必修5 第2章数列-等比数列的通项 基础测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 必修5 第2章数列-等比数列的通项 基础测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 803.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-19 01:01:20 | ||
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文档简介
等比数列的通项基础测试题
一、单选题
1．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，，则（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
2．在等比数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在公比为的正项等比数列中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知某等比数列的前三项依次为，，，那么是此数列的（ ）
A．第2项 B．第4项 C．第6项 D．第8项
5．在等比数列中，，公比，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．在等比数列中，，公比.若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列中公比的取值范围是；③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；④若，则，，成等比数列.其中说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．以下条件中，能判定数列是等比数列的有（ ）
①数列1，2，6，18，…； ②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知数列中，，，则（ ）
A．2045 B．1021 C．1027 D．2051
10．已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（ ）
A．4 B．－4 C．±4 D．不确定
11．若数列是等比数列，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时釆用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查……依此类推，最终从这32人中认定那名感染者需要经过（）次检测.
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
13．和的等比中项等于_________.
14．实数10，，，，40成等比数列，则______.
15．已知等比数列，，，则______．
16．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第________项．
三、解答题
17．有三个数依次成等比数列，其和为21，且依次成等差数列，求．
18．（1）是不是等差数列，，，…的项？如果是，是第几项？并求其前项的和．
（2）已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，求的值．
19．在等比数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
20．已知数列的通项公式.
（1）求，；
（2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求数列的通项公式.
21．已知数列满足，.
⑴求数列的通项公式；
⑵若数列满足，求数列的通项公式.
22．设关于x的一元二次方程有两根α和β，且满足．
(1)试用表示；
(2)求证：数列是等比数列
参考答案
1．B
【分析】
由已知条件求得公比，进而求得.
【详解】
设等比数列的公比为,则,
由得,
即,解得或(舍去),
,
故选：B.
【点睛】
本题考查等比数列的性质，属简单题，熟练掌握,常常可以起到简化运算的作用.
2．A
【分析】
设公比为，利用等比数列的通项公式可得即可求出，再利用即可求解.
【详解】
设等比数列公比为，
由，得，解得，
所以，
故选：A
3．A
【分析】
由等比数列的性质，求得，再根，即可求解.
【详解】
由等比数列的性质，可得，
因为正项等比数列中，所以，
又由，所以，解得.
故选：A.
4．B
【分析】
由题意得，求出或，而当时，，所以，进而可求出数列的前3项和通项公式，从而列方程可求得答案
【详解】
解：由题意得，，解得或.
当时，，不符合题意，舍去，∴.
此时，，∴该等比数列的首项为，公比为.
设为此数列的第项，则，解得.
故选：B.
5．B
【分析】
直接根据等比数列的通项公式可求得结果.
【详解】
由题知.
故选：B
6．C
【分析】
利用等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】
，因为，所以有，
又因为，，所以.
故选：C
7．B
【分析】
根据等比数列的概念逐个分析可得答案.
【详解】
对于①，因为等比数列中的各项都不为0，所以①不正确；
对于②，因为等比数列的公比不为0，所以②不正确；
对于③，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以③正确；
对于④，只有当，，都不为0时，，，才成等比数列，所以④不正确.
因此，正确的说法只有1个，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：理解等比数列的概念是解题关键.
8．A
【分析】
根据等比数列的定义逐项分析可得答案.
【详解】
①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；
②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；
③中，当时，不是等比数列；
④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：理解等比数列的定义是解题关键.
9．A
【分析】
由数列递推关系式得到数列 为首项为4，公比为2的等比数列．求出其通项公式可得的值．
【详解】
，变形为
即
故数列 为等比数列，首项为4，公比为2．
．
故选：A
10．A
【分析】
根据等比中项的性质有，而由等比通项公式知，即可求得x的值.
【详解】
由题意知：，且若令公比为时有，
∴，
故选：A
11．C
【分析】
根据等比数列的性质，由题中条件，求出，即可得出结果.
【详解】
因为数列是等比数列，由，得，
所以，因此.
故选：C.
12．C
【分析】
利用等比数列的通项公式可求检测的次数.
【详解】
法一：先把这32人均分为2组，选其中一组16人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；
若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测，
继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；
若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.
继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；
若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测，
继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了4次检测.
选认定的这组的2人中一人进行样本检查，
若为阴性则认定是另个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了5次检测，
所以，最终从这32人中认定那名感染者需要经过5次检测，
故选C.
法二：设第次检测后余下的人数为，则且，
故，令，则，
故需要检测5次，
故选：C.
13．
【分析】
直接利用等比中项求解.
【详解】
设和的等比中项为x，
则，
解得，
故答案为：
14．8000
【分析】
根据实数10，，，，40成等比数列，利用等比中项，由求解.
【详解】
因为实数10，，，，40成等比数列，
所以，
因为，
所以，
所以.
故答案为：8000
15．64
【分析】
直接根据等比数列的通项公式即可求出．
【详解】
等比数列，，，设公比为q，
∴，
∴，
∴，
故答案为：64
【点睛】
本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础题.
16．12
【分析】
先计算等比数列的通项公式，根据该数列是递减的数列，分别计算，简单判断可得结果.
【详解】
由题可知：等比数列的通项为
所以
所以与1最接近，所以最接近于1的项是第12项.
故答案为：12
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
17．或
【分析】
本题由成等差数列，可设公差为，所以，再利用等差中项与等比中项公式联立方程求解即可.
【详解】
由题意，可设公差为，
则，
于是 ，解得：或
所以或．
【点睛】
此题考查等差数列与等比数列的概念问题，可直接利用等差中项与等比中项的公式列式计算，属基础题.
18．（1），；（2）
【分析】
（1）由题意可得等差数列的首项为8，公差为，运用等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求；（2）等比数列的公比设为，，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得，再由等比数列的通项公式，计算可得所求值．
【详解】
（1）等差数列8，5，2，的首项为8，公差为，
可得，
若，可得，
则为该数列中的第20项；
可得.
（2）等比数列的公比设为，，且，，成等差数列，
可得，
即，
可得，解得（负的舍去），
．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．
19．（1）-96;(2)
【分析】
（1）由等比数列的通项求解；（2）先求出等比数列的公比q,再求数列的通项.
【详解】
（1）由题得；
（2）由已知得，，所以，
所以.
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项基本量的计算和通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
20．（1），；（2）.
【分析】
（1）根据通项公式，可直接得出结果；
（2）先由题意，得到等比数列的首项和公比，进而可得其通项公式.
【详解】
（1）因为，所以，，
（2）由题意知：等比数列中，，，
公比
∴等比数列的通项公式
21．（1） （2）
【分析】
（1）根据条件，构造数列，可知为等比数列，进而利用等比数列的通项公式可求得的通项公式．
（2）由同底数幂的乘法运算，可得，利用递推公式可得，再检验即可求得的通项公式．
【详解】
（1）
而，故数列 是首项为2，公比为2的等比数列
即
因此
（2）∵
即 ①
当时， ②
－ ②得
∴
经验证 也满足上式
因此
【点睛】
本题考查了数列的综合应用，构造数列法和递推公式法在求通项公式中的应用，属于基础题．
22．（1）；
（2）证明过程见详解.
【解析】
【分析】
(1) 应用韦达定理，代入6α-2αβ+6β=3即可得到的关系；
(2)通过对变形可知，进而可知数列是等比数列.
【详解】
（1）根据韦达定理，得α+β=，α?β=,由6α-2αβ+6β=3
得，故；
（2）证明：因为所以，若，这时一元二次方程无实数根，故，所以，即数列是公比为的等比数列.
【点睛】
本题主要考查数列的递推公式，等比数列的证明方法，属于基础题型.
一、单选题
1．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，，则（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
2．在等比数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在公比为的正项等比数列中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知某等比数列的前三项依次为，，，那么是此数列的（ ）
A．第2项 B．第4项 C．第6项 D．第8项
5．在等比数列中，，公比，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．在等比数列中，，公比.若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列中公比的取值范围是；③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；④若，则，，成等比数列.其中说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．以下条件中，能判定数列是等比数列的有（ ）
①数列1，2，6，18，…； ②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知数列中，，，则（ ）
A．2045 B．1021 C．1027 D．2051
10．已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（ ）
A．4 B．－4 C．±4 D．不确定
11．若数列是等比数列，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时釆用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查……依此类推，最终从这32人中认定那名感染者需要经过（）次检测.
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
13．和的等比中项等于_________.
14．实数10，，，，40成等比数列，则______.
15．已知等比数列，，，则______．
16．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第________项．
三、解答题
17．有三个数依次成等比数列，其和为21，且依次成等差数列，求．
18．（1）是不是等差数列，，，…的项？如果是，是第几项？并求其前项的和．
（2）已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，求的值．
19．在等比数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
20．已知数列的通项公式.
（1）求，；
（2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求数列的通项公式.
21．已知数列满足，.
⑴求数列的通项公式；
⑵若数列满足，求数列的通项公式.
22．设关于x的一元二次方程有两根α和β，且满足．
(1)试用表示；
(2)求证：数列是等比数列
参考答案
1．B
【分析】
由已知条件求得公比，进而求得.
【详解】
设等比数列的公比为,则,
由得,
即,解得或(舍去),
,
故选：B.
【点睛】
本题考查等比数列的性质，属简单题，熟练掌握,常常可以起到简化运算的作用.
2．A
【分析】
设公比为，利用等比数列的通项公式可得即可求出，再利用即可求解.
【详解】
设等比数列公比为，
由，得，解得，
所以，
故选：A
3．A
【分析】
由等比数列的性质，求得，再根，即可求解.
【详解】
由等比数列的性质，可得，
因为正项等比数列中，所以，
又由，所以，解得.
故选：A.
4．B
【分析】
由题意得，求出或，而当时，，所以，进而可求出数列的前3项和通项公式，从而列方程可求得答案
【详解】
解：由题意得，，解得或.
当时，，不符合题意，舍去，∴.
此时，，∴该等比数列的首项为，公比为.
设为此数列的第项，则，解得.
故选：B.
5．B
【分析】
直接根据等比数列的通项公式可求得结果.
【详解】
由题知.
故选：B
6．C
【分析】
利用等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】
，因为，所以有，
又因为，，所以.
故选：C
7．B
【分析】
根据等比数列的概念逐个分析可得答案.
【详解】
对于①，因为等比数列中的各项都不为0，所以①不正确；
对于②，因为等比数列的公比不为0，所以②不正确；
对于③，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以③正确；
对于④，只有当，，都不为0时，，，才成等比数列，所以④不正确.
因此，正确的说法只有1个，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：理解等比数列的概念是解题关键.
8．A
【分析】
根据等比数列的定义逐项分析可得答案.
【详解】
①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；
②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；
③中，当时，不是等比数列；
④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：理解等比数列的定义是解题关键.
9．A
【分析】
由数列递推关系式得到数列 为首项为4，公比为2的等比数列．求出其通项公式可得的值．
【详解】
，变形为
即
故数列 为等比数列，首项为4，公比为2．
．
故选：A
10．A
【分析】
根据等比中项的性质有，而由等比通项公式知，即可求得x的值.
【详解】
由题意知：，且若令公比为时有，
∴，
故选：A
11．C
【分析】
根据等比数列的性质，由题中条件，求出，即可得出结果.
【详解】
因为数列是等比数列，由，得，
所以，因此.
故选：C.
12．C
【分析】
利用等比数列的通项公式可求检测的次数.
【详解】
法一：先把这32人均分为2组，选其中一组16人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；
若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测，
继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；
若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.
继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；
若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测，
继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了4次检测.
选认定的这组的2人中一人进行样本检查，
若为阴性则认定是另个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了5次检测，
所以，最终从这32人中认定那名感染者需要经过5次检测，
故选C.
法二：设第次检测后余下的人数为，则且，
故，令，则，
故需要检测5次，
故选：C.
13．
【分析】
直接利用等比中项求解.
【详解】
设和的等比中项为x，
则，
解得，
故答案为：
14．8000
【分析】
根据实数10，，，，40成等比数列，利用等比中项，由求解.
【详解】
因为实数10，，，，40成等比数列，
所以，
因为，
所以，
所以.
故答案为：8000
15．64
【分析】
直接根据等比数列的通项公式即可求出．
【详解】
等比数列，，，设公比为q，
∴，
∴，
∴，
故答案为：64
【点睛】
本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础题.
16．12
【分析】
先计算等比数列的通项公式，根据该数列是递减的数列，分别计算，简单判断可得结果.
【详解】
由题可知：等比数列的通项为
所以
所以与1最接近，所以最接近于1的项是第12项.
故答案为：12
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
17．或
【分析】
本题由成等差数列，可设公差为，所以，再利用等差中项与等比中项公式联立方程求解即可.
【详解】
由题意，可设公差为，
则，
于是 ，解得：或
所以或．
【点睛】
此题考查等差数列与等比数列的概念问题，可直接利用等差中项与等比中项的公式列式计算，属基础题.
18．（1），；（2）
【分析】
（1）由题意可得等差数列的首项为8，公差为，运用等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求；（2）等比数列的公比设为，，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得，再由等比数列的通项公式，计算可得所求值．
【详解】
（1）等差数列8，5，2，的首项为8，公差为，
可得，
若，可得，
则为该数列中的第20项；
可得.
（2）等比数列的公比设为，，且，，成等差数列，
可得，
即，
可得，解得（负的舍去），
．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．
19．（1）-96;(2)
【分析】
（1）由等比数列的通项求解；（2）先求出等比数列的公比q,再求数列的通项.
【详解】
（1）由题得；
（2）由已知得，，所以，
所以.
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项基本量的计算和通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
20．（1），；（2）.
【分析】
（1）根据通项公式，可直接得出结果；
（2）先由题意，得到等比数列的首项和公比，进而可得其通项公式.
【详解】
（1）因为，所以，，
（2）由题意知：等比数列中，，，
公比
∴等比数列的通项公式
21．（1） （2）
【分析】
（1）根据条件，构造数列，可知为等比数列，进而利用等比数列的通项公式可求得的通项公式．
（2）由同底数幂的乘法运算，可得，利用递推公式可得，再检验即可求得的通项公式．
【详解】
（1）
而，故数列 是首项为2，公比为2的等比数列
即
因此
（2）∵
即 ①
当时， ②
－ ②得
∴
经验证 也满足上式
因此
【点睛】
本题考查了数列的综合应用，构造数列法和递推公式法在求通项公式中的应用，属于基础题．
22．（1）；
（2）证明过程见详解.
【解析】
【分析】
(1) 应用韦达定理，代入6α-2αβ+6β=3即可得到的关系；
(2)通过对变形可知，进而可知数列是等比数列.
【详解】
（1）根据韦达定理，得α+β=，α?β=,由6α-2αβ+6β=3
得，故；
（2）证明：因为所以，若，这时一元二次方程无实数根，故，所以，即数列是公比为的等比数列.
【点睛】
本题主要考查数列的递推公式，等比数列的证明方法，属于基础题型.
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