式系数和；
(3)设系数绝对值最大的项为第（r +1）项,
则,
又,所以r =2.
∴系数绝对值最大的项为．
【点睛】
本题考查了二项式通项公式的应用,考查了奇数项的二项式系数和公式,考查了数学运算能力.
一、单选题
1．从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（ ）
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙丙，乙丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
2．展开式中x的系数为80，则a等于（ ）
A． B．3 C． D．2
3．下列问题属于排列问题的是（ ）
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数
A．①④ B．①② C．④ D．①③④
4．在的二项展开式中，x的系数为（ ）
A．40 B．20 C．-40 D．-20
5．8个人坐成一排，现要调换其中个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（ ）
A． B． C． D．
6．以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（ ）个
A．70 B．64 C．60 D．58
7．从，，，，，中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
8．的展开式中的系数是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．60
9．已知，则（ ）
A．2 B．6 C．12 D．24
10．肖明同学从8道概率题和2道排列题中选3道题进行测试，则他至少选中1道排列题的选法有（ ）
A．56 B．64 C．72 D．144
11．在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
12．在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（ ）
A．4种 B．12种 C．18种 D．24种
二、填空题
13．如图，在由电键组A与B组成的串联电路（规定每组电键只能合上其中的一个电键）中，接通电源使灯泡发光的方法有______种．
14．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法有______种．（以数字作答）
15．从个人中选个人值班，第一天个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法_________.
16．有4位教师在同一年级的4个班级各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位教师都不能在本班监考，则监考的方法数有_______种.
三、解答题
17．已知二项式的展开式中共有6项.
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中含的项.
18．的展开式一共有16项.
（1）求展开式中二项式系数之和；
（2）求展开式中的常数项.
19．一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，
（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？
20．某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．
（1）若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？
（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？
21．有5名同学站成一排拍照．
（1）若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
（2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？
（3）求出现甲必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的排法？
22．在的展开式中,求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)奇数项的二项式系数和；
(3)求系数绝对值最大的项.
参考答案
1．C
【分析】
根据题意依次列出即可.
【详解】
解：若选出的是甲、乙，
则站法有甲乙、乙甲；
若选出的是甲、丙，则站法有甲丙、丙甲；
若选出的是乙、丙，则站法有乙丙、丙乙.
故选：C.
2．C
【分析】
先求出二项式的通项公式，然后令的次数为1，从而可求出，再由展开式中x的系数为80，可得，从而可求出的值
【详解】
解：二项式的通项公式为，
由，得，
所以由题意得，，解得，
故选：C
3．A
【分析】
根据排列的概念逐项进行判断即可.
【详解】
排列的概念：从个元素中取个元素，按照一定顺序排成一列，
由题可知：①④中元素的选取有顺序，②③中元素的选取无顺序，
由此可判断出：①④是排列问题，
故选：A.
4．C
【分析】
求出的展开式通项公式，再令的幂指数等于1，求得的值，即可求得的系数．
【详解】
的二项展开式的通项公式为
，
令，解得，
故的系数为，
故选：C．
5．C
【分析】
人中哪三个人不确定，故有种可能，再对这三个人调换位置即可得解.
【详解】
从人中任选人有种可能，
人位置全调，由于不能是自己原来的位置，
因此有种，故有种.
故选：C.
6．D
【分析】
根据组合的定义，结合组合数的计算公式、长方体的性质进行求解即可.
【详解】
三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，
可得不同的三棱锥有个.
故选：D.
7．C
【分析】
根据这六个数字的特点可知，任取三个数字求和，其和一定为连续的自然数，故只需确定出和的最大值与最小值便可得出共有多少种结果．
【详解】
在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为，和的最大值为，
所以当从，，，，，中任取三个数相加时，则不同结果有种．
故选：C.
8．A
【分析】
根据二项式定理，得到展开式的第项，再由赋值法，即可求出结果.
【详解】
因为展开式的第项为，
令，得，则的系数为．
故选：A.
9．C
【分析】
求出此二项式的展开式的通项为，即可得出结果.
【详解】
因为，
此二项式的展开式的通项为，
当时，
所以.
故选：C.
10．B
【分析】
根据组合的概念，直接得出结果.
【详解】
从8道概率题和2道排列题中选3道题进行测试，至少选中1道排列题的选法有.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查组合的简单应用，属于基础题型.
11．B
【分析】
利用二项展开式的通项公式，由的指数分别为4与2可求得的系数．
【详解】
在的展开式中，
通项公式为，
令，求得，
的系数为，
故选：．
12．D
【分析】
由全排列的知识进行计算可得答案.
【详解】
解：由题意可得不同的采访顺序有种，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查排列组合中的全排列的知识，考查对基础知识的了解，属于基础题.
13．6
【分析】
根据分步乘法计数原理，由题中条件，即可求出结果.
【详解】
要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，只有先合上A组中2个电键中的任意一个，再合上B组中3个电键中的任意一个时，接通电源，灯泡才能发光．
因此要完成这件事，需要分步，只有各个步骤都完成才能使灯泡发光，
所以接通电源使灯泡发光的方法有种．
故答案为：.
14．37
【分析】
根据分类加法计数原理，由题中条件，即可得出结果.
【详解】
一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，由分类加法计数原理可知，不同的取法有种，
故答案为：37．
15．180
【分析】
利用组合数可得排法总数.
【详解】
.
故答案为：180.
16．9
【分析】
根据分步计数原理分析即可得答案.
【详解】
设四位教师为A、B、C、D，所教班级分别为a，b，c，d，
先选A有3种选法，若A老师选b，则B老师有3种选法，剩下两人都只有1种选法，
根据分步计数原理，共有（种）方法.
故答案为：9
17．（1）32；（2）.
【分析】
（1）根据展开式的项数为6得，进而得二项式系数的和为.
（2）根据二项式展开式的通项公式求解即可得答案.
【详解】
（1）由于二项展开式有6项，故.
所有二项式的系数和为.
（2）二项式展开式的通项为，
令得.
故展开式中含的项为.
【点睛】
本题考查二项式定理，熟练的应用相关公式是解题的前提，是基础题.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）先由的展开式一共有16项得，即可求得展开式中二项式系数之和；
（2）根据展开式的通项，令，即可求出常数项.
【详解】
（1）由的展开式一共有16项得，
得展开式中二项式系数之和为：；
（2）由得展开式的通项为：
，
令，得，
展开式中的常数项为.
【点睛】
本题考查二项式定理及其应用，其中的展开式通项的熟练运用是关键，是基础题.
19．（1）115（2）186
【详解】
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，
红球4个，取法有种，
红球3个和白球1个，取法有种；
红球2个和白球2个，取法有种；
根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种．
（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.
第一种，4红1白，取法有种；
第二种，3红2白，取法有种，
第三种，2红3白，取法有种，
根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有
20．（1）48；（2）560.
【分析】
（1）根据分类计数原理，分别求出选择男生和女生的不同方法，最后求和即可；
（2）根据分步计数原理，分别求出选择男生和女生的不同方法，最后求积即可；
【详解】
（1）选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：
第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；
第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法．
根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．
（2）完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：
第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；
第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．
根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法．
【点晴】
本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，准确判断这两种计数原理是解答的难点，属基础题.
21．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）利用捆绑法求得方法数.
（2）利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理，计算出方法数.
（3）利用分步计数原理，求得方法数
【详解】
（1）将甲乙捆绑在一起，故方法数有种.
（2）如果甲排左端，则方法数有种；如果乙排左端，则方法数有种.故总的方法数有种.
（3）按照甲、乙、丙、其他三个同学的顺序进行安排，所以方法数有种.
【点睛】
本小题主要考查简单排列组合问题的求解，考查分类加法、分步乘法计数原理，属于基础题.
22．(1)； (2)；(3).
【分析】
写出二项式的通项公式.
(1)根据二项式的通项公式可以求出此问；
(2)根据奇数项的二项式系数和公式可以直接求出此问题；
(3)设出系数绝对值最大的项为第（r +1）项,根据二项式的通项公式,列出不等式组,解这个不等式组即可求出此问题.
【详解】
二项式的通项公式为：.
(1)第3项的二项式系数为,第三项的系数为；
(2)奇数项的二项式系数和；
(3)设系数绝对值最大的项为第（r +1）项,
则,
又,所以r =2.
∴系数绝对值最大的项为．
【点睛】
本题考查了二项式通项公式的应用,考查了奇数项的二项式系数和公式,考查了数学运算能力.