选修2-3 第1章计数原理 综合测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 选修2-3 第1章计数原理 综合测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 512.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-19 00:48:44 | ||
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文档简介
人教A版选修2-3第一章计数原理综合测试题
一、单选题
1．的展开式的常数项为（ ）
A．20 B．120 C．5 D．8
2．为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有（ ）
A．28种 B．56种 C．112种 D．336种
3．若，则（ ）
A．1 B．32 C．81 D．243
4．用数字1，2，3，4组成无重复数字的四位数，其中奇数的个数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
5．把3封信投入4个邮桶，共有不同的投法数为（ ）
A． B． C． D．
6．现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．240种 D．120种
7．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A．140种 B．420种 C．80种 D．70种
8．设，且，若能被13整除，则（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
9．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（ ）种.
A．12 B．14 C．16 D．18
10．如果的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数是（ ）
A．90 B．80 C．-90 D．-92
11．在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲?乙?丙?丁?戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙?丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（ ）
A．8种 B．12种 C．20种 D．24种
12．五名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边（可以不相邻）的站法种数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则4人拿的都不是自己的帽子的概率为________.
14．一个木箱中装有6个大小、形状均相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，用表示取出的篮球的最大号码，则的试验结果有______种．
15．一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第秒末到达点的跳法共有______种．
16．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每个区域种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为______．
三、解答题
17．已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的．
（1）求该展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
18．已知展开式的二项式系数和为512，
且
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被6整除的余数.
19．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？（写出必要的过程，用数字作答）
（1）男、女同学各2名；
（2）男、女同学分别至少有1名；
（3）在（2）的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出.
20．在的展开式中.求：
（1）所有项的系数和；
（2）的系数；
（3）系数最大的项.
21．已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：
（1）两名教师必须排中间，有多少种排法？
（2）两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？
22．已知．
（1）求；
（2）求．
参考答案
1．A
【分析】
先写出二项展开式通项公式，再根据次数为零解得对应常数项.
【详解】
的展开式的通项公式为：.
令，解得，所以的展开式的常数项为，
故选：A
【点睛】
本题考查二项展开式，考查基本求解能力，属基础题.
2．B
【分析】
根据题意，分析可得只需在8人中任选3人，领取笔记本，剩下5人领取书即可，由组合数公式计算可得答案
【详解】
解：根据题意，5本相同的书和3本相同的笔记本发给8名学生，每人1本，需要在8人中任选3 人，领取笔记本，剩下5人领取书即可，
则有种不同的分法，
故选：B
【点睛】
此题考查排列组合的应用，考查组合数公式的应用，属于基础题.
3．D
【分析】
在所给的式子中，令可得选项.
【详解】
在中，令得，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题,关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题.
4．B
【分析】
先排个位，再排前三位，即得结果.
【详解】
先排个位，有2种选法，再排前三位，有种排法，
因此共有种排法，
故选：B
【点睛】
本题考查特殊位置排列问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．D
【分析】
每一封信都有4中投递方法，根据分步计数原理求得将3封信投入4个邮桶的不同的投法.
【详解】
每一封信都有4中投递方法，
根据分步计数原理得不同的投法有种，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题.
6．B
【分析】
分步完成涂色，先涂，再涂，然后涂，．
【详解】
分步涂色，第一步对涂色有5种方法，第二步对涂色有4种方法，第三步对涂色有3种方法，第四步对涂色有3种方法，
∴总的方法数为．
故选：B．
【点睛】
本题考查分步乘法原理，解题关键是确定完成涂色这件事的方法：分类还是分步．
7．D
【分析】
根据条件分为2男1女，或2女1男，按组合公式求解.
【详解】
可分两类，男医生2名、女医生1名或男医生1名、女医生2名，共有种不同的组队方案.
故选：D.
8．D
【分析】
由，结合二项式定理，求得的余数为，即可求解.
【详解】
由题意，因为，
所以，
又因为52能被13整除，所以只需能被13整除，
因为，，所以.
故选：D.
9．B
【分析】
甲不在1道，乙不在2道，则分别讨论甲在2道和甲不在2道两种情况，再求和即可.
【详解】
①甲在2道的安排方法有：种；
②甲不在2道，则甲只能在3或4号道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，丙丁有2种，所以甲不在2号跑道的分配方案有种，共有种方案.
故选B.
【点睛】
方法点睛：（1）先讨论甲在乙的位置的情况，此时乙不受限制，剩余元素全排列即可；
（2）再讨论甲也不在乙的位置的情况；
（3）两种情况求和.
10．C
【分析】
根据条件求出，然后写出其通项公式，然后可算出答案.
【详解】
令，得展开式中各项系数之和为.由，得，
通项公式为，
令，得，所以的系数是
故选：C
11．C
【分析】
先排甲，再将丙、丁捆绑在一起当一个元素排，再排乙、戊.
【详解】
当甲排在第一位时，共有种发言顺序，
当甲排在第二位时，共有种发言顺序，
所以一共有种不同的发言顺序.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
12．D
【分析】
根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，甲站在乙的左边与甲站在乙的右边的数目是相等的，计算可得答案.
【详解】
解：根据题意，五人并排站成一排，有种情况，
而其中甲站在乙的左边与甲站在乙的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，
则甲站在乙的左边的情况数目为；
故选：D.
13．
【分析】
这是一个古典概型，先求得4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上的种数，再求得4人拿的都不是自己的帽子的种数，代入公式求解.
【详解】
4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上共有种，
4人拿的都不是自己的帽子共有种，
所以4人拿的都不是自己的帽子的概率为，
故答案为：
14．20
【分析】
分别计算出时的取法，再相加即可.
【详解】
解：当时，另两个球从1,2中选取，有1种取法；
当时，另两个球从1,2,3中任取，有种取法；
当时，另两个球从1,2,3,4中任取，有种取法．
当时，另两个球从1,2,3,4,5中任取，有种取法．
所以，的试验结果共有（种）．
故答案为：20.
15．
【分析】
要使质点从原点出发末到达点，则可能是向上跳次，向右跳次，向左跳次，或者向上跳次，向下跳次，向右跳次，然后利用组合数进行计算.
【详解】
分两类情况讨论：
第一类，向上跳次，向右跳次，向左跳次，有种；
第二类，向上跳次，向下跳次，向右跳次，有种，
根据分类计数原理得，共有种方法．
故答案为：.
16．260
【分析】
根据题意，四个区域至少选用2种不同的花来种，可分三类：第一类，种2种不同的花，第二类，种3种不同的花，第三类，种4种不同的花，分别求解即可.
【详解】
根据题意，四个区域至少选用2种不同的花来种，可分三类：
第一类，种2种不同的花，有种种法；
第二类，种3种不同的花，有种种法；
第三类，种4种不同的花，有种种法．
综上，共有种种法．
故答案为：.
17．(1).
(2)?.
【解析】解：(1) 第r + 1项项系数为，第r项系数为，第r+ 2项系数为
依题意得整理得
求得n= 7，故二项式系数最大的项是第4项和第5项．
(2) 假设第r+ 1项的系数最大，则
即
解得
又∵，∴ r= 5
∴ 展开式中系数最大的项为
18．(1)144,(2)2,(3)5
【详解】
解：（1）由二项式系数和为512知，
所以
（2）令
令得
所以
（3）
因为能被6整除，所以-19被6整除后余数为5.
19．（1）1440 .（2）2880.（3）2376
【解析】
(1)先组合再排列，.
(2)本小题可按有男同学的人数分成三类，男1女3，男2女2，男3女1.先组合后再排列.
（3）本小题可采用排除法来做就是在(II)的条件下除去男同学甲与女同学乙同时选出的个数即可.
（1）（种）……………………4分
（2）（种）………………………………8分
（3）（种）（或（种）
20．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）令求解即可.
（2）先求得展开式的通项公式， 再令求解.
（3）设第项的系数最大，由求解.
【详解】
（1）令，该展开式中所有项的系数和为.
（2）该展开式的通项公式为，，
令，解得，
故的系数为.
（3）设第项的系数最大，
则，
解得，
又，
所以，
故该展开式中系数最大的项为.
21．（1）48种；（2）144种.
【分析】
（1）先排教师有种方法，再排学生有种方法，再根据分布计数原理求得结果；
（2）采用插空法即可求得.
【详解】
解：（1）先排教师有种方法，再排学生有种方法，
则，
答：两名教师必须排中间，共有48种排法.
（2），
答：两名教师必须相邻且不能排在两端，共有144种排法.
22．（1）0；（2）0．
【分析】
（1）赋值法，令即可求得答案；
（2）利用平方差公式和（1）的结论即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵，
令，得；
（2）由（1）及平方差公式得
．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
一、单选题
1．的展开式的常数项为（ ）
A．20 B．120 C．5 D．8
2．为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有（ ）
A．28种 B．56种 C．112种 D．336种
3．若，则（ ）
A．1 B．32 C．81 D．243
4．用数字1，2，3，4组成无重复数字的四位数，其中奇数的个数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
5．把3封信投入4个邮桶，共有不同的投法数为（ ）
A． B． C． D．
6．现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．240种 D．120种
7．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A．140种 B．420种 C．80种 D．70种
8．设，且，若能被13整除，则（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
9．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（ ）种.
A．12 B．14 C．16 D．18
10．如果的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数是（ ）
A．90 B．80 C．-90 D．-92
11．在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲?乙?丙?丁?戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙?丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（ ）
A．8种 B．12种 C．20种 D．24种
12．五名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边（可以不相邻）的站法种数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则4人拿的都不是自己的帽子的概率为________.
14．一个木箱中装有6个大小、形状均相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，用表示取出的篮球的最大号码，则的试验结果有______种．
15．一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第秒末到达点的跳法共有______种．
16．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每个区域种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为______．
三、解答题
17．已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的．
（1）求该展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
18．已知展开式的二项式系数和为512，
且
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被6整除的余数.
19．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？（写出必要的过程，用数字作答）
（1）男、女同学各2名；
（2）男、女同学分别至少有1名；
（3）在（2）的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出.
20．在的展开式中.求：
（1）所有项的系数和；
（2）的系数；
（3）系数最大的项.
21．已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：
（1）两名教师必须排中间，有多少种排法？
（2）两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？
22．已知．
（1）求；
（2）求．
参考答案
1．A
【分析】
先写出二项展开式通项公式，再根据次数为零解得对应常数项.
【详解】
的展开式的通项公式为：.
令，解得，所以的展开式的常数项为，
故选：A
【点睛】
本题考查二项展开式，考查基本求解能力，属基础题.
2．B
【分析】
根据题意，分析可得只需在8人中任选3人，领取笔记本，剩下5人领取书即可，由组合数公式计算可得答案
【详解】
解：根据题意，5本相同的书和3本相同的笔记本发给8名学生，每人1本，需要在8人中任选3 人，领取笔记本，剩下5人领取书即可，
则有种不同的分法，
故选：B
【点睛】
此题考查排列组合的应用，考查组合数公式的应用，属于基础题.
3．D
【分析】
在所给的式子中，令可得选项.
【详解】
在中，令得，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题,关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题.
4．B
【分析】
先排个位，再排前三位，即得结果.
【详解】
先排个位，有2种选法，再排前三位，有种排法，
因此共有种排法，
故选：B
【点睛】
本题考查特殊位置排列问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．D
【分析】
每一封信都有4中投递方法，根据分步计数原理求得将3封信投入4个邮桶的不同的投法.
【详解】
每一封信都有4中投递方法，
根据分步计数原理得不同的投法有种，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题.
6．B
【分析】
分步完成涂色，先涂，再涂，然后涂，．
【详解】
分步涂色，第一步对涂色有5种方法，第二步对涂色有4种方法，第三步对涂色有3种方法，第四步对涂色有3种方法，
∴总的方法数为．
故选：B．
【点睛】
本题考查分步乘法原理，解题关键是确定完成涂色这件事的方法：分类还是分步．
7．D
【分析】
根据条件分为2男1女，或2女1男，按组合公式求解.
【详解】
可分两类，男医生2名、女医生1名或男医生1名、女医生2名，共有种不同的组队方案.
故选：D.
8．D
【分析】
由，结合二项式定理，求得的余数为，即可求解.
【详解】
由题意，因为，
所以，
又因为52能被13整除，所以只需能被13整除，
因为，，所以.
故选：D.
9．B
【分析】
甲不在1道，乙不在2道，则分别讨论甲在2道和甲不在2道两种情况，再求和即可.
【详解】
①甲在2道的安排方法有：种；
②甲不在2道，则甲只能在3或4号道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，丙丁有2种，所以甲不在2号跑道的分配方案有种，共有种方案.
故选B.
【点睛】
方法点睛：（1）先讨论甲在乙的位置的情况，此时乙不受限制，剩余元素全排列即可；
（2）再讨论甲也不在乙的位置的情况；
（3）两种情况求和.
10．C
【分析】
根据条件求出，然后写出其通项公式，然后可算出答案.
【详解】
令，得展开式中各项系数之和为.由，得，
通项公式为，
令，得，所以的系数是
故选：C
11．C
【分析】
先排甲，再将丙、丁捆绑在一起当一个元素排，再排乙、戊.
【详解】
当甲排在第一位时，共有种发言顺序，
当甲排在第二位时，共有种发言顺序，
所以一共有种不同的发言顺序.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
12．D
【分析】
根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，甲站在乙的左边与甲站在乙的右边的数目是相等的，计算可得答案.
【详解】
解：根据题意，五人并排站成一排，有种情况，
而其中甲站在乙的左边与甲站在乙的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，
则甲站在乙的左边的情况数目为；
故选：D.
13．
【分析】
这是一个古典概型，先求得4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上的种数，再求得4人拿的都不是自己的帽子的种数，代入公式求解.
【详解】
4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上共有种，
4人拿的都不是自己的帽子共有种，
所以4人拿的都不是自己的帽子的概率为，
故答案为：
14．20
【分析】
分别计算出时的取法，再相加即可.
【详解】
解：当时，另两个球从1,2中选取，有1种取法；
当时，另两个球从1,2,3中任取，有种取法；
当时，另两个球从1,2,3,4中任取，有种取法．
当时，另两个球从1,2,3,4,5中任取，有种取法．
所以，的试验结果共有（种）．
故答案为：20.
15．
【分析】
要使质点从原点出发末到达点，则可能是向上跳次，向右跳次，向左跳次，或者向上跳次，向下跳次，向右跳次，然后利用组合数进行计算.
【详解】
分两类情况讨论：
第一类，向上跳次，向右跳次，向左跳次，有种；
第二类，向上跳次，向下跳次，向右跳次，有种，
根据分类计数原理得，共有种方法．
故答案为：.
16．260
【分析】
根据题意，四个区域至少选用2种不同的花来种，可分三类：第一类，种2种不同的花，第二类，种3种不同的花，第三类，种4种不同的花，分别求解即可.
【详解】
根据题意，四个区域至少选用2种不同的花来种，可分三类：
第一类，种2种不同的花，有种种法；
第二类，种3种不同的花，有种种法；
第三类，种4种不同的花，有种种法．
综上，共有种种法．
故答案为：.
17．(1).
(2)?.
【解析】解：(1) 第r + 1项项系数为，第r项系数为，第r+ 2项系数为
依题意得整理得
求得n= 7，故二项式系数最大的项是第4项和第5项．
(2) 假设第r+ 1项的系数最大，则
即
解得
又∵，∴ r= 5
∴ 展开式中系数最大的项为
18．(1)144,(2)2,(3)5
【详解】
解：（1）由二项式系数和为512知，
所以
（2）令
令得
所以
（3）
因为能被6整除，所以-19被6整除后余数为5.
19．（1）1440 .（2）2880.（3）2376
【解析】
(1)先组合再排列，.
(2)本小题可按有男同学的人数分成三类，男1女3，男2女2，男3女1.先组合后再排列.
（3）本小题可采用排除法来做就是在(II)的条件下除去男同学甲与女同学乙同时选出的个数即可.
（1）（种）……………………4分
（2）（种）………………………………8分
（3）（种）（或（种）
20．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）令求解即可.
（2）先求得展开式的通项公式， 再令求解.
（3）设第项的系数最大，由求解.
【详解】
（1）令，该展开式中所有项的系数和为.
（2）该展开式的通项公式为，，
令，解得，
故的系数为.
（3）设第项的系数最大，
则，
解得，
又，
所以，
故该展开式中系数最大的项为.
21．（1）48种；（2）144种.
【分析】
（1）先排教师有种方法，再排学生有种方法，再根据分布计数原理求得结果；
（2）采用插空法即可求得.
【详解】
解：（1）先排教师有种方法，再排学生有种方法，
则，
答：两名教师必须排中间，共有48种排法.
（2），
答：两名教师必须相邻且不能排在两端，共有144种排法.
22．（1）0；（2）0．
【分析】
（1）赋值法，令即可求得答案；
（2）利用平方差公式和（1）的结论即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵，
令，得；
（2）由（1）及平方差公式得
．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．