选修2-3 第2章随机变量及其分布 综合测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 选修2-3 第2章随机变量及其分布 综合测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 971.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-19 00:52:06 | ||
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文档简介
人教A版选修2-3第二章随机变量及其分布综合测试题
一、单选题
1．正态分布，，（其中，，均大于0）所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．最大，最大 B．最大，最大
C．最大，最大 D．最大，最大
2．随机变量的所有等可能取值为1,2,…,n，若P(<4)=0.3,则n=（ ）
A．3 B．4 C．10 D．不确定
3．已知随机变量满足，且为正数，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．设随机变量服从，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
6．某校在一次月考中有600人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生人数为（ ）
A．480 B．240 C．120 D．60
7．排球比赛的规则是局胜制（局比赛中，优先取得局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前局中乙队以领先，则最后乙队获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知离散型随机变量的概率分布如下，则其数学期望（ ）
1 3 5
0.5
0.2
A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4
9．当时，若，则事件与（ ）
A．互斥 B．对立
C．独立 D．不独立
10．已知随机变量的分布列为
0 1 2 3
若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．设，则随机变量的分布列是：
0
1
则当在内增大时（ ）
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
12．重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚?脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果?中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径(单位：)服从正态分布，则果实横径在的概率为（ ）
附：若，则；.
A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545
二、填空题
13．已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望__________．
14．李明上学要经过4个路口，前3个路口遇到红灯的概率均为，第4个路口遇到红灯的概率为，设在各个路口是否遇到红灯互不影响，则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为______.
15．已知随机变量的概率分布如表所示，其中，，成等比数列，当取最大值时，______．
0 1
16．六安市一次高三年数学统考，经过抽样分析，成绩近似服从正态分布，且.某校有800人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于分的人数为________.数据参考：若服从正态分布则，，，
三、解答题
17．设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．
（1）求概率；
（2）求的分布列，并求其数学期望．
18．本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X
工期延误天数 0 2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：
（Ⅰ）工期延误天数的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率.
19．（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品．
（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率
20．某大学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣，提高学生生物学实验动手能力，举行生物学实验技能大赛．大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛．在初试部分，甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论笔试与实际操作两项考试，谁获得下一轮比赛的可能性最大？
（2）这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，求恰有两人获得下一轮比赛的概率．
21．一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球（所有的球除颜色外其他均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为．
（1）求袋子内黑球的个数；
（2）求的分布列与均值．
22．在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率都相等．已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场．
（1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数；
（2）若胜场次数为，求的分布列．
参考答案
1．D
【分析】
根据正态分布的均值和方差对图形的影响判断即可.
【详解】
由正态分布，可知是均值，是正态密度曲线的对称轴，可知最大，
表示方差，越小越“瘦高”，越大越“矮胖”，所以最大.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了正态分布曲线比较均值和方差，属于基础题.
2．C
【分析】
等可能事件，即每个值取到可能性一样，而小于4的数有3个，从而有，可解得．
【详解】
是等可能地取值,
.
.
故选：C.
3．C
【分析】
根据题中条件，由方差的性质列出方程求解，即可得出结果.
【详解】
由方差的性质可得，，
因为，所以，
又a为正数，所以．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由方差的性质求参数，属于基础题型.
4．A
【分析】
根据二项分布公式，计算概率.
【详解】
，
.
故选：A
【点睛】
本题考查二项分布，属于基础题型.
5．B
【分析】
根据二项分布的方差，结合方差的性质，即可容易求得结果.
【详解】
因为，故可得，
故.
故选：.
【点睛】
本题考查二项分布的方差求解，涉及方差的性质，属综合简单题.
6．C
【分析】
根据正态分布的对称性求出分数不低于110分的人数的概率后可求得人数．
【详解】
因为，所以，
人数为．
故选：C．
【点睛】
本题考查正态分布的性质．掌握正态分布曲线的对称性是解题关键．
7．D
【分析】
由题意可知，事件“最后乙队获胜”的对立事件为最后局均为甲队获胜，利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
由题意可知，事件“最后乙队获胜”的对立事件为最后局均为甲队获胜，
由独立事件的概率公式可得，
因此，则最后乙队获胜的概率是.
故选：D.
8．D
【分析】
首先利用分布列的概率和为1，求，再利用期望公式求解.
【详解】
∵分布列中所有的概率之和等于1，
，∴随机变量的数学期望.
故选：D.
9．C
【分析】
根据对立事件概率公式化简已知等式得到，由此得到结论.
【详解】
，，
即，，事件与独立.
故选：C.
10．B
【分析】
首先根据的分布列求出的可能取值为0，1，4，9，再求出相应的概率，再根据，即可求出实数的取值范围.
【详解】
由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9，
，
，
，
，
因为，
所以实数的取值范围是.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是先求出的可能取值为0，1，4，9，以及对应的概率，由于
可知需要取0，1，4，但取不到9，即可得.
11．D
【分析】
计算，再计算，得到单调性.
【详解】
由分布列得，
则，
则当在内增大时，先减小后增大.
故选：D.
12．C
【分析】
由题得，以及和，利用对称性可得答案．
【详解】
由题得，，
所以，，
所以，所以，
所以果实横径在的概率为.
故选：C.
13．
【分析】
利用二项分布的数学期望公式计算出的值，然后利用期望的性质可求得的值.
【详解】
离散型随机变量，
，
.
故答案为：.
14．
【分析】
首先分析李明从家到学校恰好遇到一次红灯有两种情况，前3个路口恰有一次遇到红灯，且第4个路口为绿灯和前3个路口都是绿灯，且第4个路口为红灯，再由互斥事件的概率加法公式即可计算.
【详解】
解：前3个路口恰有一次遇到红灯，且第4个路口为绿灯的概率为，
前3个路口都是绿灯，且第4个路口为红灯的概率为，
由互斥事件的概率加法公式可得所求概率为.
故答案为：.
15．0
【分析】
根据题意可得，利用基本不等式求出，进而求出，根据期望的计算公式即可求解.
【详解】
，，均为正数.
根据题意可得，
又，
即，当且仅当取等号，
所以，即，
解得，当取最大值时，则，
所以.
故答案为：0
16．160
【分析】
根据正态分布的特征，求出数学成绩不低于分对应的概率，从而可求出对应的人数.
【详解】
因为成绩近似服从正态分布，且，
所以，
因此该校数学成绩不低于分的人数为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查正态分布的应用，考查求指定区间的概率，属于基础题型.
17．（1）
（2）
【解析】
解 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C32对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.
(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝，
于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
所以随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
P(ξ)
因此E(ξ)＝1×＋×＝.
18．（Ⅰ）的均值为3，方差为.
（Ⅱ）.
【解析】本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差。
（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：
，
.
.
所以的分布列为：
0 2 6 10
0.3 0.4 0.2 0.1
于是，；
.
故工期延误天数的均值为3，方差为.
（Ⅱ）由概率的加法公式，
又.
由条件概率，得.
故在降水量X至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.
【考点定位】本题考查概率和统计的基础知识，概率统计是高考的一个热点知识，几乎年年必考，熟练基础知识是解决此类试题的关键。
19．（1）样本中一等品的频率为二等品的频率为，三等品的频率为
（2）
【解析】
（1）根据题意，由样本数据可得30件产品中一等品、二等品、三等品的数目，计算可得三个等级各自的其频率，由频率的意义可得答案；
（2）根据题意，由样本数据知样本中一等品有6件，其中等级系数为7和等级系数为8的各有3件，记等级系数为7的3件产品分别为C1、C2、C3，等级系数为8的3件产品分别为P1、P2、P3，列举从样本的一等品中随机抽取2件的全部情况，可得所抽得2件产品等级系数都是8的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
解:（1）由样本数据知，30件产品中等级系数有6件，即一等品有6件，二等品有
9件，三等品有15件………………………………………………………………… 3分
∴样本中一等品的频率为6/30，故估计该厂生产的产品的一等品率为；……4分
二等品的频率为9/30=0.3，故估计该厂生产的产品的二等品率为；…………5分
三等品的频率为15/30=0.5，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为………6分
（2）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，…7分
记等级系数为7的3件产品分别为、、，等级系数为8的3件产品分别为、、.则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为： , , .共15种，……………………………10分
记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A，则A包含的基本事件有 共3种，……………………………………………………11分
故所求的概率.………………………………………12分
20．（1）甲；（2）．
【分析】
（1）设“甲获下一轮比赛”为事件，“乙获得下一轮比赛”为事件，“丙获得下一轮比赛”为事件，则，，以及，，的每两次考试之间彼此相互独立．分别求得甲、乙、丙获得下一轮的比赛的概率，比较可得答案；
（2）设“三人考试后恰有两人获得下一轮比赛”为事件，则．根据独立事件的概率公式可求得答案．
【详解】
（1）设“甲获下一轮比赛”为事件，“乙获得下一轮比赛”为事件，“丙获得下一轮比赛”为事件，则，，以及，，的每两次考试之间彼此相互独立．
因为，，．
因为，所以甲获得下一轮比赛的可能性最大．
（2）设“三人考试后恰有两人获得下一轮比赛”为事件，则．
由，，
．
可知．
即这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，恰有两人获得下一轮比赛的概率为．
21．（1）有4个黑球；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）由题意设袋子内黑球的个数为，由于，化简可得结果；
（2）根据题意得的所有可能取值为0,1,2,3,4，利用随机变量的定义及等可能事件的概率公式求出每一个对应的概率，并列出分布列，用期望的定义求解
【详解】
（1）设袋子内黑球的个数为，由条件知，当取得2个黑球时得0分，概率为，化简得，解得或（舍去），即袋子内有4个黑球．
（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4，
，
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3 4
．
22．（1）31种；（2）分布列见解析.
【分析】
（1）根据题中条件，分别讨论胜一场，胜两场，胜三场，胜四场，求出对应的胜场多于负场的情况，即可求出结果；
（2）根据题中条件，先确定的可能取值，根据（1）的结果，分别求出对应的概率，即可得出分布列.
【详解】
（1）若胜一场，则其余为平，共有种情况；
若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有种情况；
若胜三场，则其余一场为负或平，共有种情况；
若胜四场，则只有1种情况．
综上，共有种情况．
（2）的可能取值为1,2,3,4，
由（1）可得：，，，
所以的分布列为：
1 2 3 4
【点睛】
思路点睛：求离散型随机变量的分布列的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式，简化计算）
一、单选题
1．正态分布，，（其中，，均大于0）所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．最大，最大 B．最大，最大
C．最大，最大 D．最大，最大
2．随机变量的所有等可能取值为1,2,…,n，若P(<4)=0.3,则n=（ ）
A．3 B．4 C．10 D．不确定
3．已知随机变量满足，且为正数，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．设随机变量服从，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
6．某校在一次月考中有600人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生人数为（ ）
A．480 B．240 C．120 D．60
7．排球比赛的规则是局胜制（局比赛中，优先取得局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前局中乙队以领先，则最后乙队获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知离散型随机变量的概率分布如下，则其数学期望（ ）
1 3 5
0.5
0.2
A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4
9．当时，若，则事件与（ ）
A．互斥 B．对立
C．独立 D．不独立
10．已知随机变量的分布列为
0 1 2 3
若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．设，则随机变量的分布列是：
0
1
则当在内增大时（ ）
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
12．重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚?脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果?中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径(单位：)服从正态分布，则果实横径在的概率为（ ）
附：若，则；.
A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545
二、填空题
13．已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望__________．
14．李明上学要经过4个路口，前3个路口遇到红灯的概率均为，第4个路口遇到红灯的概率为，设在各个路口是否遇到红灯互不影响，则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为______.
15．已知随机变量的概率分布如表所示，其中，，成等比数列，当取最大值时，______．
0 1
16．六安市一次高三年数学统考，经过抽样分析，成绩近似服从正态分布，且.某校有800人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于分的人数为________.数据参考：若服从正态分布则，，，
三、解答题
17．设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．
（1）求概率；
（2）求的分布列，并求其数学期望．
18．本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X
工期延误天数 0 2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：
（Ⅰ）工期延误天数的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率.
19．（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品．
（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率
20．某大学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣，提高学生生物学实验动手能力，举行生物学实验技能大赛．大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛．在初试部分，甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论笔试与实际操作两项考试，谁获得下一轮比赛的可能性最大？
（2）这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，求恰有两人获得下一轮比赛的概率．
21．一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球（所有的球除颜色外其他均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为．
（1）求袋子内黑球的个数；
（2）求的分布列与均值．
22．在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率都相等．已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场．
（1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数；
（2）若胜场次数为，求的分布列．
参考答案
1．D
【分析】
根据正态分布的均值和方差对图形的影响判断即可.
【详解】
由正态分布，可知是均值，是正态密度曲线的对称轴，可知最大，
表示方差，越小越“瘦高”，越大越“矮胖”，所以最大.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了正态分布曲线比较均值和方差，属于基础题.
2．C
【分析】
等可能事件，即每个值取到可能性一样，而小于4的数有3个，从而有，可解得．
【详解】
是等可能地取值,
.
.
故选：C.
3．C
【分析】
根据题中条件，由方差的性质列出方程求解，即可得出结果.
【详解】
由方差的性质可得，，
因为，所以，
又a为正数，所以．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由方差的性质求参数，属于基础题型.
4．A
【分析】
根据二项分布公式，计算概率.
【详解】
，
.
故选：A
【点睛】
本题考查二项分布，属于基础题型.
5．B
【分析】
根据二项分布的方差，结合方差的性质，即可容易求得结果.
【详解】
因为，故可得，
故.
故选：.
【点睛】
本题考查二项分布的方差求解，涉及方差的性质，属综合简单题.
6．C
【分析】
根据正态分布的对称性求出分数不低于110分的人数的概率后可求得人数．
【详解】
因为，所以，
人数为．
故选：C．
【点睛】
本题考查正态分布的性质．掌握正态分布曲线的对称性是解题关键．
7．D
【分析】
由题意可知，事件“最后乙队获胜”的对立事件为最后局均为甲队获胜，利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
由题意可知，事件“最后乙队获胜”的对立事件为最后局均为甲队获胜，
由独立事件的概率公式可得，
因此，则最后乙队获胜的概率是.
故选：D.
8．D
【分析】
首先利用分布列的概率和为1，求，再利用期望公式求解.
【详解】
∵分布列中所有的概率之和等于1，
，∴随机变量的数学期望.
故选：D.
9．C
【分析】
根据对立事件概率公式化简已知等式得到，由此得到结论.
【详解】
，，
即，，事件与独立.
故选：C.
10．B
【分析】
首先根据的分布列求出的可能取值为0，1，4，9，再求出相应的概率，再根据，即可求出实数的取值范围.
【详解】
由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9，
，
，
，
，
因为，
所以实数的取值范围是.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是先求出的可能取值为0，1，4，9，以及对应的概率，由于
可知需要取0，1，4，但取不到9，即可得.
11．D
【分析】
计算，再计算，得到单调性.
【详解】
由分布列得，
则，
则当在内增大时，先减小后增大.
故选：D.
12．C
【分析】
由题得，以及和，利用对称性可得答案．
【详解】
由题得，，
所以，，
所以，所以，
所以果实横径在的概率为.
故选：C.
13．
【分析】
利用二项分布的数学期望公式计算出的值，然后利用期望的性质可求得的值.
【详解】
离散型随机变量，
，
.
故答案为：.
14．
【分析】
首先分析李明从家到学校恰好遇到一次红灯有两种情况，前3个路口恰有一次遇到红灯，且第4个路口为绿灯和前3个路口都是绿灯，且第4个路口为红灯，再由互斥事件的概率加法公式即可计算.
【详解】
解：前3个路口恰有一次遇到红灯，且第4个路口为绿灯的概率为，
前3个路口都是绿灯，且第4个路口为红灯的概率为，
由互斥事件的概率加法公式可得所求概率为.
故答案为：.
15．0
【分析】
根据题意可得，利用基本不等式求出，进而求出，根据期望的计算公式即可求解.
【详解】
，，均为正数.
根据题意可得，
又，
即，当且仅当取等号，
所以，即，
解得，当取最大值时，则，
所以.
故答案为：0
16．160
【分析】
根据正态分布的特征，求出数学成绩不低于分对应的概率，从而可求出对应的人数.
【详解】
因为成绩近似服从正态分布，且，
所以，
因此该校数学成绩不低于分的人数为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查正态分布的应用，考查求指定区间的概率，属于基础题型.
17．（1）
（2）
【解析】
解 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C32对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.
(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝，
于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
所以随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
P(ξ)
因此E(ξ)＝1×＋×＝.
18．（Ⅰ）的均值为3，方差为.
（Ⅱ）.
【解析】本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差。
（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：
，
.
.
所以的分布列为：
0 2 6 10
0.3 0.4 0.2 0.1
于是，；
.
故工期延误天数的均值为3，方差为.
（Ⅱ）由概率的加法公式，
又.
由条件概率，得.
故在降水量X至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.
【考点定位】本题考查概率和统计的基础知识，概率统计是高考的一个热点知识，几乎年年必考，熟练基础知识是解决此类试题的关键。
19．（1）样本中一等品的频率为二等品的频率为，三等品的频率为
（2）
【解析】
（1）根据题意，由样本数据可得30件产品中一等品、二等品、三等品的数目，计算可得三个等级各自的其频率，由频率的意义可得答案；
（2）根据题意，由样本数据知样本中一等品有6件，其中等级系数为7和等级系数为8的各有3件，记等级系数为7的3件产品分别为C1、C2、C3，等级系数为8的3件产品分别为P1、P2、P3，列举从样本的一等品中随机抽取2件的全部情况，可得所抽得2件产品等级系数都是8的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
解:（1）由样本数据知，30件产品中等级系数有6件，即一等品有6件，二等品有
9件，三等品有15件………………………………………………………………… 3分
∴样本中一等品的频率为6/30，故估计该厂生产的产品的一等品率为；……4分
二等品的频率为9/30=0.3，故估计该厂生产的产品的二等品率为；…………5分
三等品的频率为15/30=0.5，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为………6分
（2）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，…7分
记等级系数为7的3件产品分别为、、，等级系数为8的3件产品分别为、、.则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为： , , .共15种，……………………………10分
记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A，则A包含的基本事件有 共3种，……………………………………………………11分
故所求的概率.………………………………………12分
20．（1）甲；（2）．
【分析】
（1）设“甲获下一轮比赛”为事件，“乙获得下一轮比赛”为事件，“丙获得下一轮比赛”为事件，则，，以及，，的每两次考试之间彼此相互独立．分别求得甲、乙、丙获得下一轮的比赛的概率，比较可得答案；
（2）设“三人考试后恰有两人获得下一轮比赛”为事件，则．根据独立事件的概率公式可求得答案．
【详解】
（1）设“甲获下一轮比赛”为事件，“乙获得下一轮比赛”为事件，“丙获得下一轮比赛”为事件，则，，以及，，的每两次考试之间彼此相互独立．
因为，，．
因为，所以甲获得下一轮比赛的可能性最大．
（2）设“三人考试后恰有两人获得下一轮比赛”为事件，则．
由，，
．
可知．
即这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，恰有两人获得下一轮比赛的概率为．
21．（1）有4个黑球；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）由题意设袋子内黑球的个数为，由于，化简可得结果；
（2）根据题意得的所有可能取值为0,1,2,3,4，利用随机变量的定义及等可能事件的概率公式求出每一个对应的概率，并列出分布列，用期望的定义求解
【详解】
（1）设袋子内黑球的个数为，由条件知，当取得2个黑球时得0分，概率为，化简得，解得或（舍去），即袋子内有4个黑球．
（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4，
，
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3 4
．
22．（1）31种；（2）分布列见解析.
【分析】
（1）根据题中条件，分别讨论胜一场，胜两场，胜三场，胜四场，求出对应的胜场多于负场的情况，即可求出结果；
（2）根据题中条件，先确定的可能取值，根据（1）的结果，分别求出对应的概率，即可得出分布列.
【详解】
（1）若胜一场，则其余为平，共有种情况；
若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有种情况；
若胜三场，则其余一场为负或平，共有种情况；
若胜四场，则只有1种情况．
综上，共有种情况．
（2）的可能取值为1,2,3,4，
由（1）可得：，，，
所以的分布列为：
1 2 3 4
【点睛】
思路点睛：求离散型随机变量的分布列的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式，简化计算）